Температурное нагружение составной конструкции в условиях плоской задачи

Автор: Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В., Степина Е.В.

Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi

Рубрика: Механика. Математическое моделирование

Статья в выпуске: 3 (22), 2013 года.

Бесплатный доступ

В условиях плоской задачи изучаются температурные напряжения в окрестности особой точ­ки составной конструкции. Показывается, что все параметры напряженного состояния в ма­лой окрестности особой точки претерпевают значительные изменения. Формулируется усло­вие для материальных параметров скрепляемых элементов, обусловливающее неограничен­ный рост нормальных напряжений на контактной поверхности.

Концентрация напряжений, особые точки, составные конструкции, контактные поверхности

Короткий адрес: https://sciup.org/14729869

IDR: 14729869

Текст научной статьи Температурное нагружение составной конструкции в условиях плоской задачи

В составных конструкциях, например слоистых средах, в окрестности свободной от нагрузок границы при температурном нагружении могут возникать значительные нормальные и касательные напряжения. Такие напряжения обусловливают расслаивание конструкции, сокращают срок ее службы. Температурные напряжения в составных конструкциях изучались многими авторами. В работах [1–3] проведены экспериментальные исследования – методом фотоупругости подтверждается явление значительной концентрации напряжений вблизи края поверхности соединения составных конструкций при однородном температурном нагружении, обнаруживается влияние на максимальные значения напряжений формы линии соединения и формы образующей граничного контура. Аналитические исследования температурных напряжений в составных конструкциях рассматриваются в работах [4–10]. В статьях [4– 6] изучается напряженное состояние в области края составной конструкции, обусловленное однородными и стационарными темпера-

турными полями. Решение строится в бесконечных рядах с использованием функции Эри. В публикации [7] рассматриваемое явление изучается методами функции комплексного переменного. В работе [8] напряжения вблизи особой точки, обусловленные механическим и температурным нагружением составной конструкции, изучаются с использованием разложений, содержащих как регулярные, так и сингулярные слагаемые. В публикации [9] для изучения температурных напряжений вблизи стыка составных стержней, труб и других конструкций используются интегралы Фурье. Полученные решения ограничиваются случаем, когда скрепляемые материалы отличаются лишь коэффициентами теплового расширения. В работе [10] для анализа напряжений вблизи кромки соединяемых тел применяется вариационный подход, приводящий путем минимизации дополнительной энергии к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Численные исследования, основанные на применении стандартных прикладных пакетов программ конечно-элементного анализа для изучения концентрации напряжений вблизи особых точек, оказываются неэффективными. В работе [11] показано, что полученные на основе таких пакетов решения не- адекватно отражают напряженное состояние в областях, где оно претерпевает значительные градиенты. Авторы предлагают способ улучшения МКЭ-подхода посредством введения в расчет специальных гибрид-элементов.

В настоящей работе изучение температурных напряжений вблизи свободной кромки составной конструкции проводится численно-аналитическим итерационным методом [12], позволяющим обеспечить приемлемое выполнение вблизи особой точки граничных условий и условий сопряжения на контактной поверхности соединяемых тел.

1.    Постановка задачи

В декартовой ортонормированной системе координат x , x рассматривается прямоугольная пластинка, полученная соединением встык по прямой линии, принятой за ось x , двух элементов 1, 2 (рис. 1).

Рис. 1. Составная пластинка

вблизи точки А .

  • 1)    На линии контура m-n (кроме особой точки)

(1)                (1)                (2)(2)

^11      , и12      ,   ^11      ,   

  • 2)    на линии соединения элементов

(кроме особой точки)

  • а)    условия непрерывности напряжений (1)       (2)                (1)(2)

  • б)    условия непрерывности деформаций

e^ = e(2);(3)

  • 3)    в особой точке

  • (1)        (2)             (1)(2)

& 22    & 22 = 0, & 12 = 0, & 12 = 0,

~& (г) - ~ & 22) - ( а - а ) a t = о. (5)

22            22        12

EE

Равенство (5) – условие непрерывности деформаций (3) в особой точке.

При решении поставленной задачи с использованием стандартных инженерных вычислительных комплексов (например, AN-SYS) оказывается неудовлетворительной точность выполнения приведенных выше равенств. Это объясняется прежде всего тем, что в конечно-элементных алгоритмах комплексов обычно заложено приближенное выполнение граничных условий в напряжениях. В то же время граничные условия в перемещениях выполняются точно. Это обстоятельство используется в настоящей статье, где ставится задача построения решения, с приемлемой точностью удовлетворяющего всем условиям, выраженным равенствами (1)–(5).

