Теорема о неявной функции для отображений классов Соболева

Более сорока лет назад Ф. Кларк доказал теорему об обратной функции для отображений класса Липшица [2; 5], что позволило перенести на этот класс отображений теорему о неявной функции [7]. Намного позже M. Кристи [6] получил теорему об обратной функции для более широкого класса отображений, включающих отображения классов Соболева, и это позволяет надеяться, что теорема о неявной функции также допускает распространение на более широкие классы отображений, например на соболевские отображения. Некоторые результаты в этом направлении получены в настоящей работе.

Основные результаты

Обозначим через B n (x,r) — шар в R n с центром в точке x радиуса r > 0 . Пусть M m x n , m,n Е N, — множество m х n -матриц с вещественными элементами. Для матрицы A Е M _{m x n} полагаем || A k = (tr(A • A T )) ^{1 / 2} ( T -транспонирование), | A | = sup | Ax | .

И=1

Пусть D — область в R n + m и F : D ^ R m - непрерывная функция переменных x Е R n , у Е R m . Предположим, что для каждого (x,y) из D функция F(x,y) принадлежит классу Соболева Wi loc (D) . Для функции F(x, у) почти всюду в D определена ее формальная матрица Якоби F 0 (x, у) . В дальнейшем мы предполагаем, что почти всюду в D выполняется неравенство | F ⁰ (x,y) | > 0 . Для точки (x ₀ ,y ₀ ) Е D обозначим через к(х о ,у о ) наименьшее из замкнутых выпуклых множеств V в M _{m x} ( _n + m ) , каждое из которых обладает следующим свойством: существует такая окрестность A(x ₀ ,y ₀ , r) = = B ⁿ (x ₀ ,r) х B ^m (y ₀ ,r) C D точки (x ₀ ,y ₀ ), что для почти всех (x, у) Е A(x ₀ ,y ₀ ,r)

F 0 ( x,y ) выполняется включение        Е V.

| F ⁰ ( x,y ) |

Множество K(x ₀ ,y ₀ ) является аналогом производной Кларка [2; 5] и некоторым аналогом нормированной матрицы Якоби [1]. Пусть (F y / | F ' |) (x ₀ ,y ₀ ) — проекция множества к(х ₀ ,у ₀ ) С M _{m x} ( _{n +} m ) на M mxm (последние m столбцов матрицы B Е к(х ₀ ,у ₀ ) рассматриваются как квадратная m -матрица).

Теорема 1. Пусть x ₀ Е R n , y ₀ Е R m и a = (x ₀ , y ₀ ) Е R n ^{+ m} . Пусть D — область в R n ^{+ m} , a Е D, и F : D ^ R m — непрерывная функция класса W1 l_oc (D).

Предположим, что ||F ' (x, y) k >  C п.в. в D для некоторой постоянной C >  0 и det A = 0 для всех A Е FF/ / | F '|) (a) . Тогда существует p >  0 и единственная непрерывная функция

G : Bn(x0,p) ^ Rm,G(x0)= У0, такая, что F(x,G(x)) = F(x0,y0) для всех x Е Bn(x0,p).

Доказательство. В доказательстве мы используем теорему о радиусе инъективности для отображений с ограниченным искажением [3; 8].

Пусть Q — область в R n и P : