Сходимость решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса

Система уравнений переноса-диффузии является системой параболических уравнений и изучена многими математиками. Основные методы находятся например в [1] . В целом эти классические методы не дают удовлетворительной информации относительно поведения решения уравнений при коэффициенте диффузии, который стремится к нулю.

Решение линейного параболического уравнения можно построить также путем обратного уравнения Колмогорова [2] . Этот метод позволяет добиться стремления коэффициента диффузии к нулю, так что получается несколько хороших результатов относительно поведения решения уравнений при стремлении коэффициента диффузии к нулю [3] . Но эти результаты выражаются на языке теории вероятностей, и их не всегда легко перевести на язык математического анализа. Кроме того, для систем или при наличии нелинейного члена применение этого метода усложняется [4] , [5] .

В [6] (см. также [7] , [8] ), используя идею построения решения параболического уравнения путем стохастического уравнения, а также ядро теплопроводности вместо винеровского процесса, построено семейство приближенных решений, которые сходятся к решению уравнения переноса-диффузии. Приближенные решения определяются без использования вероятностных понятий, а их сходимость доказывается обычными средствами математического анализа.

Целью настоящей работы является доказательство сходимости решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса. Для этого рассматриваются приближенные решения для системы уравнений переноса-диффузии на определенной дискретизации времени, которые определяются введенным в [6] , [7] и [8] методом, и приближенные решения для системы уравнений переноса на той же дискретизации времени. Сравнение двух семейств приближенных решений на одной и той же дискретизации времени позволяет получить хорошие оценки разности между двумя приближенными решениями. Эти оценки играют основную роль для доказательства сходимости решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса.

1 Постановка задачи и основной результат Рассмотрим систему уравнений переноса-диффузии

d dtuiK](t,x) + X vi,j (t,x)dxju^K(t,x) = KAiuiK](t,x) + fi(t, x, u[K] (t, x)), j=i t> 0, x GRd, i = 1,...,m,    (1)

и систему уравнений переноса

d dtui0](t,x) + Xvij(t,x)dxju-0](t,x) = fi(t,x,u№(t,x)),     t> 0, x G Rd, j=i i = 1,..., m, (2) где u[k] = (uJk] ,..., ujm1) (соотв. u[0] = (uj0],..., Um)) — искомая векторная функция для системы (1) (соотв. (2)), viA (i = 1,..., m, j = 1,..., d) — заданные функции от t и x, f (i = 1,..., m) — заданные функции от (t, x, u), к — положительный коэффициент и Ai (i = 1,..., m) — дифференциальные операторы, имеющие вид d2

A i = X ^a jk _{й й} ,                    ⁽³⁾

∂x ∂x j,k=1        j k где aji), j, k = 1,..., d, — постоянные вещественные коэффициенты, удовлетворяющие условиям ajk = aA.     при любых j, k = 1,..., d,               (4)

d

X a j^j ^ k >  0    v e G R d .                 (5)

j,k =1

То есть A i — эллиптический оператор, но не обязательно строго эллиптический. Функции V ij (t, x) и f i (t, x, u) одинаковы в уравнении (1) и в уравнении (2) .

Для системы (1) и для системы (2) зададим начальное условие

u ^{[ k ]} (0 , x) = u ^[0] (0,x) = u o (x) = (u o , 1 (x), • • • ,u o ,m (x)).           (6)

Обозначим через C b ( R d ) (соотв. C b (R ^d x R m )) класс ограниченных непрерывных на R d (соотв. на R d x R ^m ) функций и через C b,ioc (R ₊ ; C b (R ^d )) (соотв. C b,ioc (R + ; C b (R ^d x R m ))) класс непрерывных на R + x R d (соотв. R + x R d x R m ) функций, которые ограничены на [0, т] x R d (соотв. на [0, т] x R d x R m ) для каждого т > 0. Введем также обозначения

| α |

d

^{| a |} = 52 a, j =1

α x    dxa... dxad,

α x,u

∂|α| d+m

^{| a |} = 52 ^a j .

j =1

dx a ¹ ... dx a d du a d ⁺ⁱ ... du m d ⁺ m ,

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема A. Предположим, что для любого i = 1,..., m , j = 1,...,d

