Самопринадлежность: около аксиомы фундирования

Предисловие

В работах [8], [10] была описана теория множеств с самопринадлежностью, обладающая непротиворечивостью (ввиду непредика-тивности [6], [7], [17], самоссылочности теории доказательство непротиворечиволсти выполнено средствами самой теории); эта теория множеств является неаксиоматизируемой, – построенной по типу исчисления объектов на множестве всех множеств М, с выделением из М объектов схемой свёртывания (выделение объектов из М не следует из аксиом, а представляет собой конструирование аксиом, количество которых является, таким образом, неопределённым ввиду невозможности описать все объекты из М). Ниже кратко описаны основания этой теории и сравнение с иными теориями множеств, допускающими ослабление аксиомы фундирования (запрещающей самопринадлежность множеств).

1.    Основания теории множеств

Онтологические и гносеологические основания науки подробно описаны в [11], для теории множеств с самопринадлежностью см. [8], [10]. Онтологически имеются три уровня

познания [1], [11]: i) непосредсвенное созерцание (сфера сознания), ii) логические рассуждения (сфера информации, упорядоченной во времени), iii) материально-вещественная практика. Собственно математика относится ко второму онтологическому уровню познания, однако основания математики не могут быть произвольными, – они находятся в созерцательной области сознания. Игнорирование верхнего онтологического уровня (созерцательных оснований, проверяемых непосредственно) приводит к отрыву от реальности, т. е. для теорий необходима онтологическая полнота (см. подробнее [11]).

В теории множеств с самопрнадлежно-стью такими непосредственно созерцаемыми основаниями являются соотношение части и целого, при рассмотрении диалектики единого, многого, и едино многого, – из этого следует формализация уже не на созерцательном, а на логическом (втором онтологическом) уровне отношений принадлежности в теории множеств, описываемых алгеброй скобок (см. табл. 1).

"Объекты мысли (но не мыслящего и не саму мыслимую мысль) мыслимы как единое или как многое, или как едино-многое. Обозначения мыслимости объектов отображены в табл. 1.

При рассмотрении диалектики единого, многого и едино-многого в плане взаимного содержания, взаимосвязи частей и целого созерцательно таковы, как указано в табл. 2.

Таблица 1. Диалектика единого и многого

Обозначение	Пояснение
[.]	Брать нечто как единое, взятое - единое
{.}	Брать нечто как многое, взятое - многое
a = {. а}	Брать нечто (а) как единомногое, взятое - едино-многое (самопринадлежащее)
[[.]] = [.]	Брать единое как единое, взятое - единое
[{.}] = [.]	Брать многое как единое, взятое - единое
a = {. а}, [а] = a	Брать едино-многое как единое, взятое - едино-многое
{[.]} = [.]	Брать единое, как многое, взятое - единое
{{.}} = {.}	Брать многое как многое, взятое - многое
a = {. а}, {а} = a	Брать едино-многое как многое, взятое - едино-многое

Таблица 2. Отношение части и целого

Обозначение	Пояснение
[х] е {... х}	Единое во многом. (Отношение принадлежности)
х с {-.-}, каждый у из х — в {.}	Многое во многом. (Отношение включения, подмножество)
x е x, x={. х}, пример: x е {.} следова тельно x с {.}	Едино-многое во многом; едино-многое в едином. (Отношение и принадлежности и включения для са-мопринадлежащих множеств)

При формализации этих интуитивно ясных отношений и выстраиваются операции с са-мопринадлежащими множествами" [8].

Более подробно свойства множеств с cамопринадлежностью и доказательство непротиворечивости теории рассмотрены в [8], [10].

2.    Конечность самоссылочности

В этом параграфе указано, что в отличие от несамоссылочных, предикативных теорий, теория множеств с самопринадлежностью ведёт к бесконечной самоссылочности.

Известен следующий вид саморефе-рентных высказываний [2], пусть имеется "семантически замкнутый язык с переменны- ми по формулам: x, y, z, предикатом истинности Тарского Tr(x):

Tr(x)« x,                       (1)

и квантором самореферентности Sx:

SxP(x) «P(SxP(x)).              (2)

Здесь P(x) называется ядром самореферентно-го предложения. Если правое вхождение формулы SxP(x) в формуле выше заменить на эквивалентную ей формулу P(SxP(x)), то в результате итерации такой замены получится следующая бесконечная последовательность выражений, напоминающая последовательность Пирса:

SxP(x) « P(SxP(x)) « P(P(SxP(x))) « « P(P(P(SxP(x)))) « ... ." [2].    (3)

То есть в предикативном выражении саморе-ферентность (самоссылочность) влечёт бесконечные последовательности. Попытки формализовать в таком предикативном языке само-принадлежность множеств приводит к аналогичным бесконечным последовательностям, не имеющим содержательного в плане теории множеств смысла.