2.    Метод решения

На каждом шаге итерационного процесса конечно-элементное решение термоупругой задачи строится с использованием разрешающих уравнений, полученных из условия стационарности смешанного функционала, в котором независимому варьированию подвергаются перемещения и деформации [13]:

J u e = J ( Lu ) TD ( e - e о )

V -

£ D e

dV + W . (6)

Здесь L – матрица дифференциальных операторов, с помощью которой вектор деформаций £ выражается через вектор перемещений u , D – матрица упругих модулей материала, £ 0 - вектор температурных деформаций, W – потенциальная энергия внешних сил.

Из условий стационарности функционала (6) следуют уравнения равновесия, зависимости Коши и граничные условия в напряжениях. В конечно-элементном подходе тело V, в котором разыскивается решение, разбивается на r частей так, чтобы в каждой части материальные свойства были непрерывны. Часть тела с номером k разбивается на n конечных элементов. Решение для перемещений разыскивается в классе непрерывных функций во всем теле V, а для деформаций – в классе функций, непрерывных в отдельных частях. Через U обозначается глобальный вектор узловых перемещений, а через Fk – глобальный вектор узловых деформаций k-й части. Аппроксимация векторов перемещений и деформаций внутри элемента с номером e принимается в виде ue = NeU, £e = MeFk,     (7)

где Ne и Me – матрицы функций форм элемента.

Условия стационарности функционала (6) по деформациям представляют собой r уравнений

GkU - SkFk = 0, k = 1,2,...r,(8)

в которых nk

G e = J BeTDeMedv ,   Gk = ^ G e ,

Vеe nk

Se = J MeTDeMedv, Sk = £ Se ,

Vee

Be – результат действия оператора L на Ne . Из системы уравнений (8) можно найти векторы деформаций

Fk = SkGTU .(9)

Таким образом, применение смешанной конечно-элементной схемы решения упругой задачи позволяет выразить узловые деформации (а, следовательно, и узловые напряжения) через узловые перемещения без применения операции дифференцирования приближенного решения.

Процедура итерационного построения решения состоит в следующем. На заданной конечно-элементной сетке с использованием смешанного подхода строится решение (нулевое приближение) поставленной выше задачи. При этом из равенств (1)–(5) в построении решения участвуют лишь условия на контуре конструкции. При подстановке во все алгебраические равенства полученного решения вычисляется вектор невязок, величина которого характеризует точность выполнения этих условий. С целью уменьшения величины вектора невязок соотношения (1)–(5) представляются системой уравнений относительно перемещений в основных узлах (основными объявляются узлы сетки, в которых должны выполняться алгебраические равенства), перемещения в остальных узлах принимаются равными значениям из нулевого приближения. Найденные основные перемещения принимаются за граничные условия в основных узлах на следующем шаге итерационного процесса. Тем самым граничные условия в напряжениях и условия непрерывности напряжений и деформаций по линии контакта преобразуются в граничные условия в перемещениях. Далее процесс повторяется.

Заметим, что уточнение решения на очередном шаге итерации сводится к решению обратной задачи – поиску перемещений в основных узлах, обеспечивающих минимум вектора невязок.

Описанная процедура последовательных приближений оказывается сходящейся. Зависимость решения от конечно-элементной сетки уменьшается с ее сгущением. Выход из итерационного процесса осуществляется при достижении величиной невязки заданного значения или при стабилизации решения. Полученный результат оценивается по значению коэффициента улучшения решения k , равного отношению среднеквадратичного значения величины вектора невязок в нулевом приближении к соответствующему значению в итоговом решении.

3.    Анализ вычислений

На рисунках, приведенных ниже, представлены результаты вычислений напряжений вблизи особой точки А, полученные по описанной в п. 3 итерационной процедуре. Материальные параметры для более жесткого эле- мента конструкции не менялись – E = 206 -1

ГПА , ν = 0.3, α = 0.11е-4 град- , в менее жестком элементе коэффициент Пуассона и коэффициент температурного расширения рав -1

ны ν = 0.25, α = 0.85е-5 град- , а модуль Юнга варьировался.

чениям, определяемым равенствами (4–5). Заметим также, что левые (крайние) точки графиков являются значениями соответствующих параметров в нулевом приближении (ANSYS-решения), поэтому эти величины характеризуют погрешность решения в нулевом приближении.

б

Рис. 2. Значения параметров решения в зависимости от числа итераций ( E = 30 ГПа):а) величина вектора невязок (1 – для числа узлов КЭ-сетки 4171, 2 – для 7912; б) 1– напряжения σ 2 (1 2 ) и 2 – σ (2) в точке А; в) напряжения 1– σ (1) и 2 – σ (2) в точке А; г) напряжения 1– σ (1) и 2–

г

2– E = 30 Га; 3– E = 70 ГПа ); б) поверхность напряжений ( E = 30 ГПа)

Рис. 3. Напряжения σ (1) и σ (2) вблизи особой точки: а) на линии соединения (1– E = 15 ГПа;

Приращение температуры во всех расчетах принималось одинаковым – Δ T = 1000 C .