DXvi,3(t, x) E Cb,ioc(R+; Cb(Rd))     при |a| < 3,(7)

dtD^vij(t,x) E Cb,ioc(R+; Cb(Rd))     при |a| < 2,(8)

fi^U) e Cb,ioc(R+; Cb(Rd x Rm)),(9)

1 + |u|

Da,ufi(t, x, u) E Cb,ioc(R+; Cb(Rd x Rm))     при 1 < |a| < 3,(10)

dtDa,ufi(t, x, u) E Cb,ioc(R+; Cb(Rd x Rm))     при |a| < 2,(11)

DauO’i(x) E Cb(Rd)     при |a| < 3.(12)

Тогда решение u[k1 = (u1K](t, x),..., Um(t, x)) системы уравнений (1) с начальным условием (6) и решение u[0](t, x) = (u^0](t, x),..., Um(t, x)) системы уравнений (2) с начальным условием (6) удовлетворяют следую- щим неравенствам sup           |u[k] (t,x) - ui0](t, x)| < Ko,Tк,(13)

ie{1’••• ,m}, (t,x)G[0’T]xRd suP          |^U[K] (t,x) - ^Ui0](t,x)| < K1,TK, ie{1’— ,m}, (t,x)E[0,T]xRd ldt                 dt1

sup               | ^-u i^{K ]} (t,x) - ^-u i ^0] (t,x) | <  K ^ r к, (15)

ie{1’••• ’m} je{1’- ,d}, (t,x)e[0,T]xRd ldxj                dxj sup                  |          uiK](t,x) |< K3’T,(16)

i e{ 1 ’ --- ’m } ’ jj ⁰ G{ 1<- ’d } ’ ( t’X ) G [0 ’T ] x R ^{d dx} j ^dx j ⁰

где т — произвольное положительное число, а K 0 ’_T , К ^ т , K 2 ’_T , К 3 ’_Т — постоянные, которые зависят только от v, f , U 0 , т (т. е. не зависят от κ ).

Это означает, что для каждого т > 0 решение

и ^{[ к ]} = (u 1 ^{K ]} (t, x), • • • , u m ^] (t, x))

системы (1) сходится равномерно на [0,т] x R d к решению

U ^[0] (t,x) = (u 1^0] (t,x), • • • ,Um(t,x))

системы (2) , а каждый член уравнений (1) сходится равномерно на [0, т] x

Rd к соответствующему члену уравнений (2), т. е. dtuiK](t, x) сходится к dtui0](t, x), KAiuiK] сходится к нулю и fi(t, x, u[K](t, x)) сходится к fi (t, x, u[0] (t, x)), кроме того, их разность пропорциональна κ. Отметим, что сходимость fi(t, x, u[K](t, x)) к fi(t, x, u[0](t, x)) следует из (13) и (10).

2 Определение приближенных решений

Чтобы определить приближенные решения для системы (1) , рассмотрим сначала фундаментальное решение уравнения d t ^ — KA i ^ = 0. Так как коэффициенты a jk постоянны, согласно условию (5) существует такое подпространство M ^{( i )} пространства R d , что

M(i) = { Aix : x G Rd },     Ai = (ajXk^,...^, а на M(i) оператор Ai является строго эллиптическим. Введем такую систему координат (T1,..., Td), что

M ^{( i )} = { «1 , ...,T d ) G R d : ^ q₊ i = ... = T d = 0 } , q = dim(M ^{( i )} ).

Тогда сужение оператора A i на M ^{( i )} можно представлять в виде

q

A.|M(i) = B« = X j g^,(17)

j,k=1

и имеет место

d

X в^Ч з n k > 0    V n G R ^q , П = 0.

j,k =1

Фундаментальным решением уравнения dt^ — KBi,q^ = 0    в M(i)

является e („).                        11

®K,i (t,T) = “    d       TT exp (i,-/ X Wi,jkTj^'У

(4nKt)2 (detBi,q)2      v   4Kt j,jo=1

где Bi,q = (ejk')j,k=i,...,q, а Wi^jk — элементы обратной матрицы B-q1 (см. [1], глава IV, § 11). Легко видеть, что фундаментальным решением уравнения dt^ — KAi^ = 0

в R d в координатах (T i ,..., T d ) является

где 6(T j ) — 5-функция Дирака.

