Гейтинговозначный анализ, и в частности булевозначный анализ алгебраических структур, представляет собой один из путей приложения методов теории моделей в алгебре, в том числе в теории колец и групп. Конструкция булевозначного универсума первоначально разрабатывалась для решения сложных теоретико-множественных проблем, в частности для доказательства независимости от аксиом теории множеств некоторых ее гипотез, например континуум-гипотезы. Примеры таких результатов можно найти в работах П. Вопенка, Д. Скотта, Р. Соловея, Г. Такеути, В.А. Любецкого и Е.И. Гордона. Однако в дальнейшем выяснилось, что гейтинговозначный и булевозначный анализы могут применяться и для решения чисто алгебраических проблем, например, в фундаментальных работах С.С. Кутателадзе и А.Г. Кусраева [1; 3]. Для алгебраических 75

структур метод гейтинговозначного анализа эффективен, если удается построить такой содержательный пучок F ( • ) на полной гейтинговой (или булевой) алгебре О , что K = F ( 1 ) (пучок F ( • ) называется представляющим систему K). В этой связи важен вопрос о наличии такого пучка F ( • ) . Примеры таких пучков можно найти в работах Р. Пирса, К. Кайме-ла, Ж. Даунса, К. Гофмана, Ф. Борсо, Х. Сименса, Ван Де Боша; однако все эти пучки заданы на полных гейтинговых алгебрах-топологиях τ некоторых топологических пространств, связанных с исходной системой K . Такому пучку F ( • ) соответствует следующая оценка [ * ] _т, определенная на множестве всех формул ф ( k 1 ,...,k n ) с параметрами k 1 ,...,k n е K. А именно, [ k = t ] = sup { u еО р ( k ) = p U ( t ) } и аналогично для других атомарных формул; и [ ф л у ] = inf { [ ф ] , [ у ] } , [ З х ф ] = sup { [ ф ( k ) ] |k е к } и аналогично для других связок. Эта оценка замкнута относительно только интуиционистской выводимости (это означает: если [ ф ]^ = 1 и у интуиционистски выводима из ф , то [ у]^ = 1). Поэтому особый интерес представляют пучки F ( • ) , определенные на полных булевых алгебрах B. В этом случае мы имеем: если [ ф ] _в = 1, и у выводима из ф , то [ у ] _в = 1, т.е. соответствующая пучку оценка замкнута относительно классической выводимости. Оценка [ • ] , определенная в связи с алгебраической системой K, называется еще семантическим оцениванием в алгебраической системе K. В работе строятся пучки F ( ^ ) , представляющие l -группы и определенные на полных булевых алгебрах B, связанных с исходной алгебраической системой. Изучаются семантические оценивания (оценки) [ * ] _в, соответствующие этим пучкам F ( ^ ) . На этой основе изучаются хорновы и другие теории разных классов l -групп.

Структурные пучки решеточно упорядоченных групп на полных булевых алгебрах

Пусть G – решеточно-упорядоченная группа ( l -группа). Обозначим B(G) множество всех ее дополняемых l -идеалов. Это множество является булевой алгеброй относительно операций: N 1 лN 2 = N 1 nN 2 , N vN 2 = N +N 2 , ^-N = N , причем наибольшим элементом l_G является вся l -группа G и наименьшем элементом 0_G (нулевой l -идеал), где

N¹ = { x e G| V n eN (|n| л |x| = 0 ) } . Буква N с индексом или без него везде обозначает произвольный элемент алгебры B(G).

l -группу G назовем B-группой, если булева алгебра B(G) является полной. l -группа G называется ортополной, если существует sup M для любого ортогонального множества M положительных элементов группы G. l -группа G называется проективной, если выполняется G = g ¹ + g ¹¹ для всех g e G, где g ¹ = { x e G | |x| л |g| = о } и g ¹¹ = ( g ¹ ) . l -группа G называется квазирегулярной, если выполняется G = (g^ n g ¹ и ^ n g ¹= 0 для всех g e G, где (g^ - главный l -идеал, порожденный элементом g e G.

Для любой l -группы G определяется предпучок F ( ^ ) на булевой алгебре B(G). А именно F(N)=N; если N 1 2 , то p N 1 ( g ) oN 1 g для всех g eN 2 , где g = N 1 ( g ) + N ₁ ^L ( g ) , N 1 ( g ) eN 1 и N^ g ) eN ₁ ^L . Этот предпучок F ( ^ ) назовем каноническим предпучком.

