Система уравнений с правыми частями специального вида и постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему dtuo(t,x) + (aiuo + biUi + pi)dxUo(t,x) = a2Uo + b2Ui + рз, dtui(t,x) + (ciuo + giui + P2)dxUi(t,x) = g2Ui + p4,

где u o (t, x), u i (t, x) — неизвестные функции.

В данной системе (1) a 1 , b 1 , b 2 , c 1 , g 1 — известные положительные константы, a 2 , g 2 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 — известные константы.

Зададим начальные условия для системы (1)

u o (0,x) = ^ o (x), u i (0, x) = ^ i (x),                    (2)

где ^ o (x),^ i (x ) — известные функции.

Рассмотрим задачу (1) , (2) на

Q T = {(t, x) | 0 <  t <  T, x € ( -го , + ^ ), T >  0 } .

В [6] использовали метод дополнительного аргумента и определили достаточные условия нелокальной разрешимости задачи (1) , ( 2) на Q t , где a 1 , b 1 , b 2 , c 1 , g 1 — известные положительные константы, a 2 , g 2 — известные константы, p i =0 , p 2 = 0, р з = 0, p 4 = 0.

В данной работе используем метод дополнительного аргумента и определяем достаточные условия нелокальной разрешимости задачи (1) , (2) на Q t , где a i , b i , b 2 , c i , g i — известные положительные константы, a 2 , g 2 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 — известные константы.

1 Существование локального решения

Используем метод дополнительного аргумента и получаем систему интегральных уравнений [1] – [9] :

ts zi(s,t,x) = ^o(x - /(aizi + biZ3 + pi)dT) + / (a2Zi + b2Z3 + P3)dT, (3)

ts

Z2(s,t,x) = ^i(x - /(ciZ4 + giZ2 + P2)dT) + / (g2Z2 + P4)dT,

t

Z3(s,t,x) = Z2(s,s,x - /(aizi + brz3 + pi)dT),

s

t

Z4(s, t, x) = zi(s, s, x - /(ciZ4 + giZ2 + P2)dT).

s

Обозначим Гт = {(s, t, x)| 0 < s < t < T, x € (-от, +го), T > 0}, li =max{ai, |a2|, bi, b2, ci, gi, |g2|, |рз|, |p4|},

C _p = max { sup Ml) I l i = 0,1, l = 0, 2 } ,

R kFII = sup |F(s,t,x)| , kf k = sup |f(t,x)|.

Γ _T                     Ω _T

Справедлива следующая теорема, которая доказывается так же, как в [6] .

Теорема 1. Пусть ^ o (x),^ i (x) € C 2 (R), a i , b i , b ₂ , c i , g i , a 2 , g 2 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 — известные константы и выполняются условия:

a _i >  0, b i >  0, b ₂ > 0, c _i > 0, g _i > 0, ^ 0 (x) >  0, ^ i (x) >  0 на R.

Тогда для всех 0 <  t <  T o , где T o = min( 25^1 , ^, Ю/г) ’ задача Коши (1) , (2) имеет единственное решение u o (t, x),u i (t, x) € C ^{1 , 2} (Q t ₀ ), которое определяется из системы интегральных уравнений (3) – (6) .

В теореме 1 u o (t, x) = z _i (t, t, x), u _i (t, x) = z ₂ (t, t, x).

2 Существование нелокального решения

Теорема 2. Пусть ^ o (xW i (x) € C ² (R), a i , b i , b 2 , c i , g i , a 2 , g 2 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 — известные константы и выполняются условия:

a _i >  0, b _i > 0, b ₂ > 0, c i > 0, g _i >  0, ^ O (x) >  0, ^ l (x) >  0 на R.

Тогда для любого T >  0 задача Коши (1) , (2) имеет единственное решение u o (t,x),u i (t,x) € C ^{1 , 2} (Q t ), которое определяется из системы интегральных уравнений (3) – (6) .

В теореме 2 u o (t, x) = z 1 (t, t, x), u 1 (t, x) = z ₂ (t, t, x).

Доказательство. Продифференцируем систему уравнений (1) по x. Обозначим f(t,x) = d _x u o (t,x), q(t,x) = d x u 1 (t,x), получим:

d t f + (a i u o + b i u i + p i )d x f = - a i f ² - b i fq + a ₂ f + b 2 q,

< d t q + (c i u o + g i u i + P 2 )d x q = - g i q ² - c i fq + g 2 q,             (7)

. ^{f (0,x)} = ^ O ^(x), q^(0,x) = ^ 1 ^(x).

Добавим к системе уравнений (3) – (6) два уравнения:

I

dγ 0 ( s,t,x ) ds dγ 1 ( s,t,x ) ds

- a i Y 2 - b i Y o Y i (s, s,n i ) + a 2 Y o + b 2 Y i (s,s,n i ),

- g i Y 2 - c i Y o (s, s, П 2 ) Y i + g 2 Y i ,

с начальными условиями:

Y o ^(0,t,x) = ^ O (n i ), Y i ^(0,t,x) = ^ ' ⁽П 2 ⁾,                ⁽⁹⁾

где

t ni(s, t, x) = x - f (aizi + biZ3 + pi)dT, s

t n2(s, t, x) = x - f (C1Z4 + giZ2 + P2)dT.

s

Перепишем (8) , (9) в следующем виде:

Yo(s,t,x) = ^0(ni)exp(-/ (aiYo + biYi(T,T,ni) — a2)dT) + s                            s 0

< + / b 2 Y i (T,T,n i )exp( -/ (a i Y o + b i Y i (v,v,n i ) - a 2 )dv )dT,      (10)

Y i (s,t,x) = ^ 1 (n 2 )exp( -/ (g i Y i + c i Y o (т,т,П 2 ) - g 2 )dT ).