Так как T j представляет собой линейную комбинацию x i ,..., x d , подставляя T j = T j (x) = c 1 x 1 + ... + C d X d в выражение © _K,i (t,T) (см. (19) , (18) ), получим выражение функции 0 _K,i в координатах (x 1 ,..., x d )

Из свойств функции 0Kqi(t,€) и ^-функции Дирака следует непосред- ственно, что

/ ©_K,i (t,x)dx = 1      V t > 0,

R ^d

x) =

R ^d

0 K,i (t, y)0 K,i (s,x — y)dy

Vt, s >  0.

Теперь введем семейство дискретизаций по времени. Определим

^ n — 2n ,     n — ¹ 2,...,

0 — t 0 n ^] <  t^ <...< tW 1 < t [ n ] < ...,      t n — k5 n .

Для каждого n — 1, 2, ••• рассмотрим соответствующую шагу 6 n функцию

Кроме соотношений (21) (для t — 5 n ) и (22) (для t — s — 5 n +i , t + s — 5 n ) имеют место еще соотношения

/ © K,i,n (x)x j dx — 0, j — 1,...,d, R ^d

/ © K,i,n (x)x j x k dx — 25 п ка^,    j,k — 1,...,d

R ^d

(для доказательства соотношений (24) и (25) в случае q — d см. [7] , а в случае q < d нетрудно их выводить из соотношений в случае q — d и свойства δ -функции Дирака).

Определим приближенные решения

u ^{[ K,n ]} (t, x) — (u 1 ^{K,n ]} (t, x),... ,u m^{,n ]} (t,x))

соотношениями uiK,n] (tn, x) — uo,i (x),(26)

u^n (t kn ^] , x) — / 0 K,i,n (y)u i^{K,n ]} (t kn ^] ₁ ,x - 5 n V i (t kn ^] ,x) - y)dy+ R ^d

+ dnfi(tknh,x, u[K,n(tknh,x)),         k — 1, 2,...,(27)

[n]

u i^{K,n ]} (t,x) — t^^-^ u^n (t kn i ,x) +         u i^{K,n ]} (t k^{n ]} ,x)

δn при tkn 1 < t < tkn].

Для системы (2), используя ту же дискретизацию по времени и то же начальное условие, определим приближенные решения ul0,n] (t, x) — (uio,n](t, x), • • • ,um,n](t, x)) для уравнений (2) соотношениями ui0,n] (t0n], x) — uo,i(x),

ui0,n|(tkn], x) = ui0,n](tkn-1,x - 5nVi(tjn],x)) + Mi(tknl1, x, u[0,n](tknl1 ,x)), k = 1, 2, ••• ,(30)

[n]

u1"" .-. x ) = ^ ut°-"l(tk"21,x) +

δn при 1^-1 < t < tkn].(31)

3 Оценки приближенных решений и их сходимость для каждой системы

Для сходимости приближенных решений и ^{[ к}’ ^{n ]} (t,x) к решению уравнений (1) и для доказательства теоремы A нам понадобятся оценки приближенных решений и ^{[ к}’ ^{n ]} (t, x ) для уравнений (1) и их производных. Они доказываются аналогично оценкам, полученным в [6] , [7] . Но нам нужно показать, что эти оценки не зависят от κ. Кроме того, следует обратить внимание на то, что у нас есть система.