Теорема 1. Пусть G – любая ортополная B-группа. Тогда канонический предпучок F ( ^ ) , представляющий G является пучком на полной булевой алгебре B(G).

Доказательство теоремы разобьем на четыре леммы. Предварительно докажем одно предложение.

Определим отображение ф _N:G ^N , положив ф _N ( a ) = a 1 , если a = a 1 + a₂, где a 1 e N , a₂ e N¹ . В силу дизъюнктности множеств N и N¹ такой a₁ однозначно определяется по а.

Предложение 1. Выполняются следующие свойства:

• 1)     ф _N ( a + b ) = ф _N ( a ) + ф _N ( b ) для любых a,b e G.

• 2)      ( a > b ) ^ ( ф _N( a ) > ф _N( b )) для любых a,b e G.

• 3)    ф _N ( v a _a ) = vф _N ( a _a ) , если v a _a существует в G.

Если N = vN _a , Ne B ( G ) , { N _a } — B ( G ) , то ф _N ( a ) = v ф _N( a ) для любого a e G ⁺ .

В дальнейшем будем обозначать N ( a ) = ф _N( a ) для всех Ne B ( G ) и a e G.

Лемма 1. Для всех N,  H e B(G)  и a ^e G выполняется

(N л H)(a) = N(H(a)) = H(N(a)).

Пусть N, H ^e B(G) и N — H. Обозначим через ф N ограничение отображения ф ^ на H, где ф ^ : G ^ N.

Следствие. Пусть N с H с R и N, H, R е B(G). Тогда ф N = ф N • ф £ , т.е. V a е R ф ( а ) = ф £ ( а ) • ф _i ^R ( а ) ) . Другими словами, N ( a ) = N ( н ( a )) для всех а е R.

Определение. Из этого следствия получаем, что по произвольной l- группе G однозначно определяется предпучок Р ( ^ ) на булевой алгебре B=B(G), представляющий G (т.е. G=F_B(1)). А именно, предпучок F ( ^ ) на B определяется следующим образом: F(N)=N и если N с H, то ф N (а)= N(a) для любого а е Н и для любых N, H е В. В дальнейшем этот предпучок F ( ^ ) будем называть каноническим предпучком.

Лемма 2. Предпучок F ( ^ ) является отделимым, а именно V { N _a } с В ( G )         VN е В ( G ) V a₁ е F ( n )        V a₂ е F ( n )

^(N = ^{V N} a ^{A (V a ( a} 1 ) = ^N a ^{( а} 2 ))) ^ ^а 1 = ^а₂ .

Лемма 3. Пусть G - ортополная В-группа. Тогда vn , N _a е В ( G ) (N=VN _aлV a _aе N : V a p е N в (((N _aA N p )(a _a ))=((N _aл N p )( a p )) ^Э! a е N⁺( Vaел ( N _a (a)=a _a )))

Лемма 4. Пусть G - ортополная В-группа. Тогда vn , N _a е В ( G ) ( ^N = ^{V N} a ^А^ ^еN a ^{V a} в ^еN в ( ( ^N a ^AV ) ( ^a a ) = ( ^N a ^AN )( ^а в ) ^ ) ) ^{3 !а еN} ( ^{V a е} ( ^N _a ( ^а ) = ^а a ) )

Доказательство . Пусть а _a еN _a , а_р еN _р и ( n _a aN _₽ ) ( a _a ) = ( N _a aN _p )( а_в ) . Тогда легко показать, что ( N _a aN _p )^ ) = ( N _a aN _p ) ( а ^ ) и ( n a AN _P ) ( а a ) = ( N a AN p ) ( а - ) . Из леммы 3 имеем Я ! Ь е N⁺ V a е Л

( n _a ( b ) = а + ) и 3 ! c еN⁺ V a еЛ ( N _a ( c ) = а _a ) . Возьмем за а=Ь-с, а е К Тогда N _a ( а ) = N _a ( b ) - N _a ( c ) = а + — а - = а _a . Единственность такого элемента a следует из самого доказательства леммы. Мы доказали теорему 1.

