Течение моментной анизотропной жидкости в тонких слоях

Существуют вещества, которые, будучи жидкостями, обладают анизотропными свойствами, например некоторые суспензии и коллоидные растворы, а также магнитная жидкость при наличии магнитного поля. Кроме того, эксперименты убедительно показывают, что около твердой поверхности многие жидкости образуют граничные (или приповерхностные) слои толщиной - 20-50 нм, в которых молекулы ориентационно упорядочены. По мнению школы Б.В. Дерягина [1, 2], некоторые жидкости вблизи твердой поверхности образуют новую фазу – эпитропный жидкий кристалл, причем было показано, что влияние твердой поверхности на свойства жидкости распространяются на расстояния до нескольких микрон.

Интерес к этой проблеме объясняется тем, что явления, протекающие в граничных слоях, определяют физическую сущность многих практически важных технологических процессов, таких как флотация, коагуляция, устойчивость дисперсных и коллоидных систем, трение и так далее. Несущую способность узлов трения принято связывать с динамикой ньютоновской жидкости в клино-

видном зазоре (эффект масляного клина), в котором возникает динамическое расклинивающее давление. В узких же зазорах порядка микрона и менее, в которых уравнения На-вье–Стокса уже не справедливы, существенны адгезионные силы взаимодействия жидкости с твердой поверхностью. Однако проблема количественного учета их влияния на взаимодействие твердых поверхностей пока не решена.

По этой причине возникает принципиальный вопрос о механизме смазочного действия масел и роли жидкокристаллоподобных структур в их микрореологии. Известно, что смектические жидкие кристаллы возникают и в веществах, которые давно используются в качестве добавок к смазочным маслам и смазкам. Это поверхностно-активные вещества, коллоидные мицеллообразующие растворы амфифильных соединений, дающие слоистые структуры. Примером могут служить соли жирных кислот.

В связи с этим актуальна разработка гидродинамической теории граничных слоев, которая позволила бы адекватно описать их реологическое поведение и кинематическую ориентацию, индуцированную твердой поверхностью. Такую теорию можно построить на основе идей и принципов моментной меха- ники сплошной среды, в частности модели моментной анизотропной жидкости (МАЖ). Далее определяющие соотношения моментной анизотропной жидкости, уравнения для смазочного слоя цитируются по статье Э.А. Аэро, Н.М. Бессонова, А.Н Булыгина [1].

1. Уравнения баланса

стоятельную величину, независимую от v ю Е Vx -, которая описывает вращение уча стка среды как целого.

Локальная деформация участка среды в моментной гидродинамике характеризуется двумя тензорными величинами

Уравнения движения моментной анизотропной жидкости (МАЖ) можно записать в виде

e ik

'с v + d vk ч d хк   д xt ?

r k

д Q d xk

(1.3)

d p d vk   _ d v,

— + p —— = 0 p —^L d t      d x_k        d t

+ p f.

dS_=Pm*. d t d xk

(1.1)

—

CT £ nm inm

+ pmt

Материальные соотношения, то есть законы, связывающие динамические & , р_к и кинематические ё ^ , r_ik и ( A — (р ) величины для МАЖ можно получить аналогично тому, как

s\

Здесь S, — J_{j k} ^Q _k , & ik

и P ik

– несиммет-

ричные тензоры силовых и моментных напряжений; p f и pm, - плотности объемных сил и моментов; v , Q и J_ik - поступательная скорость, собственная угловая скорость и

момент инерции элементарного участка сред; ^пт — тензор Леви-Чивиты.

Носителями собственного момента ко-

это сделано для жидких кристаллов, на основе первого и второго законов термодинамики, принципа инвариантности к жесткому вращению, принципа Онзагера, условий материальной симметрии, а также твердо установленных экспериментальных данных относительно реологических свойств граничных слоев. Для случая малых скоростей деформирования (с точностью до линейных членов разложения по e_ik, r_ik ) можно записать

личества движения S в моментных жидко- стях, как и в жидких кристаллах, являются сами молекулы, вращающиеся вокруг собственных центров инерции. Расчеты показывают, что спиновой момент количества движения играет существенную роль лишь при сверхвысоких скоростях деформирования и оказывается пренебрежимо мал при обычных скоростях деформации. Собственная угловая скорость в МАЖ складывается из скорости вращения анизотропного направления Q+

(локальной оси симметрии жидкости в данной точке L ) и скорости вращения вокруг оси

— анизотропии Q d L

Q =Q+ + Q—, Q+ = i         i          i , iinm dt,

Q — — L ^ , L^ — 1

(1.2)

Вращательные степени свободы МАЖ описываются тремя величинами – двумя компонентами вектора L и параметром ^ .