Однако при допущении непредикативных (самосслочных) конструкций саморефе-рентность самопринадлежности имеет конечный вид. Например [2], пусть А = {а, А} -самопринадлежащее множество, A е A, тогда его запись (сравнимо с (3)) такова: А = {а, А} = (раскрытие в правой части А= {а, А} по определению) = {а, {а, А}} = (раскрытие многих взятых как многое, удаление скобок {}) = = {а, а, А} = (удаление подобных обозначений) = {а, А} = А. Более сложный пример: множество подмножеств множества А таково: Ехр(А) = {{а}, {а, А}, {А}} = (раскрытие са-мопринадлежащего едино-многого объекта А) ={{а}, {а, А}, {а, А}} = (удаление подобных обозначений) = {{а}, {а, А}} = (раскрытие многих, взятых как многое, в одно многое) = {а, а, А} = (удаление подобных обозначений) = {а, А} = А.

Самопринадлежащее множество имеет конечную самореферентную (самоссылочную) запись его обозначения. Таким образом, при самопринадлежности самореферентность (са-моссылочность), соответствующая обозначению самопринадлежащих множеств конечна.

Ещё более сложный пример самоссы-лочности - это определение последователя к объекту. Простой последователь объекта А содержит объект А и себя самого [5]:

P( {А} )={[х] е М|([х] е 0 ) или ([x] е А либо [х]=Р(А))}, P([А])={[х] е М|([х] е0 ) или ([х]=А либо [х]=Р(А))}.

В этой формуле слева и справа стоит Р(А), – самоссылочность задаётся удвоением обозначения одного и того же объекта (это связано с удвоением образа действительности при отражении её в сознании), – при этом никакой дурной бесконечности не возникает, ведь справа и слева – один и тот же, самопринад-лежащий объект:

P({A})={{А}, P({A})}, P([A])={[А], P([A])}.

3.    Аксиоматические теории множеств

В этом параграфе указано на ограниченность аксиоматического подхода в теории множеств.

В истории математики появление аксиоматических теорий (в смысле формальных логических систем) соответствует 5-му периоду развития (с нач. XIX в.). Программа Гильберта аксиоматизации математики, высказанная в начале XX в., потерпела крах ввиду теорем Гёделя, гласящих (для предикативных формальных систем) о невозможности доказательства непротиворечивости предикативной теории средствами самой этой теории. (Теория множеств с самопринадлежностью непредикативна и её ограничения теорем Гёделя не касаются, см. [9].)

Тем не менее при отрыве от реальности исследование разных типов предикативных аксиоматических систем превратилось в некую самоцель зарубежных исследователей, при этом сплошном теортетизировании, не имеющем созерцательных оснований и не выходящем далеко в практику (онтологически обособленном чисто логическом рассуждении), выявлялись связи между отдельными аксиоматиками и несколько изменялся состав аксиом, без попыток обоснования непротиворечивости аксиоматик (ввиду явных ограничений теорем Гёделя).

Как указано в [12], периоды развития аксиоматик теории множеств таковы (см. и [3]):

1900–1924. Предложены нефундиро-ванные (самопринадлежащие) множества (Мириманов и др.), попытка вписать которые в известные к тому времени теории множеств влекла за собой парадоксы (например, парадокс Мириманова).

1925–1949. Для исключения из рассмотрения самопринадлежащих множеств предложена аксиома фундирования, и по-средсвом её построены аксиоматики теории множеств (из которых самая известная ак- сиоматика Цермело – Френкеля, ZF).

1950–1974. Рассматривались модели теории множеств без аксиомы фундирования.

С 1975 г. были допущены к рассмотрению не полностью фундированные множества (тon-well-founded sets) [12].

(Кроме этой периодизации следует отметить, что с 1993 г. были описаны множества с само-принадлежностью и множество всех множеств, о которых сказано выше и отдельно в [4], [10].)

