Сравнительный анализ регрессионных моделей для аппроксимации и прогнозирования ежегодных максимальных объемов воды Токтогульского водохранилища Кыргызской Республики

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 11. №6 2025

УДК 556.55:519.23(575.2)                          

Токтогульское водохранилище, расположенное на реке Нарын в Кыргызской Республике, является крупнейшим водоемом страны и играет ключевую роль в обеспечении электроэнергией и водой для орошения обширных территорий Центральной Азии. Эффективное управление водными ресурсами водохранилища требует точного понимания динамики его наполнения, в частности, ежегодных максимальных объемов воды [1, 2].

Регрессионный анализ представляет собой мощный статистический инструмент для моделирования зависимостей между переменными и может быть использован для аппроксимации и прогнозирования гидрологических временных рядов. Выбор адекватной модели регрессии является критически важным для получения достоверных результатов [3, 4].

Целью данной работы является сравнительный анализ различных типов регрессионных моделей для аппроксимации ежегодных максимальных объемов воды Токтогульского водохранилища. В рамках исследования будут рассмотрены как простые (линейная), так и более сложные (полиномиальная, экспоненциальная, синусоидальная, сплайновая) модели регрессии, и проведена оценка их способности описывать наблюдаемые данные.

Материалы и методы

В качестве исходных данных использовались ежегодные максимальные объемы воды в Токтогульском водохранилище КР с 2012 по 2024 годы (Таблица 1).

Таблица 1

МАКСИМАЛЬНЫЕ ОБЪЕМЫ ВОДЫ В ТОКТОГУЛЬСКОМ ВОДОХРАНИЛИЩЕ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ с 2012 по 2024 годы (млрд. м3)

2012  2013  2014  2015  2016  2017   2018  2019  2020   2021   2022   2023   2024

13,645    10,54    9,975    13,18    17.8    17,266    16,151    13,37    10,852    11,069    10,852    10,072    13,026

Для аппроксимации данных были применены следующие модели регрессии [3‒9]:

у = 0.05 х² - 1.2 х + 15.5.(4)

• 3.    Экспоненциальная регрессия. Экспоненциальная регрессия используется для моделирования экспоненциального роста или спада и выражается в виде формулы:

• 4.    Синусоидальная регрессия. Если в данных наблюдается периодичность или волнообразное поведение, можно использовать тригонометрические функции, например синус:

у = a * exp(bх).(5)

Для применения такой модели часто применяют логарифмическое преобразование y , чтобы привести уравнение к линейному виду:

ln(у) = ln(a) + bх.(6)

Затем можно использовать линейную регрессию для определения ln(a) и b , а затем вернуться к исходным параметрам a и b . На основе такого подхода, используя данные таблицы 1 получили следующее уравнение:

у=14.028 exp(-0.016x).(7)

у = а sin(b x + c) + d.(8)

где a — амплитуда, b — частота, c — фаза, d — вертикальное смещение.

Использование такой модели может быть более сложным и часто требует применения нелинейных методов оптимизации.

y=4,932sin(0.51x – 1.045) +12.031(9)

• 5.    Сплайн –регрессия [7]. Регрессионные модели, в которых функции меняется в одной или нескольких точках на шкале значений предикторов, называется сплайнами, либо кусочными полиномами, а сами точки функции называются узловыми точками (узлами).

Сплайн-регрессия не параметрический метод, позволяющий гибко моделировать нелинейные зависимости путем построения кусочных полиномиальных функций. В данном исследовании использовали кубический сплайн с определенным количеством узлов: параметры сплайна определялись эмпирически [8] на основе анализа данных, представленные в Таблице 1.

Результаты и обсуждение

Результаты применения различных моделей регрессии к данным ежегодных максимальных объемов воды Токтогульского водохранилища представлены в табличной форме (Таблица 2).

Оценка адекватности каждой модели проводилась на основе сравнения прогнозных значений с фактическими данными, а также (опционально) с использованием статистических метрик, таких как средняя абсолютная ошибка, среднеквадратическая ошибка и коэффициент детерминации (R²). Анализ результатов, представленных в Таблице 2 показал, что простая линейная регрессия не способна адекватно описать наблюдаемую динамику объемов воды, демонстрируя значительные отклонения от фактических значений. Полиномиальная регрессия второй степени показала некоторое улучшение, улавливая криволинейной зависимости, однако также имела существенные расхождения в отдельных точках. Экспоненциальная и синусоидальная регрессии в данном случае оказались наименее подходящими, не отражая характерных особенностей временного ряда.

Таблица 2

СРАВНЕНИЕ ФАКТИЧЕСКИХ И ПРОГНОЗНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЕЖЕГОДНЫХ МАКСИМАЛЬНЫХ ОБЪЕМОВ ВОДЫ ТОКТОГУЛЬСКОГО ВОДОХРАНИЛИЩА КЫРГЫЗСТАНА (млрд. м3)

Годы (X)	s 'В Ь 9 "	§ i	3 § § § в 1 -^§	в it О г: О к	О') ^ В S '? и Q	^^
2012	13.00	13.337	14.350	14.028	13.899	13.579
2013	11.25	13.494	13.600	13.809	11.978	11.688
2014	10.10	13.651	12.950	13.595	10.416	10.284
2015	13.00	13.808	12.400	13.386	9.351	13.080
2016	17.50	13.965	11.950	13.182	8.821	17.479
2017	17.20	14.122	11.600	12.983	8.867	17.056
2018	16.10	14.279	11.350	12.789	9.533	15.275
2019	13.40	14.436	11.200	12.600	10.860	13.370
2020	11.00	14.593	11.150	12.415	12.881	11.786
2021	11.10	14.750	11.200	12.235	15.628	11.069
2022	10.90	14.907	11.350	12.059	19.133	11.664
2023	10.00	15.064	11.600	11.888	23.429	11.915
2024	13.00	15.221	11.950	11.721	28.548	11.267
2025	----	15.378	12.400	11.559	34.523	13.63
2026	----	15.535	12.950	11.401	41.387	12.80

Сплайн-регрессия продемонстрировала наибольшую гибкость и наилучшее соответствие фактическим данным, плавно следуя их изменениям. Это подчеркивает эффективность непараметрических методов для моделирования сложных нелинейных зависимостей в гидрологических процессах.

Выводы

• 1.    Сравнительный анализ различных моделей регрессии показал, что выбор метода имеет решающее значение для адекватной аппроксимации ежегодных максимальных объемов воды в водохранилище. Простые модели, такие как линейная, оказались недостаточными, в то время как более гибкие подходы, например, сплайн-регрессия, продемонстрировали значительно лучшие результаты.

• 2.    Полученные результаты подчеркивают важность учета нелинейности и потенциальной сложности гидрологических процессов при их моделировании.

Дальнейшие исследования будут направлены на оптимизацию параметров сплайн-регрессии (выбор оптимального количества и расположения узлов), а также на исследование других нелинейных методов и моделей временных рядов для повышения точности прогнозирования водных ресурсов КР.