Сходимость итерационных процессов в модели каскада водохранилищ

Задача выбора правил управления водохранилищами является практически важной задачей, решение которой может быть найдено с применением методов математического моделирования [1]. Выбор правил управления каскадом водохранилищ обычно основывается на вариантных расчетах, в рамках которых имитируется функционирование каскада при тех или иных правилах управления в течение достаточно продолжительного периода времени. При этом используется многошаговая динамическая модель каскада, которая основывается на балансовых соотношениях, дополненных математическим описанием правил управления, а также формулами для средних уровней воды выше и ниже плотин, на основе которых можно рассчитать показатели, характеризующие качество управления бассейном (например, среднюю выработку электроэнергии, вероятность наводнения и т. д.) [2].

При вариантных расчетах результатов применения тех или иных правил управления должна быть задана приточность водохранилищ. Для задания приточности используется долгосрочная информация, которая собирается организациями гидрометеослужбы в форме многолетних гидрологических рядов наблюдений большой продолжительности (порядка сотни лет). Построенные гидрологические ряды используются либо непосредственно, либо на их основе рассчитываются искусственные гидрологические ряды, сгенерированные с помощью случайного процесса, построенного с использованием исходного ряда [3].

При применении описанного подхода к выбору правил управления водохранилищами возникает следующая проблема. Для проведения вариантного расчета требуется задать начальные значения объемов воды в водохранилищах. Тогда, используя балансовое уравнение и изучаемое правило управления, можно последовательно, начиная с самого верхнего водохранилища каскада, рассчитать величины попусков через плотины и объемы воды во всех водохранилищах на шаг вперед. Возникает вопрос о том, откуда взять начальные значения объемов воды в водохранилищах.

Дело в том, что при произвольных значениях начальных объемов результаты расчета не могут быть использованы для сравнения различных правил управления из-за того, что полученные конечные величины объемов воды в водохранилищах будут, вообще говоря, отличаться от начальных величин. Такое отличие начальных и конечных объемов воды в водохранилищах означает использование дополнительного водного ресурса (или его экономию) по сравнению с альтернативными правилами. Для того чтобы обойти эту трудность, специалисты-водохозяйственники иногда предлагают повторить вариантный расчет, взяв в качестве начальных полученные конечные объемы воды в водохранилищах. Как показывает опыт, при этом зачастую удается уменьшить различие между начальными и конечными объемами. Однако это не дает решение задачи.

В данной работе предлагается алгоритм нахождения подходящих значений начальных объемов воды в водохранилищах на основе итерационного процесса. Показывается, что этот процесс сходится к одной из неподвижных точек некоторого отображения, то есть в пределе конечный объем воды совпадает с исходным.

Структура статьи такова. В разделе 1 дается описание математической модели каскада водохранилищ, в разделе 2 описывается итерационный алгоритм нахождения подходящих значений начальных объемов воды в водохранилищах. Раздел 3 посвящен изучению сходимости одного отображения, связанного с итерационным алгоритмом, а в разделе 4 результаты раздела 3 применяются к задаче нахождения подходящих значений начальных объемов воды .

1    Модель каскада водохранилищ

Рассмотрим модель каскада из I водохранилищ, расположенных в основном русле реки, использующихся для регулирования уровня реки в целях производства электроэнергии, предотвращения наводнений, обеспечения речного судоходства и водоснабжения в населенных пунктах и т.д. Пусть i — номер водохранилища, i = 1,..., I, причем водохранилище с номером i + 1 находится ниже i-го водохранилища. Математическая модель каскада представляет собой динамическую систему с дискретным временем (подробнее см. в [2]). Считается, что интервал времени t начинается в момент t - 1 и заканчивается в момент t . Модель каскада рассматривается в течение периода времени продолжительностью в T лет, причем каждый год в модели разбивается на n ₀ календарных интервалов, не обязательно равных по продолжительности. Тогда общее число интервалов за T лет составляет t ₀ = n ₀ • T .

Состояние динамической системы в момент t задается величинами w‘, i = 1,...,I, где wt — объем воды в i-м водохранилище. Динамика величин wit описывается балансовым уравнением wt = wt-1 + q + rU - r, rot = 0, (1.1) где i = 1,...,I, t = 1,..., t0, rt — попуск из i-го водохранилища за интервал времени t; qi — боковая приточность к i-му водохранилищу за интервал времени t. Термин «боковая» используется для того, чтобы отличать при-точность qit от приточности rit-1 , обеспечиваемой попуском из водохранилища, лежащего выше по течению.

Управляющими воздействиями в задаче управления каскадом являются попуски воды через плотины r, i = 1,...,I, t = 1,..., t0. Поскольку предсказать приточность водохранилищ на весь рассматриваемый период в T лет заранее невозможно, специалисты управляют попуском на основе правил, в которых величина попуска определяется в начале каждого интервала времени как функция имеющейся информации. В используемом нами классе правил попуска, которое обсуждается в [2], попуск г-го водохранилища на интервале t , обозначаемый rit , определяется в начале интервала, т. е. в момент t -1, согласно соотношению r = V (wt-1, <1, q, ai), (1.2) где i = 1,...,I , t = 1,..., t0, V (•,v,•) — некоторая заданная периодическая функция времени, имеющая период n0, а ai — набор ее параметров. Значения параметров ai для i-го водохранилища задает конкретное правило попуска. Величины wt-1 и qi в момент t -1 известны.

Отметим, что использовать правила (1.2) можно только тогда, когда уже определен попуск r‘1 водохранилища i - 1, лежащего выше по течению. Правила рассматриваемого класса должны удовлетворять некоторым естественным ограничениям. Например, при любом w t ^{- 1} величина w_i^t должна быть не менее w_i ^min и попуск r_i^t не должен превосходить некоторой величины r_i ^max , где w_i ^min и r_i ^max определены при проектировании плотины.

Предполагается, что совокупность параметров а = (а^i = 1,..., I ) , содержащихся в функциях (1.2) всех водохранилищ, должна принадлежать некоторому выпуклому ограниченному множеству В , которое определяется особенностями правил управления водохранилищами и здесь уточняться не будет.

Для анализа правила управления (1.2), задаваемого значениями параметров а = ( a i ,i = 1,..., I ) , требуется построить такие начальные значения объемов w 0, 1' = 1,..., I , при которых конечные значения w t 0 , 1' = 1,..., I удовлетворяют соотношению

I w ⁰ - W 0| <  8, i = 1,..., I ,                                (1.3)

где 8 >  0 — задаваемая экспертами величина допустимого несовпадения начального и конечного объемов воды в водохранилищах.

Рассмотрим балансовое уравнение (1.1) при i = i0 t t1 t t t                     t                      t1 t t w = wo + q-6 + ri0 —1 — riо , где ri0 = ^0( wo , ri0—1, q-0’ aO'

Величины qt, t = 1,...,t„ и rt ., t = 1,...,t„ в этом соотношении заданы, i 0 J J 0 v           i 0 —1 J J J 0

поэтому если задать w , то с помощью (2.1) можно вычислить величину wt0. Зависимость конечного объема воды wt0 от начального объема воды i0

w при заданном правиле попуска, т. е. при заданных параметрах a i , обозначим через w ^ = h^ ( w °_o).

Алгоритм для водохранилища i = i ₀.

Итерация 0. Берем произвольную величину w ₀ >  0

Итерация k >  0

• 1.    Рассчитываем w_k = hi_o ( w_{k — 1}).

• 2.    Если | w_k — w_{k — 1} 1 <  е , расчет завершается.

• 3.    k:=k + 1; начать новую итерацию.

Рассмотрим последовательность w ₀, w ₁,... , где w ₀ >  0, полученную в результате работы алгоритма. Покажем, что при выполнении некоторых условий при любом w ₀ >  0 эта последовательность сходится к одной из неподвижных точек функции h i ( • ). Предварительно докажем теорему о сходимости итерационных процессов, которая служит основой для анализа модели водохранилища.

3 Теорема о сходимости итерационных процессов

Рассмотрим отображение ф : R ₊ ^ R ₊ и семейство последовательностей { x_k } +" ₀, порождаемых x ₀ е R ₊ и рассчитываемых согласно формуле

X k + 1 = Ф ( X k ), k = 0,...                                  (2.2)

Введем обозначение B = { x е R ₊ | ф ( x ) >  x }.

Теорема 1 (о сходимости). Пусть ф ( ^) — непрерывная функция, не убывающая по своему аргументу. Для того чтобы последовательность { x k } += о для любого x ₀ е R ₊ сходилась к некоторой (может быть, зависящей от x ₀) неподвижной точке x * отображения ф : R ₊ ^ R ₊ , необходимо и достаточно, чтобы множество В имело следующее свойство: для любого числа у >  0 бесконечный отрезок [ у , +» ) не принадлежит B .

Доказательство. 1) Необходимость . Предположим обратное: пусть для любого x ₀ е R ₊ существует x * — предел последовательности { x_k } +" ₀, заданной (2.2), причем x * = ф ( x * ), но найдется такое число у ₀ е B , что ^[ У 0 , +^{да )} с B .

Рассмотрим последовательность { x_k } +“ ₀ при x ₀ = у ₀. В силу x ₀ е B имеем x >  x ₀. Отсюда x е [ у ₀, +да ) с B . Аналогичным образом показывается, что для всех к = 1,... из x_k е B следует, что x_{k + 1} >  x_k , откуда x_{k + 1} е B .

По условию леммы последовательность { x_k } +“ ₀ имеет предел x * , причем ф (x * ) = x * . В силу того, что x_{k + 1} >  x_k >  x ₀, k = 1,..., имеем x * >  x ₀. Следовательно, x * е [ у ₀, +да ), откуда x * е B , что противоречит ф ( x * ) = x * . Необходимость доказана.

• 2)    Достаточность. Итак, пусть для любого у >  0 бесконечный отрезок [ у , +да ) не принадлежит B . Рассмотрим последовательность { x_k } +“ ₀ для некоторого x ₀ е R ₊ и покажем, что она сходится к неподвижной точке ф ( - ).

Случай 1. x0 е B . По условию теоремы найдется такая точка x е[x0, +да), что x £ B , т. е. ф(x) < x . В силу непрерывности ф(-) и с учетом того, что ф(x0) > x0, найдется x0 < x** < x такая, что ф(x**) = x**. Применяя k раз неотрицательную неубывающую функцию ф(-) к обеим частям неравенств x0 < x** и ф(x0) > x0, получим xk < x** и xk+1 > xk , где k = 1,.... Таким образом, последовательность {xk}+“0 является неубывающей и ограниченной и, следовательно, сходится. Обозначим предел {xk}0 через x*. Поскольку ф(xk) = xk+1, то lim ф(xk) = x*. С другой сто-k ^+м роны, в силу непрерывности ф(-) , имеем lim ф(xk) = ф(x*) . Поэтому k ^+м

x * — неподвижная точка ф ( - ).

Случай 2 . Теперь рассмотрим случай, когда x ₀ £ B . Это означает, что ф ( x ₀) <  x ₀. Поскольку x_{k + 1} = ф ( x_k ), то в силу неубывания ф ( - ) имеем x_{k + 1} <  x_k , где k = 0,.... Таким образом, последовательность { x_k } +“ ₀ является невозрастающей. Она ограничена снизу в силу ф : R ₊ ^ R ₊ . Далее утверждение получаем аналогично случаю 1. Теорема полностью доказана .

Физический смысл свойства 1 заключается в следующем: класс правил попуска через плотину для любого набора параметров a^ должен обес- т+n 0-1 /

£{ r. -1+ < }• t=T

печивать попуск любой возможной годовой приточности

Точнее говоря, правило (1.2) таково, что при превышении объема воды в водохранилище некоторой критической величины wi должен осуществляться попуск, компенсирующий физически возможный приток воды в водохранилище. Таким образом, свойство 1 рассматриваемого правила управления должно обеспечивать безопасную эксплуатацию водохранилища, не допуская его переполнения при всех физически возможных qit и rt i 0

- 1 •

Свойство 2. Будем говорить, что правило управления (1.2) с некоторым параметром a.^ обладает свойством 2, если для любых физически возможных q' и r^ , функции w -у' (w,rt-1,q‘ ,a^) аргумента w являются неубывающими.