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы A. Тогда существуют независимые от к и от n возрастающие функции Л°(-), Л1(-), Л2(•) и Лз(-) такие, что для любого т > 0 имеются sup       |uiK,n](t,x)| < л°(т)     Vt e [0,т],           (32)

ie{1,••• ,m}, xeRd sup            I ^-uiK,n](t,x)| < Л1(т)     Vt e [0, т],     (33)

ie{1,••• ,m}, jG{1,--- ,d}, xeRd dxj d2

sup               I           u i , ^]( t,x) I <  Л 2 (т)      Vt e [0, т], (34)

i e{ 1 , ••• ,m } , j,j ⁰ e{ 1 ,— ,d } , x e R d ^dx j ^d x ^{j 0}

sup               |      ^ _я ---u i ^K,^{n ]} (t,x) | <  Л з (т)    Vt e [0, т].

i e{ 1 ,-- ,m } , j,j 0 ,j ⁰⁰ e{ 1-,d } , x e R d ^{1 dx} j ^dx j ^{0 dx} j ^{00               1}

Доказательство. Пусть т >  0. Положим т ₊ = т + 5 1 ,

A k ^{0 ,n ]} =       sup        ^| u i^{K,n ] ( t} kn ^{] ,}x ^)| ,      k ^e N U^{0} . k <  ^{T +} .

i e{ 1 , --- ,m } , x e R d                                                      ° n

| f i ^{( t,x,u )|}

^{1 + | u |}

Cf =          sup ie{1,--- ,m}, (t,x,u)e[0,T+]xRdxRm

В силу (21) имеем

¹ f о          ^[K,nb>^]  _T_A„.(flⁿl            ¹<  Д ^[0,n^]

¹ I   ^ K,i,n ^(y)u i     ^(t k _— 1 ,^{x   5} n v i ^(t k ,^{x ) y ) dy 1} <  ^A k _— 1 ,

Rd а в силу (9)

\n.(+ ^{[ n ]} xn^n                        A^[° ,nh

| f i (t k - 1 , x, u ^(t k - 1 , ^{x)) l} — C f ^{(1 +} A k - 1 ^{) .}

Следовательно, из (27) получим

A k ° ^{,n ]} — (1 + 5 n C f )A ^V ° : n^ + ^ C f .

Отсюда с учетом соотношения t kn ^] = k5 _n следует

k

A^ — A °° ,n ] (i + _§ n C f ) ^k + ,r. X (1 + 6 _n C f ) ^k-j — j =i

— A °° ,^{n ]} e t k ^{n ]} C f + Л^ПС - 1       (36)

для t kn ^] — т ₊ . Учитывая, что A °° ^{,n ]} = sup _{i e}{ ₁,...,_m } , _xG r 2 | u ° ,i (x) | не зависит ни от κ ни от n , из определения (28) и неравенства (36) выведем существование независимой от к и от n функции Л ° (t), удовлетворяющей неравенству (32) .

Что касается неравенств (33) , (34) и (35) , дифференцируя по x j или по x j и x j 0 или по x j , x j 0 и x j 00 две части (27) и используя условия (7) , (10) и (12) и соотношение (21) , установим для

AM' =          sup          |^uJK-"l(tknl,x)|, iG{1,...,m}, je{1,...,d}, xeRd dXj л [2,n]                                            I д      [к,п]/ Jn] \|

Ak   =             sup             | я я   ui   (tk ,x)I , ie{1,••• ,m}, j,j0G{1,...,d}, xeRd dXj dxj0

л [3 ,n ]                                                         I ^д            [ к,п ] /j.[n ] \ I

Ak  =          sup          I ———-—ui J(tk ,x) I, ie{i,--- ,m}, j,j0,j"e{i,...,d}, xeRd ' dxjdxj0dxj00'

k E N U { 0 } , k — ^T j ^ ¹ , неравенства

Ak1,n] — (1 + 5nCi(T))Aky+ 5nCi(T+),(37)

Ak2,n] — (1 + 5nC2(T))Ak2-n1]+ 6nC2(T )(1 + Л1(т+)2),(38)

A k ^{3 ,n ]} — (1+d _n C a (T))A k ³ 2 n i^] +d n C 3 (T) ( 1+Л 2 (т + )(1+Л 1 (т + ))+Л 1 (т + ) ³ ) , (39) где C i( t ), C 2( t ) и C 3( t ) — постоянные, которые зависят от т , и не зависят ни от n ни от κ . Неравенства (37) , (38) и (39) будут доказаны аналогично работам [6] и [7] . Из (37) , (38) и (39) следуют неравенства (33) , (34) и (35) . □

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы A. Тогда для каждого т >  0 приближенные решения u [ ^K,n (t,x) = (u 1 ^K,n ^] (t, x),..., U mn (t,x)) , определенные соотношениями (26) – (28) , и их производные первого и второго порядка по x сходятся равномерно на [0, т ] x R n к векторной функции u ^{[ K} (t,x) = (u 1 ^K (t, x),. . . , u m ^] (t, x)) и их производным первого и второго порядка по x, а предельная векторная функция u ^{[ K} (t, x) удовлетворяет системе (1) .

Лемма 2 доказывается аналогично работам [6] и [7]. Для этого доказа- тельства переход от одного уравнения к системе уравнений не вызывает сложностей. Отметим, что соотношение (22) (с t = s = dn+i, t + s = dn) позволяет удобно оценить разность uiK,n+1](t,x) — uiK,n](t,x), а для предельного перехода играют важную роль свойства (24) и (25) функции

@ K,i,n ^(x) .

Что касается сходимости приближенных решений u ^{[0 ,n ]} (t, x) к решению u ^[0] (t, x) системы (2) , можно доказать ее обычным рассуждением о приближении дифференциальных уравнений дискретизацией по времени. Итак, имеем следующую лемму.

Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы A. Тогда для каждого т > 0 приближенные решения u ^{[0 ,n ]} (t,x) = (u 1° ^{,n ]} (t, x),..., u m^{,n ]} (t,x)) , определенные соотношениями (29) – (31) , и их производные первого порядка по x сходятся равномерно на [0 , т ] x R ⁿ к векторной функции u ^[0] (t,x) = (u 1°^] (t,x),...,u m (t,x)) и их производным, удовлетворяющим системе (2) .

Поскольку производные второго порядка не входят в уравнения системы (2) , можно доказать утверждение леммы 3 при несколько более слабых условиях. Но ради простоты изложения формулируем лемму при условиях теоремы A.

4 Доказательство теоремы A

Теперь мы можем перейти к доказательству основной теоремы.

Доказательство теоремы A. Чтобы доказать неравенства (13) , рассмотрим разность u i^{K,n ]} (t kn ] , x) — u i ^{0 ,n ]} (t^ ] , x), которая согласно (27) и (30) выражается в виде

«МС^¹, x) — «Г"'^,*) = D i + D 2 + D 3 ,

где

D 1

/

R ^d

X [ u i^{K,n ]} (t kn - ₁ ,x — 5 _n V i (tt kn ,x) — y) — u i^{K,n ]} (t kn - ₁ ,x — 5 _n V i (t kn ,x)) ] dy, (41)

D2 = uiK,n](tkn-1,x - dnVi(tkn],x)) - ui0,n](tkn-1,x - dnVi(tkn],x)),(42)

D3 = 5n [fi(tkn-i,x,u[K,n](tk^    — fi(tk-i,x,u°,n(^^

Согласно формуле Тейлора имеем

U^ ’n Ct k —p X - ^V^t jn , x) - y) - u J ^{K,n ]} (t k’ _{- i} ,X - 5 n V i (t kn ,x)) =

= tV ur'lt* Д+

I ^ = x - 5 n V i ( t k ^J,x)

ⁱ «        d ² u J^K," ' (4 - pt) .

⁺/0 ^ y y —d jj—L.,-^, --- x ) - sy ^{(1 - s ) d}s.

В силу (24) имеем

-

/

R ^d

I § = x - d n V i ( t k ^J,x )

С другой стороны, в силу (25) существует независимая от κ и от n посто-

( i )

янная Ci такая, что i Г                  G d           d2u[K,nl (t[n] ^) i                                           i

® _K,i,n (y)           y j y i---- J-¹’ [ 1       (1 - s)dsdy <

I jRd    ’ ’      do 2T^1             d^jd^j0       l$=x-5nvi(tkn ,x)-sy                । j,j =i

< 5 n KG?

XX      | d ² u^(t^[ n - 1 ,^)

у   ^TRd ^{1     d}^ i ^d^ i⁰

j,j

Следовательно, с учетом соотношения (34) получим

| D i | <  8 n кC^ i ⁱ Л 2 (т ).