В моментной механике собственная угловая скорость Q, представляет собой само-

^P ik ^{— 0} ikmn r mn + ^L i^pk

Здесь Ar 11 — Ar               1 \ ■ — А/ ?, и [ k] – символы симметризации и антисимметризации; Aknm и 0km, - тензоры сдвиговой и моментной вязкости. Явный вид этих тензоров можно найти, если учесть материальную симметрию анизотропной жидкости.

Примем, что локально (в каждой точке) МАЖ обладает цилиндрической симметрией (L – орт симметрии), и, кроме того, имеет плоскость зеркальной симметрии, перпендикулярную оси цилиндрической симметрии. Другими словами L, и — L считаем физически неразличимыми. В этом случае тензоры можно представить через диады L Lk и абсолютные тензоры 6ik и £тпs. Всего каждый тензор будет содержать восемь независимых параметров, которые можно интерпретировать как коэффициенты вязкости при определенных ре- жимах течения. Окончательно материальные соотношения для МАЖ имеют вид

^ (ik) = - P ^ k + a l e ik + ¹ ( a 2 + a 6 ) e nk ^L n ^L i +

• ¹    ( a 2 - a 6 ) e in ^L n ^L k + ( a 3 ^L L k + a 4 $ ik ) e nm ^L n ^L m +

( a 4 L i L k + a 5 § ik ) e nn + a 7 ( Q - CO^ £ jik +

• ¹    ( a 6 + a 8 ) LN + 1 ( a 6 - a 8 ) ^L k ^N i , ^ [k] = ¹ a 6 ( e kn^Ln^Li - e in^Ln^Lk ) +

a 7 ( Й - ° ) ^£ jik + -a 8 ( L i N k - L k N i ) ,  (1.4)

j 2

a = 0, re + —(0, + 0 ) r„ LL, + ik        1 ik             2       6 nk n i

1(0,- 0^r L Ь.+(0±Е+0ЛЛг LL + 2      6 in n k        3 i k      4 ik mn m n

(0.LL, + 0,8₁)r + 0,(r L L_t + r_tL £ } + 4 i k       5 ik nn       7 ni n k     kn n i

⁰ 8 rik ⁺ Li ( a9⁵ki ⁺ a 10 LkLini ) , d L

Ni =    + LOAm , d t                                (1.5

n = L^"j

В силу зеркальной симметрии тензоры A_ikmn и Q _ikmn содержат лишь четные диады ( LL_k , LL_kL_mL_n ) и не содержат нечетные ( L , , LL k L m ) .

Для несжимаемых сред уравнения (1.1– 1.4) совместно с материальными соотношениями (1.5) образуют замкнутую систему семи уравнений для семи величин ( v_;, L, , Т , p ) . Для сжимаемых сред к искомым величинам добавляется плотность р , а к законам сохранения – уравнение состояния среды.

уравнения движения оказываются нелиней- ными и очень сложными.

Введем безр а змерные координаты x, y, z и время t

5. _ x = lx, y = 5y, z = Iz, t = —t (2.1)

а также безразмерные компоненты скорости u,v,wи давление p u = Up, v = Vv, w = Uw, p = pU p (2.2) 1          1           1          Re£2

Здесь l – средняя кривизна твердых поверхностей; 8 - толщина слоя; U и V - продольная и поперечная скорости нижней (i=1) и верхней (i=2) твердых поверхностей соот-n  UlP ветственно; Re =---- - число Рейнольдса;

a

£ = — ; р - характерная сдвиговая вязкость жидкости, которая может соответствовать одному из восьми коэффициентов ( а_х ,..., а ₈) или быть их комбинацией.