Пусть для водохранилища i ₀ заданы параметры a^ правила управления, а также боковая приточность и приточность сверху. Рассмотрим семейство функций

T + n 0 - 1                     T + n 0 - 1

^{Y ( w} ) = ^{w +} £ { r ot - 1 ⁺ q i 0 } ^- £ < ( <1, Г 0 t - 1 , qt, a Q>       (4.¹)

t= T                        t=T где wT-1 = w , t е{1, n 0 +1,..., n 0 • (T -1) +1}, определенные при w > 0.

Лемма 1. Если правило управления (1.2) с некоторым параметром a i обладает свойством 2, причем функции у ' ( w , • , • , a i) непрерывны по w то функции /^т ( w ), т е { 1, n ₀ + 1,..., n ₀ • ( T - 1) + 1 } являются непрерывными и неубывающими.

Доказательство. Обозначим функции w + rt- + qi - у' (w,r* 1,q^ ,aio) аргумента w через f‘o( w), где t е{т,...,т + n 0 -1} . Из (1.2) следует, что функция /т (•) является суперпозицией непрерывных функций ft (•) , t е {т,...,т + n0 -1}, т. е. у^ (w) = f^+*0-1 (fT+*0-2 (...fT(w)), w > 0. В силу свойства 2 функции fiot(^), t е{т,...,т + n 0 -1} являются неубывающими. Таким образом, функция /т (•) — непрерывная и неубывающая при каждом т е {1,n0 +1,...,n0 • (T-1) +1}. Лемма доказана.

Теорема 2. Если правило управления (1.2) с некоторым параметром a i_o обладает свойствами 1 и 2, причем функции у' ( w , • , • , a i) непрерывны по w , то последовательность w_k = h^ ( w_k - 1 ), k = 1,2,... сходится к неподвижной точке функции h , ( • ) при любом w ₀ >  0.

Доказательство. Функция Н^ (•) является суперпозицией функций yTj (•), где тj = 1 + j • nо, j = 0,...,T -1, точнее h (w) = yT-1 (yTt-2 (...YT0 (w)), w > 0 . i0 v z i0 v i0 v i0 v zz

В силу леммы 1 функция h, (•) является непрерывной и неубывающей, при этом h(w) > 0 при w > 0. Покажем, что множество {w > 01 hiQ (w) > w} ограничено.

По определению свойства 1 правила управления найдется число w(a0,T)>0 такое,что E <(w^<-1,q^a )> E {<-1+ q-t} привсех wT 1 > w,o (a,o,T) . С учетом (4.1) получим, что yT(w) < w для любого

w> w (a ,T.

¹ 0 \ i 0 ’   /

Пусть c = mx J w, 0 ( a , 0 , t ) }

Тогда при w >  c имеем

yT (w) < w для всех j = 0,...,T -1. Последовательно применяя неубываю щие функции yTj (•), j = 1,...,T-1, к обеим частям неравенства y!”(w) < w, с учетом неравенств у4 (w) < w, j = 0,...,T -1, получим, что h,o (w) < w при всех w > c . Это доказывает ограниченность множества B = {w > 01 hio (w) > w} .

Таким образом, возвращаясь к последовательности { w_k } +" ₀ , где w_{k + 1} = h^ ( w_k ), видим, что все условия теоремы 1 о сходимости выполнены, следовательно, последовательность w_{k + 1} = h , _o( w_k ), k = 0,1,... сходится к неподвижной точке функции h , _o ( • ) при любом w ₀ >  0. Теорема доказана.

Ясно, что в силу сходимости { w_k } +" ₀ найдется элемент последовательности w_{k o} такой, что | w_{k o+1} - w_{k o} |< е . Следовательно, на каком-то шаге итерации будет получена искомая величина w ⁰ , удовлетворяющая условию (1.3) при i = i ₀.

Заключение

Проведенный анализ модели показывает, что предложенный алгоритм позволяет находить такие значения начальных объемов воды в водохра -нилищах w ⁰ , i' = 1,..., I , что при заданных правилах управления класса

• (1.2)    и заданном ряде приточности выполняется требование (1.3). Благодаря этому оказывается возможным использовать имитационные эксперименты для выбора наиболее подходящих правил управления каскадом водохранилищ.