Что касается D 2 и D 3 , легко видеть, что если положим

Bk0=       sup        u;-n|(/kn X) - ui0n,(tk",I)N iG{i,^^^ ,m}, xGRd получим

| D 2 |< B k ^{0 1} 1 ,       | D 3 1< d n C 2 i ⁾ B k ⁰¹1 ,                  (45)

где C 2 i) — независимая от к и от n постоянная (см. (10) ).

Положив Ci = SuPiG{i,...,m} Ci) и C2 = suPiG{i,...,m} C2i), из (40), (44) и (45) выведем lutn(tkn,x) - ui0,n](tkn],x)l < |D1I + ID2I + |D31 <

< B [   + ^ C _; B^ 1 + S n sC^r ),

[ 0 ]

откуда с учетом определения B _k

B ^[ <  (1 + ^H— + § п кС 1 Л ₂ (т).           (46)

Так как согласно (26) и (29)

BJ' =       sup       |uiK,n](0,x) - ui0,n](0,x)| = 0, iG{1,...,m}, xeRd из (46) следует

k

B <  д п кС 1 Л 2 (т ) X (1 + d n C 2 ) ^k-j .               (47)

j =i

Используя неравенство k                         kδn

' V(1 + ^k-j < /   eC2tdt, j=1                     0

из (47) получим sup |uiK,n](t, x) - ui0,n](t, x)| < кС1Л2(т+)-^-eC'2T     для 0 < t < т. (48)

x e R d                                         C 2

Поскольку u i^{K,n ]} (t, x) и u i ^{0 ,n ]} (t,x) сходятся соответственно к u ,^{K ]} (t,x) и к u i ^0] (t, x) равномерно на [0, т ] х R d , из (48) следует (13) с одной постоянной K 0 ,_T , которая зависит от т , но не зависит ни от к ни от n.

Теперь перейдем к доказательству (15). Введем вспомогательное обозначение wijnkx) = dixru^^tkn^x)    (i = 1,...,m, j^..^d).      (49)

Тогда, дифференцируя две части (27) и (30), имеем dxj u[K,n] (tkn],x) — dxj uj0,n](tkn],x) = Ei + E2 + E3,          (50)

где

E 1

= / ® ^K,i,n ^(y) [ w ijj - i R d                       , ,

(x-5_nv i (tt knn

x^-y^-w j . _ ₁(x-8_nv i (t kn ^] ,x)) ] dy+

⁺ ^ n

L

R ^d

e,,, ,n (y) X [wjjnk-i(x-«nVi(t|n,,x))-w!jn]t            ... . х j'=1

xd x j v * (t^n^dy,

E2 — [ Й Е , u'rVt'k- 1 ,4) - d u^Vt^ _P4) ]|              +

I ^ = x - 5 n V i ( t k ,x)

d

" X ^d 0 u i ^{0 ,}n l (t n 1 ,4) - ^d u^ n (t n 1 ,4) ] |                ^d V i,j 0 (tw,x),

* 0 =     j                          j                      l$= x - d n V i ( t k ,x )

^E 3 — 5 „ h ^d x j / i ^{( t} k - 1 , x,^{u ) |}            [ n ]

L                          I u = u ^{[ K},n ^] ( t k - 1 ,x )

^{- d} X j f i ^(t k - 1 ^{,x,u) 1}          [ n ]     ⁺

I u = u ^[u ,n ^] ( t k - ₁ ,x )

m

⁺ X (X 0 M- 1 ^{,x,u ) 1}    [n„v.H A^j ui' X 1 ^{,x )}

^z' \                             I u = u ^{[ K} ,n ^] ( t, . ,x)

i ⁰ =1                                          ⁽ k ^-1 , )

-A Mt ^ - 1 ^,x,u) ¹         [ n ]       u ^n (t j n ₁ ,x) )] .