Можно составить безразмерное число подобия

A = 5^0         (2.3)

аналогичное числу Рейнольдса. Здесь 0 - характерная моментная вязкость жидкости. При получении уравнений движения для смазочного слоя предполагается, что

1      1     1 0

£ <<  1 , £ ~-- , £ ~-J—

Re    ly a

(2.4)

Если учесть (6), (7) и (8) в материальных соотношениях и уравнениях движения, то в нулевом приближении, т. е. пренебрегая слагаемыми O( s ), можно получить

2. Уравнения для тонкого слоя

Поскольку далее в первую очередь имеются в виду гидродинамические проблемы трения, то представляется целесообразным получить уравнения движения для тонкого слоя. Учет ориентационной упорядоченности молекул жидкости приводит к нелинейным материальным соотношениям. По этой причине даже для ползущих течений

d p , d ^x

---1--=

5 x d y

d p d ^zy

---1--=

5 z d y

d a

- ^ = 0, d y

d ud

—, = о

51d d w d u  d v  d

--, — + — +

51  d x  d y  d

d ay d y

-

d azy d y

- cr₃= 0

^xy = 1 (b + b2+ L2 + b2- L2 + 4 a 3 L2 l². )du +

1/  +                   ,2    \W w 1,

⁺ t(b2 ^L1^L3 ^{+ 4}a3^L1^L2^L3 )t⁺Tb3^Q3 ⁺

4'                   ’ оy 2

a6  j^dL2 , j dLL       +

2 ^ ¹d t²d t )

¹  ,                 ,        \^{U U}

°zy = “j"(^b2 ^L1^L3 ^{+ 4}a 3 ^L1^L2 ^L3 )д + 4'                    '5 y

1/?      7 + T2    7 - 7-2 Л T2 7-2 \ d W

^ ^{( Ь}1 ^{+ b}2 ^L1 ^{+ Ь}2 ^L 2 ^{+ 4}a 3 ^L1 ^L 2 ) Q у-

-¹b Q + a⁶

231  2

d L 2     5 L3

L               I  L'y

³d t²d t

° =

-¹b; LL— 2 ^{3  1 3}d y

-

1 (2 a 7 + b L2 + b3+ L2 )dw + b3Q1

°2 =

-

d u

d w

¹b- L L — + L — I + b Q

232  3      1       33

d y    d y

. (2.5)

d y

d y

°3 = ¹(²a7 ^{+ b}3+ L^{2 + b}3^-L2 f^.⁺

1 , dw , • b^- LL+ bQ

2 ^{3 1 3}d y ³³

b = 2 a₇ + 2 a₇, b± = a₂ + a₈ ± 2 a₆, b± = a₈ ±a₆, b = 2a₇ + a₈

В уравнениях (2.5) от безразмерных величин вновь перешли к размерным, при этом для давления компонент поступательной скорости и тензора силовых и моментных напряжений сохранили прежние обозначения. Для вектора собственной угловой скорости в приближении тонкого слоя (с точностью 0(e)) имеем

dL

Q L_n —m ^ (2.6) d t

Для решения уравнений движения МАЖ необходимо задать краевые условия. Принимая гипотезу "прилипания", поле поступательной скорости v на твердой поверхности s можно записать, как и в обычной гидродинамике:

низм взаимодействия МАЖ с твердой поверхностью. Поскольку этот механизм в деталях далеко не ясен, то будем в первом приближении исходить из предположения о "жесткой" ориентации длинных осей молекул на твердой поверхности. В этом случае

L(r,t), = Ls,               (2.8)

где L – вектор ориентации длинных осей молекул на твердой поверхности. Кроме того, будем считать заданными как начальное поле поступательной скорости, так и начальную ориентацию длинных осей молекул, т. е.

v(r,t)\_t=0 = V,(r) ,             (2.9)

L(r,t)t=o = Lо(r) .           (2.10)

Краевые условия (2.9)–(2.10) позволяют в принципе проинтегрировать уравнения движения МАЖ и определить поле поступательной скорости v( r,t) и ориентации длинных осей молекул L(r,t) .