Так же, как в [2] – [8] , доказывается существование непрерывно дифференцируемого решения задачи (10) . Следовательно,

Y o ^(t,t,x) = f ^(t,x) = ^du ⁰ ,

Y i ^(t,t,x) = q^x) = ^ 1 .

Мы можем записать (3) , (4) в виде:

s zi(s,t,x) = ^o(ni)exp(a2s) + / (b2Z3 + рз)ехр(а2(s - т))dT, 0

s

Z 2 (s,t,x) = ^ i (n 2 )exp(g 2 s) + / P 4 exp(g 2 (s - т))dT.

Получаем, что kz2k < (C^ + T|P4|)exp(|g2|T), kz1 k < Cv exp(|a2|T)(1 + T(b2(Cv + T|P4|)exp(|g2|T) + |P3|), следовательно, справедливы оценки:

k u i k <  ^(C v + ^T | P 4 ^{| )ex}p^{( |} g 2 ^{| T}),                     ⁽¹¹⁾

k u o k <  C v exp( | a 2 | T)(1 + T(b 2 (C v + T | P 4 | )exp( | g 2 | T) + | р з | ).     (12)

Из (10) при выполнении условий:

a1 > 0, b1 > 0, b2 > 0, c1 > 0, g1 > 0, ^o(x) > 0, ^1(x) > 0 на R, получаем, что Yo > 0, Yi > 0 на Гт, значит, kYik < Cv exp(|g2|T), kY0k < Cv exp(|a2|T)(1+ Tb2 exp(|g2|T)), следовательно, kdxUik < Cv exp(|g2|T),                        (13)

k d x u o k <  C v exp( | a 2 | T)(1 + Tb 2 exp( | g 2 | T)).            (14)

Далее, так же, как в [2] – [8] , получаем, что при всех t и x справедливы оценки:

| d X 2 u o | <  E 1 ch(T PE 2 E 3 )+ E 4 ^sh(T EE),

|dX2U1| < E4 ch(TPE2E+ E1 ^sh(TEE), где E1 , E2 , E3 , E4 — постоянные, которые определяются через исходные данные.

Получены глобальные оценки (11) – (16) , которые позволяют продолжить решение u o (t, x), u i (t, x) на заданный промежуток [0, T ]. Пусть u o (T o , x), u 1 (T o , x) — начальные значения, u o (T o , x), u _i (T o , x) G C ² (R), тогда, используя теорему 1, продлим решение на [T o , T i ]. Пусть U o (T i , x), u i (T i ,x ) — начальные значения, u o (T i ,x),u i (T i ,x) G C ² (R), тогда, используя теорему 1, продлим решение на [T i , T 2 ]. Получаем, что за конечное число шагов решение можно продлить на заданный промежуток [0, T ]. Единственность решения задачи Коши (1) , (2) можно доказать так же, как в [2] – [8] .

3 Пример

Рассмотрим систему dtuo(t, x) + (1Ouo + ui — 1)dxuo(t, x) = 2OOuo + 4ui + 201, dtui(t, x) + (21uo + 5ui + 2)dxui(t, x) = 210ui — 400,

где u o (t, x), u i (t, x ) — неизвестные функции.

В данной системе ai = 10, bi = 1, b2 = 4, ci = 21, gi = 5, a2 = 200, g2 = 210, pi = —1, P2 = 2, рз = 201, P4 = —400.

Для системы уравнений (17) определим начальные условия: u o (0, x) = ^ o (x) = 25 + 8arctgx, u _i (0, x) = ^ _i (x) = 20 + arctgx. (18)

Задача (17) , (18) определена на

^ T = { (t, x) | 0 <  t <  T, x G ( —ro , + ro ), T > 0 } .

Так как ^o(x),^i(x) G C2(R), ai, bi,  b2,  ci,  gi,  a2, g2, Pi, P2,  Рз, p4 — известные константы, ai = 10 > 0, bi = 1 > 0, b2 = 4 > 0, ci = 21 > 0, gi = 5 > 0,

4(x) = 1+X2 > °, ^1(x) = 1+X2 > °, x e R, a2 = 2°°, g2 = 21°, pi = -1, p2 = 2, рз = 2°1, p4 = -4°°, тогда по теореме 2 для любого T > ° задача Коши (17), (18) имеет единственное решение uo(t, x), ui(t, x) G C 1,2(Qt)•

Зададим начальные условия для системы (17) :

u o (°, x) = ^ o (x) = 41 + 28arctgx, u _i (°, x) = ^ i (x) = 7 + 1°arctgx. (19)

Рассмотрим задачу (17) , (19) на

Q _t = { (t, x) | ° <  t <  T, x G ( —^ , + ^ ), T >  ° } .

Так как ^o(x),^i(x) G C2(R), ai, bi, b2, ci, gi, a2, g2, Pi, P2, Рз, p4 — известные константы, ai = 1° > °, bi = 1 > °, b2 =4 > °, ci = 21 > °, gi = 5 > °,

^^(x) =     _x 2

> °,

^ l ^(x) = -i ¹° ₂ > °, x ^{G R}, 1 + x ²

a2 = 2°°, g2 = 21°, pi = -1, p2 = 2, рз = 2°1, p4 = -4°°, по теореме 2 для любого T > ° задача Коши (17), (19) имеет единственное решение uo(t,x),ui(t,x) G C 1,2(^t)•

Заключение

В данной работе использовали метод дополнительного аргумента и определили достаточные условия нелокальной разрешимости задачи (1) , (2) на Q t , где a i , b i , b 2 , c i , g i — известные положительные константы, a 2 , g 2 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 — известные константы.