Из рис. 2 видно – все параметры решения с ростом числа итераций стремятся к зна-

На рис. 3 кривые σ(1) и σ(2) совпадают для всех трех значений модуля E . В особой точке эти напряжения имеют значения, определяемые равенством (5). При этом, как сле- дует из этого равенства, если выражение (ν E -ν E ) стремится к нулю, напряжения

σ(1) и σ(2) неограниченно возрастают. Наи- большее напряжение возникает не в самой точке А, а в ее окрестности на свободном контуре в более жестком элементе (рис. 3б). Об- ласть значительного изменения напряжений

Рис. 4 . Напряжения σ (1) и σ (2) вблизи особой точки: а) на линии соединения (1– E = 15 ГПа;

2– E = 30 ГПа; 3– E = 70 ГПа); б) поверхность напряжений ( E = 30 ГПа)

изменения в малой окрестности особой точки и стабилизируются с удалением от нее.

При этом напряжения σ вне малой окрестности точки А оказываются положительными в элементе с меньшим коэффициентом температурного расширения и отрицательными – с большим.

б

На рис. 4а напряжения σ (1) и σ (2) в различных элементах представляются одной кривой, так как они практически совпадают. Эти напряжения претерпевают значительные изменения в малой окрестности особой точки и монотонно уменьшаются с удалением от нее. При этом наибольшие значения напряжения σ (1) и σ (2) достигают на линии соединения элементов конструкции.

Рис. 5. Напряжения σ (1) и σ (2) на линии соединения вблизи особой точки ( E = 30 ГПа )

На рис. 5 представлены нормальные напряжения σ (1) и σ (2) в составной пластинке. Эти напряжения претерпевают существенные

Заключение

С использованием численно-аналитического итерационного конечно-элементного подхода в условиях плоской задачи изучены напряжения вблизи особой точки составной пластинки при ее однородном температурном нагружении. Показано, что все параметры состояния конструкции в малой окрестности особой точки претерпевают значительные изменения. Сформулировано условие для материальных параметров составляющих элементов, при котором особая точка оказывается сингулярной.

Алгоритм реализован на языке Фортран-90, компилятор Intel 11.0, расчеты выполнялись на суперкомпьютере ТЕСЛА-ПГУ НОЦ ПиРВ.

Список литературы Температурное нагружение составной конструкции в условиях плоской задачи

  • Варданян Г.С., Фриштер Л.Ю. Моделирование термоупругих напряжений в составных конструкциях//Изв. АН АРМ. ССР. Механика. 1986. Вып. XXXVIII, № 6. С. 310.
  • Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Моделирование кусочно-однородной задачи механики деформируемого твердого тела методом фотоупругости/Изв. нац. АН респ. Армения. Механика твердого тела. 1993. № 6. С. 38-43.
  • Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования напряженно-деформированного состояния составных конструкций в зонах концентрации напряжений: дисс.. д. техн. н. 2009. 391 с.
  • Алексанян Р.К., Мкртчян А.М. Температурные напряжения в составном прямоугольнике//Изв. нац. АН респ. Армения. Механика. 1970. Т. 23, № 4. С. 3-11.
  • Чобанян К.С., Алексанян Р.К. Термоупругие напряжения в окрестности края поверхности соединения составного тела//Изв. нац. АН респ. Армения. Механика.1971. Т. 24, № 3. С. 22-32.
  • Алексанян Р.К. Термоупругие напряжения в составной полуплоскости//Изв. нац. АН респ. Армения. Механика. 1971. Т. 24, № 4. С. 45-54.
  • Haojiang D. The analysis of thermal residual stresses near the apex in bonded dissimilar materials//Int. J. of Solid and Structures. 1999. Vol. 36, № 36. P.5611-5637.
  • Yang Y.Y., Munz D. Stress singularities in a dissimilar materials joint with edge tractions under mechanical and thermal loadings//Int.J. of Solid and Structures. 1997. Vol. 34, № 10. P.1199-1216.
  • Вейцман Р.И. Концентрация термоупругих напряжений вблизи стыка разнородных материалов//Исследование температурных напряжений. М.: Наука. 1972. С.41-151.
  • Xiang-Fa Wu, Robert A. Jenson. Stress-function variational method for stress analysis of bonded joints under mechanical and thermal loadings//Int. J. of Eng. Science. 2011. Vol. 49, Issue 3. P. 279-294.
  • Barut A., Guven I., Madenci E. Analysis of singular stress fields at junctions of multiple dissimilar materials under mechanical and thermal loading//Int. J. of Solid and Structures. 2001. Vol. 38, № 50-51. P. 90779109.
  • Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Напряженное состояние вблизи особой точки составной конструкции в плоской задаче//Вестник Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2013. №4(24). С.78-87.
  • Пестренин В.М., Пестренина И.В. Механика композитных материалов и элементов конструкций. Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 2005. 364 с.
Еще
Статья научная