Сходимость рядов нечетких чисел с унимодальной функцией принадлежности
Автор: Гермашев Илья Васильевич, Дербишер Евгения Вячеславовна, Дербишер Вячеслав Евгеньевич, Куликова Наталья Юрьевна
Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu
Рубрика: Математика и механика
Статья в выпуске: 1 (44), 2018 года.
Бесплатный доступ
При решении прикладных задач методами нечеткой математики часто возникает необходимость проводить операции над нечеткими числами. Вычисление таких выражений требует довольно сложных манипуляций и существенных усилий. Например, использование L-R нечетких чисел позволяет получить формулы для вычисления сложения и вычитания нечетких чисел, но умножение и деление удается вычислять лишь приближенно. Для реализации арифметики трапециевидных чисел используются t-нормы и интервальная математика. Представлены нечеткие числа с унимодальной функцией принадлежности, нашедшие применение при нечетком анализе таких предметных областей, как экология, химическая технология. Знание о поведении таких числовых рядов позволит более эффективно анализировать подобные математические модели. Поскольку операция сложения ассоциативна, то это позволяет эффективно анализировать числовые ряды. Рассмотрена задача о сходимости ряда нечетких чисел с унимодальной функцией принадлежности. Получены формулы для вычисления арифметических операций с последовательностями нечетких чисел. Обобщена формула сложения для последовательности нечетких чисел. Исследована сходимость рядов нечетких чисел. При этом получены условия, при которых ряд расходится. Установлено, что вычисления с большим числом нечетких данных может приводить к неопределенности результата. Это обусловлено тем, что сумма ряда имеет функцию принадлежности, тождественно равную единице. Это означает полную неопределенность результата и позволяет сделать заключение о расходимости ряда. Полученные результаты для вычисления арифметических операций позволяют применять нечеткий анализ для исследования сложных систем, например, в экологии или в химической технологии. Предлагаемый подход носит достаточно общий характер и может применяться для довольно широкого класса исследований с применением методов нечеткого анализа. В этом случае имеет смысл ограничить длину последовательности нечетких чисел исходя из компромисса точности вычислений и степени неопределенности результата.
Нечеткие числа, арифметические операции, ассоциативность, ряд нечетких чисел, сходимость ряда
Короткий адрес: https://sciup.org/14969061
IDR: 14969061 | УДК: 517.521.1 | DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2018.1.2
Convergence of series of fuzzy numbers with unimodal membership function
Solving the applied problems by the methods of fuzzy mathematics frequently generates the need to conduct operations on fuzzy numbers. The calculation of such expressions requires quite complex manipulations and a serious effort. For example, addition and subtraction formulae can be obtained by L-R fuzzy numbers, but this approach enables to calculate multiplication and division only approximately. t-norms and interval mathematics are used to implement the arithmetics of trapezoidal numbers. We present fuzzy numbers with unimodal membership functions that can be used for fuzzy analysis in such subject fields as ecology and chemical technology. Some knowledge of behavior of these series enable us to analyze such mathematical models more effectively. The associativity of addition enables to analyze number series effectively. The problem of convergence of series of fuzzy numbers with unimodal membership function is considered. The formulae for calculating arithmetic operations on sequences of fuzzy numbers are obtained. We generalize the addition formula for sequences of fuzzy numbers. We investigate convergence of series of fuzzy numbers. The conditions for divergence of a series are given. It is shown that calculations with large amount of data may cause an indefinite result. The reason of this lies in the fact that a membership function of a sum of the series is identically equal to unit. This means the complete indefiniteness of the result and enables to make a conclusion about divergence of the series. The obtained results for evaluation of the arithmetic operations enable to use fuzzy analysis for investigation of complex systems in, for instance, ecology and chemical technology. The proposed approach is quite general and can be used for rather large class of studies using the methods of fuzzy analysis. In this case it makes sense to limit the length of sequences of fuzzy numbers on the compromise of calculation accuracy and indefiniteness of the result.
Список литературы Сходимость рядов нечетких чисел с унимодальной функцией принадлежности
- Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач/Ф. П. Васильев. -М.: Наука, 1988. -552 с.
- Гермашев, И. В. Вычисление арифметических операций над нечеткими числами для анализа сложных систем/И. В. Гермашев, Е. В. Дербишер, В. Е. Дербишер//Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-29: сб. тр. XXIX Междунар. науч. конф.: в 12 т., С.-Петерб. гос. технол. ин-т (техн. ун-т), 31 мая -3 июня 2016 г. -СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. технол. ин-та, 2016. -Т. 2. -С. 63-65.
- Гермашев, И. В. Модель оценки сукцессионного возраста экосистемы водоемов/И. В. Гермашев, Г. Ю. Клинкова//Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. 27-й междунар. конф., г. Тамбов, 3-5 июня 2014: в 12 т. -Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2014. -Т. 7. -С. 5-7.
- Оценка качества технических объектов с использованием нечетких множеств/И. В. Гермашев, В. Е. Дербишер, Т. Ф. Морозенко, С. А. Орлова//Заводская лаборатория. Диагностика материалов. -2001. -Т. 67, № 1. -С. 65-68.
