Сравнение числа предельных циклов обобщенных систем Льенара, полученных различными методами
Автор: Мачулис Владислав Владимирович
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика @vestnik-bsu-maths
Рубрика: Функциональный анализ и дифференциальные уравнения
Статья в выпуске: 1, 2017 года.
Бесплатный доступ
В статье приводятся данные вычислений наибольшего числа малоамплитудных предельных циклов для двух типов обобщенных полиномиальных систем дифференциальных уравнений, формально совпадающих на некотором множестве частных случаев. Первая методика основана на методе усреднения и авторском алгоритме вычисления ляпуновских величин, вторая - заключалась в исследовании влияния малых возмущений на гамильтонову систему. Вопреки ожиданиям, различные методики в некоторых случаях дают несовпадающие результаты.
Предельный цикл, обобщенное уравнение льенара, 16-я проблема гильберта, слабый фокус
Короткий адрес: https://sciup.org/14835203
IDR: 14835203 | УДК: 517.938 | DOI: 10.18101/2304-5728-2017-1-10-17
Comparison of the number of limit cycles of generalized Lienard systems obtained by various methods
The article presents the computation data for the maximum number of low-amplitude limit cycles for two types of generalized polynomial systems of differential equations that formally coincide in a certain set of particular cases. The first technique is based on the method of averaging and our own algorithm for calculating Lyapunov quantities computation, the second technique - on investigation of influence of small perturbations on the Hamiltonian system. Contrary to expectations, various techniques in some cases give inconsistent results.
Список литературы Сравнение числа предельных циклов обобщенных систем Льенара, полученных различными методами
- J. Llibre, A.C. Merew and M.A. Teixeira. Limit cycles of the generalized polynomial Lienard differential equation. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2009), 1-21.
- S. Lynch and C.J. Christopher. Limit cycles in highly non-linear differential equation. J. Sound Vib. 224 (1999), 505-517.
- Yu. Ilyashenko, A. Panov, Some upper estimates of the number of limit cycles of planar vector fields with application to Lienard equations, Moscow Math. J. vol. 1, no. 4, 583-599.
- N.G. Lloyd. Limit cycles of polynomial systems-some recent developments. London. Math. Soc. Lecture Note Ser. 127, Cambridge University Press. (1988), 192-234.
- A. Lienard. Etude des oscillations entrenues. Revue Generale de l’Elictricite. 23 (1928), 946-954.
- G.S. Rychkov. The maximum number of limit cycles of system x = у-а1х3 -a2x5, у = -x is two. Differential’nye Uravneniya. 11 (1975), 380-391.
- A. Lins, W. de Melo and C.C. Pugh. On Lienard’s equation. Lecture Notes in math. 597 (1977), Springer, 335-357.
- W. A. Coppel. Some quadratic systems with at most one limit cycles. Dynamics Reportsd. vol. 2 Wiley (1998), 61-68.
- F. Dumortier and C. Rousseau. Cubic Lienard equations with linear damping. Nonlinearity. 3 (1990), 1015-1039.
- F. Dumortier and C. Li. On the uniqueness of limit cycles surrounding one or more singularities for Lienard equations. Nonlinearity. 9 (1996), 1489-1500.
- F. Dumortier and Chengzhi. Quadratic Lienard equations with quadratic damping. J. Diff. Eqs. 139 (1997), 41-59.
- N. G. Lloyd and S. Lynch. Small-amplitude limit cycles of certain Lienard systems. Pro. Royal. Soc. London Ser. A 418 (1988), 199-208.
- C. J. Christopher and S. Lynch. Small-amplitude limit cycle bifurcates for Lienard systems with quadratic or cubic damping or restoring forces. Nonlinearity. 12 (1999), 1099-1112.
- A. Gasuall and J. Torregrosa. Small-amplitude limit cycles in Lienard systems via multiplicity. J. Diff. Eqs. 159 (1998), 1015-1039/
- P. Yu and M. Han. Limit cycles in generalized Lienard systems. Chaos soli-tons fractals. 30 (2006), 1048-1068.
- J. Llibre, A.C. Merew and M.A. Teixeira. Limit cycles of the generalized Lienard polynomial differential equations. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2009), 1-21.
- J. Llibre and A. Makhlouf. Limit cycles of a class of generalized Lienard polynomial equations. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2014), 10-32.
- A. Lins, W. Demelo and C. C. Pugh. On Lienard’s equation. Lecture Notes in math. 597 (1977), Springer, 335-357.
- A. M. Urbina, G. L. de la Barra, G. Leon, M. L. de la Barra, M. Canas. Limit cycles of Lienard equations with nonlinear damping. Canad Math Bull. 36 (1993), 251-256.
- M. Hamanda and A. Maklouf. Limit cycles of class of generalized Lienard polynomial equations. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 12, number 2 (2016), 1831-1843.
- S. Lynch. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert’s sixteenth problem. Trends in Mathematics: Differential Equations with Symbolic Computation, (2006), 1-22.
