Стационарные точки уравнения реакция-диффузия и переходы в стабильные состояния
Бесплатный доступ
Рассмотрена бесконечномерная динамическая система, заданная уравнением реакция-диффузия с кубической нелинейностью при краевом условии Неймана и фиксированном значении средней величины. Изложена методика приближенного вычисления бифурцирующих решений при малых и конечных значениях закритического приращения параметра. Предложена также методика трассировки траекторий спуска из произвольного состояния (с произвольной концентрацией) в стабильное состояние (с концентрацией, реализующей минимум функционала энергии). Методика основана на вычислении сужения функционала энергии на линейную оболочку основных собственных функций (мод) оператора Лапласа и приближенном построении трассы спуска в виде последовательности точек, сопровождающих траекторию динамической системы. В случае малого закритического приращения бифуркационного параметра вычислены асимптотические представления бифурцирующих решений. В случае конечного закритического приращения бифуркационного параметра приведены примеры вычисления трассы спуска в точки минимума функционала энергии.
Уравнение реакция-диффузия, гладкий функционал, экстремаль, бифуркация стационарных состояний, моды бифуркации, вариационный метод ляпунова - шмидта, траектории спуска в точки минимума
Короткий адрес: https://sciup.org/147159406
IDR: 147159406 | УДК: 517.9 | DOI: 10.14529/mmp170108
Stationary points of the "reaction-diffusion" equation and transitions to stable states
Of concern is a stationary "reaction-diffusion" equation with cubic non-linearity is Neumann boundary conditions and fixed average value of the desired bifurcating solutions. A method of approximate calculation of bifurca-ting solutions for small and finite values of supercritical parameter increment are presented. Computing is based on the Lyapunov - Schmidt reducing procedure and is leaning on key functions Ritz' approximation of the set of eigenfunctions (modes) of main linear part of gradient energy functional. A technique of evaluating of a functional space size, where Lyapunov - Schmidt reduction can be applied is performed. In case of local reduction the main part of the key function has been found and asymptotic presentation of bifurcating solutions for small supercritical increment of bifurcation parameter is calculated. The relation between solutions search procedures for "reaction-diffusion" equations and Cahn - Hilliard equation (with extended Neumann boundary conditions) is also performed. Graphs are presented.
Список литературы Стационарные точки уравнения реакция-диффузия и переходы в стабильные состояния
- Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике/С.Г. Михлин. -М.: Наука, 1970. -512 с.
- Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев//Современная математика. Фундаментальные направления. -2004. -Т. 12. -С. 3-140.
- Марри, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях/Дж. Марри. -М.: Мир, 1983. -397 с.
- Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла/Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн. -М.: Мир, 1985. -280 с.
- Казарников, А.В. Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией/А.В. Казарников, С.В. Ревина//Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2016. -Т. 9, № 2. -C. 16-28.
- Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева/Г.А. Свиридюк//Известия АН СССР. Серия: Математическая. -1993. -Т. 57, № 3. -С. 192-207.
- Свиридюк, Г.А. О задаче Веригина для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска/Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина//Известия вузов. Математика. -2003. -№ 7. -С. 54-58.
- Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера -Сидорова/С.А. Загребина//Известия вузов. Математика. -2007. -№ 3. -С. 22-28.
- Костина, Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений/Т.И. Костина//Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. -2011. -№ 1. -С. 181-186.
- Сапронов, Ю.И. Моделирование диффузорных течений жидкости посредством редуцированных уравнений/Ю.И. Сапронов//Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2014. -Т. 7, № 2. -С. 74-86.
- Красносельский, М. А. Итерационный процесс с минимальными невязками / М. А. Красносельский, С. Г. Крейн // Математический сборник. - 1952. - Т. 31, № 2. - С. 315-334.
- Лемешко, А.А. О равномерной сходимости с производными галеркинских приближений к решениям уравнений с параметрами/А.А. Лемешко//Математические модели и операторные уравнения. -2003. -Т. 2. -С. 94-103.
- Лемешко, А.А. О равномерной сходимости ньютоновских приближений к решениям уравнений с параметрами/А.А. Лемешко//Сборник трудов молодых ученых математического факультета Воронежского государственного университета. -2003. -С. 74-83.
- Ковалева, М.И. Огибающие кривые, точки возврата и бифуркационный анализ нелинейных задач/М.И. Ковалева, Т.И. Костина, Ю.И. Сапронов. -Воронеж: Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, 2015. -242 с.