Булевы оценки в структурном пучке решеточно упорядоченных групп

Для любой ортополной B-группы G определим отображение Я(G) ^ B(G), где Я(G) - множество всех предложений в языке l -групп с множеством G в качестве множества параметров. Это отображение называется В-оценкой и обозначается [ * ] _В. Для атомарного предложения g=h оценка          определяется          следующим          образом:

[g = Ь]В = V{Ng B(G)| N(g)=N(h)}. Затем это отображение продолжается на все множество Я(G) обычным образом [ф л ^]в = [Ф]в л [у]в, [З x ф] = V {[ф(g)]в | g е G} и аналогично для всех других пропозициональных связок и для квантора V. Оценка [*]B замкнута относительно классической выводимости в теории l-групп, т. е. выполняется, во-первых, [ф]в = 1G для всех классических аксиом ф; и, во-вторых, если [ф]в = 1G и [у]в = 1G, а и получается из ф, у по одному из правил вывода, то [u]B = 1G . Поэтому |-ф di ааа e di ёuёi di ааа, ei ааа [ф]в = 1G, ааа | - обозначает классическую выводимость (в некоторой подразумеваемой теории).

Определение. l -группа G называется нормальной, если выполняется свойство: V g е G З N_g е B ( G ) VN е B ( G ) ( n ( g ) = 0 oNcN _g ) .

Предложение 2. Выполняется свойство: V g, h e G ( [ g = h ] e B ( G ) ) тогда и только тогда, когда l -группа G нормальная.

Теорема 2. Пусть G – ортополная B -группа. Тогда выполняется следующее:

• а)    G – проективная l -группа тогда и только тогда, когда

[ G - линейно упорядоченная группа ] =1_G, где 1_G - наибольший элемент булевой алгебры B ( G ) ;

• б)    G - квазирегулярная l группа тогда и только тогда, когда [ G - l -простая линейно упорядоченная группа ] =1_G, где 1 _G - наибольший элемент булевой алгебры B ( G ) .

Доказательство . а) Пусть G – проективная l -группа. Тогда имеем [ g = 0 ] = g ¹ для любого g е G . Действительно, эквивалентны следующие соотношения N ( g ) = 0, g е N ¹ и N = N ¹¹ c g ¹ для любых N е B ( G ) и g е G . Вычислим оценку [ G - линейно упорядоченная группа ] = Q ^{( [} x <  у ] u[ x >  у ] ) = Q ⁽ [ x ^- у <  0 ] u[ x ^- у >  0 ] ) = .

• x , u e G                                x , у e G

= Q([g < 0]u[g > 0]).           Пусть           g е G.           Тогда geG

g < 0]u g > 0] =

g v 0 = 0] и [g л 0 = 0] = (g v 0)1 u (g л 0)1 .Легко

по-

казать, что ( g v 0) 1 ( g л 0). Значит g л 0 e ( g v 0) ¹ . Отсюда получаем

( g v 0) ¹¹ с  с ( g л 0) ¹ . Следовательно, для любого g е G имеем

g <0].[g> 0]a(g v 0) . (g v0)^=(g v 0)1+(g v 0)11 == G .

Обратно, пусть G - ортополная B -группа и [ G - линейно упорядоченная группа ] =1_G. Проверим, что G - проективная l -группа. Условие «быть проективной l -группой» записывается хорновой формулой, а именно V g 1 , g 2 е G 3 h 1 , h 2 е G V h е G ( ( | h 1 | л | g 2 | = 0 ) л

^Л ( | ^h I ^Л I g 2 H ⁰ >  ^h 2 I ^Л I ^h | = 0 ) л ( g 1 = h 1 + h 2 ) ) . Обозначим эту формулу ф. Пусть v ^V g 1 h ( ( g < h ) v ( g > h ) ) , которая выражает свойство, что l -группа есть линейно упорядоченная группа. Заметим, что любая линейно упорядоченная группа является проективной l -группой. Тогда по теореме 2 [у ^ ф ] G = 1. и по условию [ v ] _G = 1. Значит, [ ф ] _G = 1. Из предложения 2 получаем G ϕ .

