Стохастический компонент профессионального образования будущих учителей математики и информатики

Одна из самых многогранных математических наук – теория вероятностей и математическая статистика – приобретает особый содержательный смысл в профессиональной деятельности будущих учителей математики и информатики, что определило особенности обучения этой дисциплине и различным ее приложениям в настоящее время. В КубГУ для подготовки педагогических кадров разработана содержательная линия практико-ориентированного образовательного курса, включающего такие дисциплины, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Математические методы в педагогике и психологии», «Математические методы в социальных и гуманитарных науках», «Вероятностные модели», представляющая следующие основные направления развития стохастического компонента профессионализма будущего педагога:

• 1.    Пропедевтика в теории вероятностей для начального знакомства школьников с понятием закономерностей в мире случайных событий.

• 2.    Преподавание теории вероятностей студентам технических, гуманитарных и социально-экономических специальностей.

• 3.    Применение методов математической статистики в психолого-педагогических (социально-экономических, гуманитарных) исследованиях.

• 4.    Компьютерные технологии в вероятностном моделировании как «акме» в развитии стохастического компонента учителя математики и информатики.

Коротко об этапах содержательной линии:

• 1.    Знакомство с основными понятиями теории вероятностей в студенческой аудитории начинается со школьного уровня: понятие случайного события и понятие испытания, задачи с двойным испытанием (подбрасываются две монеты, две кости, вынимаются два шара и др.) решаются схематично (все возможные исходы и благоприятные появлению события А представляются в виде таблицы). Переход к комбинаторным методам как необходимость замены «рисования таблиц». Сложная для школьников теория должна восприниматься на уровне понимания (на рисунках, «на пальцах»), задачи должны быть простыми, типовыми и занимательными, а также убеждающими, что шанс получить объект с заданными свойствами (выигрыш) ничтожно мал (воспитательный аспект).

• 2.    Понятием случайной величины и закона распределения СВ продолжается изучение теории вероятностей как дисциплины для будущего преподавания студентам колледжей, студентам нематематических (экономических, гуманитарных и проч.) и физико-математических (технических) специальностей, с одной стороны, и как теории, на которой основаны методы математической статистики и вероятностные модели - с другой.

• 3.    Профессиональная подготовка будущих учителей тесно связана с исследовательской деятельностью [1], а значит, с использованием статистических критериев как способа доказательства эффективности выбранных методов обучения и воспитания. Знание статистических методов, применяющихся для обработки результата педагогического эксперимента, позволит студентам и магистрантам проявлять субъектную позицию в будущей профессиональной деятельности, а значит, в ней реализоваться. Исследовательская деятельность, в свою очередь, ориентирована на среду профессиональных задач и проблем. Основная проблема преподавания статистических методов - создать среду педагогического исследования: подготовить реальные задачи или реальные ситуации. Это, пожалуй, самое сложное в применении метода конкретных ситуаций, но и самое результативное, так как приближает теорию к практике и делает подготовку действительно профессиональной, а будущих бакалавров и магистров - конкурентными и востребованными в профессии. Умение моделировать проблему в период обучения способствует активному применению полученных знаний на практике в дальнейшем. Педагог-исследователь - это «акме» всей педагогической деятельности, ориентированной на результат.

• 4.    Вершиной освоения основ вероятностно-статистических методов описания неопределенностей в прикладной статистике является знакомство с вероятностным моделированием. На этой ступени важно понимать взаимосвязь между теорией вероятностей и математической статистикой: теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя, целью же математической статистики является обратная задача по отношению к теории вероятностей - на основе результатов наблюдений (измерений, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. С одной стороны, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса, с другой стороны, исследователи используют выборочные данные, с помощью которых возможно установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.

Акценты ставятся на понимании необходимости вероятностной модели и ее практической значимости. Первый аспект заключается в том, что только с помощью вероятностной модели можно перенести статистики, определенные на выборочной совокупности, на всю генеральную совокупность (все мыслимое множество исследуемых объектов). Без опоры на вероятностную модель результаты статистических расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность будет некорректен, другими словами, это будет просто «анализ данных». По сравнению с вероятностностатистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность. Сущность вероятностно-статистических методов принятия решений как раз и заключается в использовании вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью статистик (характеристик выборочной совокупности). С точки зрения применимости вероятностных моделей в любой деятельности человека важно то, что в процессе моделирования сложных систем нельзя не учитывать те процессы, на которые оказываются случайные воздействия (в самой системе или извне). А это и экономические, и социальные, и экологические, и производ- ственные, и любые другие системы. Даже если первоначально строится детерминированная модель, в которой исходные данные, ресурсы имеют конкретные значения, на практике оказывается, что отдельные параметры имеют случайный характер: с поставками сырья случаются перебои, цены на рынке подвержены колебаниям и т.д. Тогда говорить о значениях этих параметров можно лишь с определенной вероятностью. А при моделировании случайных процессов основными методами являются вероятностное моделирование и статистическая обработка его результатов.

При исследовании сложных систем, подверженных случайным возмущениям, используются вероятностные аналитические модели и вероятностные имитационные модели. В вероятностных аналитических моделях влияние случайных факторов учитывается с помощью задания вероятностных характеристик случайных процессов (законы распределения вероятностей, плотности или корреляционные функции). В вероятностном имитационном моделировании оперируют не с характеристиками случайных процессов, а с конкретными случайными числовыми значениями параметров. Поэтому для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение, с последующей статистической обработкой полученных данных.