Но сколько бы ни усложнялись аксиоматики, и сколь бы ни выявлялись новые связи между ними, их предикативность ничего не добавит к обоснованию их непротиворечивости (они так и останутся вне существенных самоссылочных оснований).

Ниже приведён типичный пример таких построений ([14], см. также [13]).

CZF   => IZF  => ZF ft                     ft                 ft

CZF_R._E => IZF_r    (CZFrjs + EM)

ZF <_ IZF

CZF ~ IDi ~ KP « IZF ~ ZF

Рис. 1. Диаграмма соотношения модификаций аксиоматики ZF ( по [14])

Рассматриваются также и модификации аксиоматики теории множеств Неймана – Бернайса – Гёделя (NBG), см. [18], [19]. Вопросы обоснования введения тех или иных основоположений теории (аксиом) в этих работах не описаны, аксиоматика вводится произвольно, также не рассматриваются вопросы непротиворечивости получаемых теорий, возможности введения понятий множества всех множеств в этих модифицированных аксиоматиках тоже не усматривается.

4.    Антифундирование

В этом параграфе указано на ограниченность использования в аксиоматике антифундирования.

После отказа от аксиомы фундирования наблюдались попытки описать не полностью фундированные множества и даже ввести аксиому антифундироания. Аксиома антифундирования описана подробно с её различными вариантами в [12]. При введении этой аксиомы в [12] указывается, что каждому множест- ву соответствует единственный ориентированный граф, соответствующий отношению принад-Рис 2 Мно- лежности, и что не полностью жество Q фундированные     множества предполагаются в наличии; причём стрелка (ребро графа) направлена почему-то не в сторону отношения включения, а от большего (содержащего) множества к меньшему (содержащемуся в нём). По [12] множество, содержащееся в самом себе, имеет граф, указанный на рис. 2: Ω={Ω}. Но эта диаграмма развёртывается в [12] как бесконечная последовательность: •→•→•→…, или в виде записи, подставляющей в правую часть выражения вместо Ω его определение Ω={Ω}: Ω={Ω}={{ Ω}}=…={{{{…}}}}=… ; это сравнимо с бесконечной последовательностью Пирса, упомянутой в параграфе 3. Антифундирование по [12] заключается не в ликвидации бесконечных вложений (см. параграф 2), а в ограничении при рассмотрении только конечными графами множеств (без рассмотрения их бесконечного развёртывания). То есть используется всё тот же приём, что и при введении аксиомы фундирования. Если что-то неудобно, то не рассматривают это: при введении аксиомы фундирования отказались от рассмотрения самопринадлежащих множеств, при антифундировании отказываются рассматривать развёртывание самопринадлежно-сти в бесконечную цепь.

При дальнейшем рассмотрении антифундирования выдумывание ограничений отказа от самопринадлежности доходило до курьёзов, так в [16], чтобы не рассматривать предложенное в [12] развёртывание бесконечной последовательности принадлежности указывается, что выражение х ε y ⇔ x ∈ y*, где отношение ε – это отношение между индивидуумами, а ∈ – это отношение между инди-виддумом и классом, тогда а={а} из [12] (см. выше) заменяется на ∀х(х ε а ⇔ x ∈ y), и a*={a}, т. е. в [16] говорится, что {а} соответствует не самому собственно а, а его метке (colabel) a*, что означает принадлежность а не самому себе, а его метке (colabel) а* 1 . Как видно в [16], при рассмотрении нефундиро-ванных множеств предпринимаются те же попытки, что и при введении аксиомы фундирования, – исключения из рассмотрения само-принадлежащих множеств. Аналогичны ограничения в [21], [20], в [15] описаны варианты рассмотрения бесконечных последовательностей при развёртывании графа принадлежности (см. рис. 2 и выше; но в этих работах нет и попыток обоснования непротиворечивости теории множеств (основного вопроса).

Заключение

Как показано выше, даже при рассмотрении антифундирования рассмотренные зарубежные работы стараются исключить из рассмотрения самопринадлжность множеств, используя различные способы растождествле-ния объекта с самим собой, – якобы он принадлежит не себе самому, а некой "надстройке" над ним, при этом вопросы обоснования непротиворечивости множеств остаются у них без внимания, в отличие от упомянутой теории множеств с самопринадлежностью.