• б) Пусть G = ( g ) + g ¹ и ( g ) n g ¹ = {0} для любого g е G . Отсюда получим g ¹¹ = ( g ) для любого g е G , т.е. G - проективная

  l -группа. Следовательно, из предыдущего пункта имеем [ G - линейно упорядоченная группа ] =1_G. Условие «быть l -простой группой» имеет ^вид V g е G ( ( g = 0 ) v V t е G 3 n е N 3 g 1 , 3 _g, _e g ( | t < ^| - g i + g + g i )) . Вычислим

  
  

  оценку      [ V g е G     (( g = 0) vV t е G

  n

  (I t\ < £| - g i +g + g i |)] = n ( [ g = 0 ] . ( HU ( U ( [I t\ <

  
  

  i = 1

  g , t е G .

  
  

  g е G

  
  

  ^{1 е Gn е} N { g 1 ,---, g " >6 G "

  
  

  i = 1

  • 3 n е N      3 g 1,

  n

  • < SI ^- g i + g ⁺ g i ll )).

  i = 1

  
  

  ...

  
  

  , g n ^{е G}

  Пусть

  
  

  Проверим,

  
  

  что

  
  

  U ( и

  " ^е N U 1 >...> 8 n > GG

  
  

  n

  
  

  n

  I t <  SI^- g - ⁺ g ⁺ g i l]) >^[ g * ^{0 ]}=( g /

  i = 1

  
  

  Действительно,

  
  

  U ( U [I t | <  ^{n е} N (g 1 ,..., g , )е G "

  по условию

  
  

G = ( g ) + g ¹ для любого g е G . Поэтому существуют t 1 ,t ₂ е G такие, что

I t = t 1 ⁺ t 2 ,

где     t 1 е ( g ) ,     1 ₂ е g ¹ . Заметим     t 1 л 1 ₂ = 0. Имеем

m

I t | = t , + t 2 < | t , | + | t 2 < ^ | — g i + g + g i | + | t 2 | для некоторых g 1 , ..., g m ^{е G} . ^От-

сюда

i = 1

получим

0 <|1|-|1|л(2|- s-+ g + gi) = i=1

m

m

Следова-

i = 1

тельно,

i = 1

⁽i t I - 1 t i ^{л (} Ё । - g. + s + g , i )) ¹ a g ¹¹ = < g > .

i = 1

Получим

и и Пи <£^|- g i + g + g i Q^ t H t hd * ^^- g i + g + g i ^{)) ±} >< g > .

" e N < g 1 ,..., 8 „ >E G "          и                                              и

Обратно, свойство квазирегулярности записывается формулой

^{V g} V h 3 ^g J 3 " 3 \, ..., 3 h " ( ( g 2^ | h | = о ) л ( | g j <£| - h + h + h , \ ) л ( g = g , + g 2 ) ) , где "  ^- i = 1

переменная по всем натуральным числам, и, строго говоря, вместо h1 , ..., hn нужно написать переменную h нового сорта, пробегающую не G, а множество всех конечных последовательностей из элементов G. По ус- n ловию [V g V t 3" 3 gJ,..., g" ((g = 0) V (| t <^|- gi + g + gi |))]= 1G и G - ор-i=1

тополная B -группа. Пусть g , t e G . Обозначим g = ( g 1 , ..., g n ) и дл. ( g ) длину кортежа g . Тогда        [ 3 n e N       ³ g ⁽⁽ дл.

IA

⁽(g)=n)л((g = 0)v(|t|<£-gi+ g + gi^))]=jG.. Согласно лемме 1 существует кор^-i=l

теж g    длины    n0 из элементов G такой, что [ g=0 Г.                                       .1 ]v kl

= Ni. Тогда N + N1 = G . Отсюда из предложения 5

параграфа 1 имеем n(g) = 0 и N (|t|)<£N (|— g + _g + g |) • Из n + N, = G имеем i=l

N ^C N.. Следовательно, N ^(|t|)

Поскольку все известные теоремы о линейно упорядоченных группах могут быть доказаны в ZFC, то их булевы оценки равны 1B. Данное обстоятельство позволяет в силу теоремы 2 переносить некоторые результаты о линейно упорядоченных группах на ортополные проективные l-группы. Здесь приведем лишь простейшее следствие.

Следствие. Хорновы теории в языке l-групп следующих пар классов l-групп совпадают:

• а)    ортополных проективных l-групп и линейно упорядоченных групп;

• б)    ортополных квазирегулярных l-групп и линейно упорядоченных l-простых групп.

Заключение

Все сказанное без изменений переносится на случай, если язык l-групп расширить новыми предикатными и функциональными символами.