3. Слой МАЖ между параллельными пластинами

В качестве иллюстрации реологических эффектов МАЖ рассмотрим ее течение между параллельными пластинами. Будем для определенности считать, что нижняя пластина движется вдоль оси x с постоянной скоростью U, а верхняя пластина отстоит от нижней на расстояние h и неподвижна. Угол Ф = Ф(y,t) будем отсчитывать от оси y. Тогда учитывая симметрию течения можно записать:

v = u(y)e_x L = e_xsinФ + e_ycosФ .   (3.1)

Подставляя (3.1) в (1.5) получим систему уравнений:

d p d 1(i 7 + r2   7 - r2 j r2r2\ d U

— = — — ib + b-.L + b2L2 + 4a^L,L21-- dx dy L 4v 1    2  1    2  2      3 1 2 ! dy b. ™ + 06 (£ - L2)Ф ■

2 d t 2 ^{3 2     11} d t

(3.2)

v(r,t)l = Vs,             (2.7)

-I d y L¹

0, +1 («2 - 06) L

д 2Ф

-—— ⁺ d y d t _

где V – поступательная скорость движения твердой поверхности s. Граничные условия для вектора L( r,t) должны отражать меха-

1          ,₊ ,2   ,-,2\du , дФ

— ( ²a 7 ^{+ b}3 L1^{+ b}3 L 2 )—   ^b3 —— = 0

2^х                   'dy      dt

(3.3)

Так как правая часть (3.2) зависит только от y, то p(x) = кх + C₂и градиент давления в уравнении (3.2) постоянен и равен к .

Введем для размерных величин масштабы

(3.10), (3.12) можно получить в аналитическом виде:

д Ф „      , ,     .   „     , ,     .

---= D, cosh(a y) + D2 sinh(а у) — д t       1                     2

[ ai ] = —i [ и ] = U [⁰] = &1

^[У] = h^[t] = h^[к]= ^Ki

Введем обозначения:

(3.4)

^{4 —}Пю

(3.11)

(Ск у + г )

def ь + ь,     def ь + b+     def,

^—i = -7- ⁿ = — ^Пю = b3

—+ = a3 0_n=0 +1 (02 - 06) /

(3.5)

n^,

и(у) = —^ (D sinh(a y) + D₂ cosh(а у)) +

,   ^2а                                (3-12)

——^(СкУ = + 2гу^{) +}D3

^{4 —}ю

где а = A—

—ю

^ nII = П   n+ ni        n i

n+ n i

Введем обозначение А

1 — cosh а sinh а

.

— = cos²Ф + — sin²Ф + П+ sin²Ф^c°s²Ф

^— =¹[(^—ю^——a⁺1)cos^{2 ф +}

(^—ю^{+ — —}1) sin^{2 ф}]

Обезразмерим уравнения:

Граничные условия:

^ФУ=0 = Ф.

^ФУ .1 = Ф. •

(3.13)

и\   = °

IУ =°

и|   , = 1-

I у =1

(3.14)

к, h2_ d _ ди _ дФ к =   n—2^=

U —    d y L 5 У    д t

Из которых следует:

(3.6)

д ^ д²Ф д y _ д y д t

+ A²

- д и n2 — д y

—

- д Ф к „

Пю^ 1 = °-д t )

Т =_ 4——ю_D|

D3 =— D₂, 2а

(3.15)

(3.7)

Далее опустим черту над безразмерными величинами.

Здесь     A = h ^^, C = ^к,

V 0    Un i

_    ди    дФ

^Ску + ^т = ni — ^—n 2^    (3.8)

д у     д t

D =---¹---х

П_юА + 2а

— I

D2

а 1

—

2 С к

^{4 — —}ю )

—_юА + 2а

—ю 2С^_А

^{2 4 —}Пю

,

(3.16)

д и и выразим из полученного уравнения : д у

2 С к⁽—ю

^{4 —}—ю к ²

(

—а

к

2а

А 1

2 С к

—

^{4 —}Пю )

+

(3.17)

—

ди   1 (            дФ^

— = — CKy + Т + n₂ — д у  — к            д t )

(3.9)

at

^Ф(^t,У) = ^Ф° ⁺——

—_юА + 2а

sinh( а) )_?

