Solution of the Cauchy problem for ordinary differential equations using the collocation and least squares method with the Pade approximation
Бесплатный доступ
A new method for solving the Cauchy problem for an ordinary differential equation is proposed and implemented using the collocation and least squares method of increased accuracy. It is based on the derivation of an approximate nonlinear equation by a multipoint approximation of the problem under consideration. An approximate solution of the problem in the form of the Pade approximation is reduced to an iterative solution of the linear least squares problem with respect to the coefficients of the desired rational function. In the case of nonlinear differential equations, their preliminary linearization is applied. A significant superiority in accuracy of the method proposed in the paper for solving the problem over the accuracy of the NDSolve procedure in the Mathematica system is shown. The solution of a specific example shows the superiority in accuracy of the proposed method over the fourth-order Runge-Kutta method. Examples of solving the Cauchy problem for linear and non-linear equations with an accuracy close to the value of rounding errors during operations on a computer with numbers in the double format are given. It is shown that the accuracy of solving the problem essentially depends on the complexity of the behavior of the values of the right-hand side of the equation on a given interval. An example of constructing a spline from pieces of Pade approximants on partial segments into which a given segment is divided is given in the case when it is necessary to improve the accuracy of the solution.
Cauchy problem, ordinary differential equation, pade аpproximation, collocation and least squares method, high accuracy, mathematica system
Короткий адрес: https://sciup.org/147242591
IDR: 147242591 | DOI: 10.14529/mmp230405
Список литературы Solution of the Cauchy problem for ordinary differential equations using the collocation and least squares method with the Pade approximation
- Baker, G.A.Jr. Essentials of Pade Approximants / G.A.Jr. Baker. – New York: Academic Press, 1975.
- Гончар, А.А. О сходимости совместных аппроксимаций Паде для систем функций марковского типа / А.А. Гончар, Е.А. Рахманов // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. – 1981. – Т. 157. – С. 31–48.
- Гончар, А.А. Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитической функции / А.А. Гончар, Е.А. Рахманов // Математический сборник. – 1987. – Т. 134(176), № 3. – С. 306–352.
- Гончар, А.А. Многоточечные аппроксимации Паде / А.А. Гончар, Н.Н. Новикова, Г.М. Хенкин // Математический сборник. – 1996. – Т. 187, № 12. – С. 57–86.
- Суетин, С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда / С.П. Суетин // Успехи математических наук. – 2002. – Т. 157, № 1. – С. 45–142.
- Гончар, А.А. Рациональные аппроксимации аналитических функций / А.А. Гончар // Современные проблемы математики. – 2003. – № 1. – С. 83–106.
- Аптекарев, А.И. Аппроксимации Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочлены / А.И. Аптекарев, В.И. Буслаев, А. Мартинес-Финкельштейн, С.П. Суетин // Успехи математических наук. – 2011. – Т. 66, № 6. – С. 37–122.
- Хованский, А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
- Величко, И.Г. Применение метода цепных дробей для получения аппроксимаций Паде решений задач Коши для дифференциальных уравнений первого порядка / И.Г. Величко, И.Г. Ткаченко, В.В. Балабанова // Вестник науки и образования Северо-Запада России. – 2015. – Т. 1, № 3. – С. 1–9.
- Вишневский, В.Э. Аппроксимация Паде решения задачи Коши / В.Э. Вишневский, А.В. Зубов, О.А. Иванова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика, серия 10. – 2012. – № 4. – С. 3–17.
- Исаев, В.И. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье-Стокса / В.И. Исаев, В.П. Шапеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2010. – Т. 50, № 10. – С. 1758–1770.
- Shapeev, V.P. CAS Application to the Construction of the Collocations and Least Residuals Method for the Solution of the Burgers and Korteweg-de Vries–Burgers Equations / V.P. Shapeev,E.V. Vorozhtsov // InternationalWorkshop on Computer Algebra in Scientific Computing. Warsaw, 2014. – V. 8660. – P. 432–446.
- Шапеев, В.П. Варианты метода коллокации и наименьших невязок повышенной точности в области с криволинейной границей / В.П.Шапеев,В.A. Беляев // Вычислительные технологии. – 2016. – Т. 21, № 5. – С. 95–110.
- Belyaev, V.A. Versions of the Collocation and Least Squares Method for Solving Biharmonic Equations in Non-Canonical Domains / V.A. Belyaev, V.P. Shapeev // AIP Conference Proceedings. – 2017. – V. 1893, № 1. – Article ID: 030102.
- Shapeev, V.P. New Possibilities and Applications of the Least Squares Collocation Method / V.P. Shapeev, V.A. Belyaev, S.K. Golushko, S.V. Idimeshev // EPJ Web of Conferences. – 2018. – V. 173. – Article ID: 01012.
- Vorozhtsov, E.V. On the Efficiency of Combining Different Methods for Acceleration of Iterations at the Solution of PDEs by the Method of Collocations and Least Residuals / E.V. Vorozhtsov, V.P. Shapeev // Applied Mathematics and Computation. – 2019. – V. 363. – P. 1–19.
- Shapeev, V.P. High-Accuracy Numerical Solution of the Second-Kind Integral Equations in the Mathematica Environment / V.P. Shapeev, E.V. Vorozhtsov // Journal of Multidisciplinary. Engineering Science and Technology. – 2018. – V. 5, № 12. – P. 9308–9319.
- Дьяконов, В.П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство / В.П. Дьяконов. – М.: ДМК Пресс, 2010.