I u = u^[°,n^] ( t k - 1 ,x)         ^г                 /-I

Аналогично оценке D1, используя формулу Тейлора wVjk-1(x - snvi(t[kn,x) - y)- w*k-1(x - ^nviktkn,x)) —

^{— - y} •^ ^ w i ¹ jn - 1 ^{( 4 ) 1}           [ n ] ⁺

,J,           l^= x - d n V i ( t k ^J,x )

1 ^d             <9²w^[1, ^{n ]}

^d w i,j,k - 1 ^{(4 )}\

⁺        > . y* ⁰ y * ⁰⁰                1 _{£ x} Un ] 1    ^{(1 - s ) ds}

J0 j0 jTT^^            d4*0d4*00 l€=x-5nvi(tk J,x)-sy и также соотношения (24) и (25), из выражения E1 выведем, что

| E 1 1< -^      - 5 _п С з )Л з (т),                        (51)

где Сз — независимая от к и от n постоянная.

Что касается E 2 и E 3 , несмотря на то, что их выражение немного сложно, используя также (48) , нетрудно получить

| E 2 ⁺ E 3 1 <  SUp ^{l d} j u^ n ^(t k- 1 ^{,4) - d} ^ j ^и?’^ПП (t L-1 ^,4) l ⁺

ξ ∈ R ^d

d

+5 „ [C 4 X sup ^ld j Up n ^(t k - 1 ^{,4 ) - d} ^ j 0 ^u i ^{0 ,n ]} (t k - 1 ^{,4 )| +}

^L * 0 = 1 € G ^{R d}

⁺ C 5 h ^{(1 + Л} 1 ^{( т} + ^{)) к Л} 2 ^{( т} + )UT^eC ^{2 T +}

C 2

m

⁺ X ^{| d} X j u !^K,^{n ]} (^t kn ^]i ^,x) - ^d X j u i ^{0 ,n ]} (t l n l i ^,x) l] ],      ⁽⁵²⁾

i 0 =1

где C 4 и C 5 — независимые от к и от n постоянные.

Если положим

Bk1] =             SUP             |dxju!K,n](tkn],x) - dxjul0,n](tkn],x)|, iG{1,...,m}, jG{1,...,d}, xGRd из (51) и (52) вытекает

B[ < (1 + dnCe)Bk1]1 + 5пк(СбЛз(т+) +Г1(т,Л1(т+),Л2Ы)), где Cg — независимая от к и от n постоянная, а Г1(т, Л1, Л2) — функция, которая возрастает по т, по Л1 и по Л2 и не зависит ни от к ни от п.

Следовательно, с учетом соотношения в О¹ = 0,

k

В [ <  5 п к(С ₆ Л з (т + ) + Г 1 (т,Л 1 (т + ), Л 2 (т + ))) X (1 + > C k .    (53)

j =1

Аналогично доказательству (13) из (53) получим (15) .

Неравенство (16) есть не что иное, как неравенство (34) .

Что касается неравенства (14), так как u[K](t,x) и и[0] (t, x) удовлетво ряют уравнениям (1) и (2), то имеем ddtujK](t,x) - d-uj0](t,x) =

= -V i (t, x) • ( V u i^{K ]} (t,x) - V u i^{K ]} (t, x)) + +K A i u i^{K ]} (t, x) + f i (t, x, u ^{[ K ]} (t, x)) - f i (t, x, u ^[0] (t, x)).

Отсюда с учетом (13) , (15) и (16) следует (14) .

Теорема доказана. □

Заключение

В данной работе при условии адекватной гладкости данных доказана сходимость решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса в случае, когда коэффициент диффузии стремится к нулю, причем получена пропорциональная коэффициенту диффузии оценка разности членов в уравнениях переноса-диффузии и членов уравнениях переноса. Получение этих результатов основано на использовании приближенных решений уравнении переноса-диффузии, введенных в [6] и [7]. Этот подход позволил лучше оценить разность решения системы уравнений переноса-диффузии и решения системы уравнений переноса. В известной литературе, основанной главным образом на теории стохастических уравнений (в частности [3]), такой оценки не найдено.

Так как в [8] метод приближенных решений, введенный в [6] и [7] , обобщен на случай, когда уравнения рассматриваются в полуплоскости, у нас есть хорошая перспектива изучения возможной сходимости решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса в полуплоскости или в полупространстве. Более того, можно было бы изучить аналогичную задачу в случае непостоянного коэффициента диффузии. Но для этой проблемы нам понадобятся существенно новые методики.