Сечения касательных расслоений

Пусть V – гладкое векторное поле на многообразии M, которое, как известно, можно рассматривать как сечение Pv (M) : M ^ T(M) каса тельного расслоения [1]. Сечение pv (M) может быть рассмотрено как подмногообразие в   T(M),   заданное   локально   уравнениями:

x = x1, yi = V1 (x).

Локальный базис B _{( i )}     сечения,   очевидно, имеет вид

B ( i ) :( B i ) ^A

5^ )                                             Г          1

, , относительно локального базиса J--1 . Вве- д Vh J                                          [дx1^yi'J дем также в рассмотрение локальный базис слоев касательного расслоения Су), где C (0; (C1A ) J 0 ).

_ _ Г д ) V

^С(; =

Очевидно, что    (1) (дxi J . Базис {B(i), С(i)} называется адаптиро- ванным к сечению в (м).

Выразим в адаптированном к сечению (короче АS-) базисе горизонтальный лифт X ^H векторного поля X . Имеем X^H = X h 1Ь - ^ - X'lb = X h ( B ( h ) —д h VC (k ) ) - ^Я - Х ‘ С (-h ) = X h B ( h ) - ( ^{V xV} ) h C ( h) , т.е.

X ^H = BX - C ( V _XV ) ,

(1) с ( V X V )

где BX - тангенциальная к P _V ( M ) составляющая X^H ,

H

– вертикальная составляющая X .

Б.В. Заятуев. Сечения касательных расслоений

Предложение 1. Горизонтальный лифт касается подмногообра-

зия P v ⁽ M ) тогда и только тогда, когда V X V — 0

.

Связь между AS-базисом, базисом ^{ B (₁ ) , C ( ₁ ) } и адаптированным к

HV связности базисом

[51      I d I

e(‘) I ^1 I ,e(‘) I I vox /       

e — B.) - (VV)hC(h);

1       e — C(i);

и соответственно для двойственных базисов {B₍,), C_(i)} и {ei,e

—

le

e1 — B(1);

₇ Vi)B⁽h) + C⁽i)

.

Воспользовавшись этими соотношениями, выразим тензоры J ид в

AS-базисе:

J — Jie, ® e¹ + Jie ® ej — J'B,, ® B⁽j) - Ji V,V^hC_llt, ® B⁽j) + Ji VV V^JC,, ® B⁽h) + J'C,, ® C^J) Ji                ^{j 1}                 J⁽¹)                    ^{j 1        (}h)                    ^j h        ⁽¹)                    ^{j (1})

т.е.

J” : (J*V Vh - Jh V .VJ') .

Следовательно,

JH(BX) = B(JX) + C(JVXV-VJV) .

Таким образом, имеет место

Предложение 2. Подмногообразие P_V(M) инвариантно относитель-

I ,H                .    . JV V — V,.V, VX eN(M) .

но J — J тогда и только тогда, когда

Если Pv^(M) инвариантно относительно J , то определим оператор

J1 Е T (Pv (M)) следующим образом: J1 (BX) — JH (BX) — B(JX) .

Очевидно, что J — также почти комплексная структура.

Пусть N — тензор Нейенхейса оператора J . Тогда

N(XV ,Y)—0,

N(X ,Y')—(N(X,Y)+2(VXY+JVxJY+ JVjxY -VjXJY)) ;

N(XV ,YV)—(N(X, Y)h + 2(;R(X, Y)+JHYR,X, JY) + JH^R,JX, Y)-]R(JX, JY)) где yR (X, Y) — R (X, Y)y.

Легко проверить, что если подмногообразие Pv⁽M) инвариантно относительно J , то N⁽B^X,BY) = ^N(B^X,BY), где ^N - тензор Нейенхей-са оператора J . Значит,

N (BX, BY) = N(BX, BY) = N (XH + (VXV )^v, YH + (V_YV)^v) =

= N(X, Y) H + 2(yR (X, Y)).

Тем самым доказано

Предложение 3. Если подмногообразия P_v (M) инвариантно отно-

J            Г сительно , то AC-структура J интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема J и имеет место тождество r2 .

Для римановой метрики g = (Xgjj )V е ® ej + (gj )^V e ® e , вычислив ее выражение в AS-базисе, получим:

g:

fXg + g*v,wV ghv у)

.

Отсюда g (BX, BY) = Xg (X, Y) + g (V xV , V YV)

.

Обозначим через g сужение метрики g на подмногообразие в (M) R           (3¥ (M) J

^V . В случае, когда ^V – инвариантно, с учетом предложения 2 получаем предложение 4.

Предложение 4. Пара {J ,^{g }}- почти эрмитова структура на

Pv^(M) тогда и только тогда, когда JVxV = vjxV , VX gK(M).