По А.Л. Королеву вероятностное моделирование - это один из видов имитационного моделирования, который представляет собой метод получения с помощью компьютера статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе, параметры которой изменяются случайным образом с заданным законом распределения. Сущность метода стохастического моделирования сводится к построению алгоритма, имитирующего функционирование системы, случайные воздействия на систему, случайные изменения параметров системы и случайные изменения начальных условий. Этот алгоритм многократно реализуется, получаемые значения статистически обрабатываются.

Все вышесказанное только подчеркивает возможность реализации (программирования) вероятностных моделей будущими преподавателями математики и информатики. База знаний студентов и магистров этого направления (знания по теории вероятностей и информационным технологиям) позволяет на достаточно высоком уровне создавать вероятностные модели в любой профессиональной деятельности.

При реализации на компьютере статистического имитационного моделирования возникает задача получения случайных числовых последовательностей с заданными вероятностными характеристиками. Численный метод, решающий задачу генерирования последовательности псевдослучайных чисел с заданными законами распределения (с заданными вероятностными характеристиками), получил название «метод статистических испытаний», или «метод Монте-Карло». Студенты-математики должны знать методы получения равномерно распределенных псевдослучайных чисел, такие как «метод середины квадрата», предложенный одним из основоположников кибернетики Джоном фон Нейманом, линейный конгруэнтный метод и его частные случаи, предложенные в 1948 г. Д.Х. Лемером, квадратичный метод, метод получения случайных чисел, где реализуется последовательность Фибоначчи, метод получения случайных чисел, предложенный Грином, аддитивные методы, где не требуются операции умножения и деления, и другие методы. Будучи при этом информатиками, студенты могут использовать генераторы равномерно распределенных последовательностей псевдослучайных чисел (датчики случайных чисел), которые имеются во всех языках программирования высокого уровня, а также специальные процедуры и подпрограммы в стандартном математическом и программном обеспечении.

Задачу моделирования случайных величин с нормальным законом распределения решают в несколько этапов. Вначале имитируют равномерное распределение и получают последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1]. Затем, используя равномерно распределенную псевдослучайную величину, получают последовательность псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения (в нормированном виде или с конкретными значениями математического ожидания и стандартного отклонения) в любом заданном интервале. Знание основных методов формирования последовательности нормально распределенных случайных величин (метода полярных координат, метода, основанного на центральной предельной теореме, и путем отсеивания псевдослучайных чисел из первоначальной последовательности, равномерно распределенной на интервале [0,1], таким образом, чтобы оставшиеся числа были распределены по нормальному закону) позволяет создать (запрограммировать) «гауссов рандомизатор». В вероятностном моделировании оказалось удобно применять последовательный анализ, описанный А. Вальдом в 1960 г. (в последовательном анализе объем выборки не устанавливается заранее, а определяется в процессе анализа статистиче- ских данных). Основное достоинство этого метода по сравнению с методами классической статистики состоит в том, что требуется в среднем значительно меньшее число наблюдений.

Вероятностная модель метода Монте-Карло основана на предельных теоремах ЗБЧ, что является базовым положением при создании математической модели любого стохастического процесса. В экономике вероятностные модели нашли применение в теории массового обслуживания. В лингвистике это вероятностные языковые модели, решающие задачи информационного поиска (наивный байесовский классификатор, где каждый документ представляется одной темой), извлечения информации (вероятностная тематическая модель ‒ ВТМ, которая описывает каждую тему дискретным распределением на множестве терминов, каждый документ ‒ дискретным распределением на множестве тем, например LDA ‒ latent Dirichlet allocation, латентное размещение Дирихле), статистического машинного перевода, распознавания речи (скрытые марковские модели, или hidden Markov models ‒ HMM, в которых скрытые состояния – это фонемы, а наблюдаемые – это звуковые волны, которые доходят до распознающего устройства), автоматического распознавания текста и автоматического реферирования и аннотирования [2].

В КубГУ на кафедре информационных образовательных технологий реализована содержательная линия практико-ориентированного образовательного курса, включающего на 3-м курсе дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика», на 4-м курсе ‒ «Математические методы в педагогике и психологии». На 5-м курсе студенты знакомятся с вероятностными моделями в рамках дисциплины «Компьютерное моделирование». Полученные бакалаврами знания переносятся на их практическое применение в рамках магистерской программы при изучении дисциплины «Математические методы в социальных и гуманитарных науках» [3]. Единая нить, связывающая данные дисциплины от восприятия основных понятий теории вероятностей до методов стохастического моделирования, несомненно, скажется на развитии профессиональных компетенций будущих учителей математики и информатики.

Акмеология как наука о факторах, способах самосовершенствования личности и деятельности специалиста обусловливает современную парадигму вузовского образования – самодвижение и саморазвитие профессионала. В вузовской образовательной системе студент (магистрант) рассматривается как будущий профессионал и преподаватель. Наша акмеологическая концепция нацелена на теоретическое обоснование условий и возможностей педагогического воздействия преподавателя на студентов средствами содержательной линии взаимосвязанных вероятностных дисциплин, в реализации которой акмеологический подход к развитию стохастического компонента профессиональных компетенций учителя выражается в ориентации студента на высший уровень самоорганизации его деятельности под управлением преподавателя-предметника – оказание помощи каждому студенту в конструировании АСД (Авторской Системы Деятельности) от простых понятий в курсе школьной математики и информатики до собственного применения полученных ЗУНов на практике и в исследовательской деятельности [4].