1   2 Ск к

1--1х

^{4 —}—ю )

и подставим в (3.7)

а 9

д у

д²Ф д у д t

/   2

к П1

—

_ кд Ф

—ю ^ ⁺ д t

⁾       (3.1°)

(1 — cosh(а y) — Asinh(а у)) + t     2 С к

—ю^{А + 2а 4 —}Пю

(3.18)

A² — (Ск у + т ) = ° ni

,   ,              s^nh(a у) к

2 у — 1 + cosh(a у) +-------- +

А )

Для случая когда — = °, — = 1, ®п = 1

2а у

—

sinh(a у) sinh( а )

(тогда — = 1, — = —_ю /2) решение уравнений

u(y) =

Пф С 2 С к }

1 -~

2(^0^ + 2а) \  4 - Пф J

4 а у                              ,    .

---— + А( 1 - cosh(а у)) - slnh(а у) +

L Пф

Пф

2 С к

------х

Пф^А + ^{2а 4}- Пф

П° (cosh( а y) + Asinh(а у) -1) +

y⁽y -^{1 )А} +

1 - cosh(а у) 2 а у²

sinh( а )

Пф

⁴- Пф _

Ск    а т =--+-----

^^^^^^в

2   п_фА+2а 2

Ск ! а (4-Пф)

2   2п_фА+2а

.

,(3.19)

(3.20)

Найдем касательные напряжения

^ху(у) = Ск у + т =

ску_Ск+а (4-пф) •    (3-21)

2   2 П_фА + 2 а

В данном диапазоне параметров профиль поступательной скорости мало отличается от классического линейного профиля.

На рис.1 изображены профили собст-а 5 Ф венной угловой скорости жидкости ^ =--- д t по сечению слоя при к = 106 и цф = 0,5, в зависимости от толщины слоя.

Рис. 1. Профили собственной угловой скорости жидкости Q по сечению слоя при    к = 106  и  пф = 0.5, h = 1) 5 • 10-5, 2) 2 • 10-5, 3)1 • 10-5,4) 2 -10-6

Видно, что в толстых слоях (h = 5 • 10^-5) течение в ядре потока приближается к классическому случаю: частицы жидкости вращаются с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости ф вращения участка среды как целого. Ориентационное действие твердых поверхностей проявляется лишь в узком пристенном слое. Угловая скорость вращения частиц жидкости максимальна в середине слоя и плавно убывает по мере приближения к твердым поверхностям.

Приведенные зависимости показывают, что слой МАЖ проявляет размерный эффект: в широких зазорах, когда A ^ю, имеем ^ ^ П (1 - ^Пф4 | ; в узких зазорах, при A ^ 0, эффективная вязкость жидкости р_е ^ ц_г • Размерный эффект вязкости тем больше, чем больше вращательная вязкость п_ф •

Если С = ^h- = 0, то решение сводится к и Пу решению, полученному Аэро, Бессоновым и Булыгиным [1]:

аt

Ф(t,y) = Ф0 +---, , х

ПфЛ^{+ 2а}   ,

(1 - cosh(а у) - Asinh(а у))

и(у) =

----Пф----х 2(ПфА + 2а)

4 а у

_ Пф

+ А( 1 - cosh(а у)) - sinh(а у)

Поле сдвигового напряжения для анизотропной безмоментной жидкости можно най- ти как предел сдвигового напряжения при 0>0.

апХП-Пф) 2 ПфА + 2ап

Lim а™ = Lim С к у---+ в ^0   ху а >>             2

= Ск у - Ок + 'OOly-Ml Lim---а---

2        2     ^а>^уп_фА + 2ап

Ск у - °£ + ^Пф

и(у) =--------(2ту + Ску ).

4П1^-ф

Разность между напряжением трения анизотропной жидкости и МАЖ а, = -'  п- (1TOL I,

4 I ПфА + 2 ап J

,  1 - cosh а и А =------- sinh а surface and moment theory // Colloid Journal, 1998 60, № 4. P. 406–412.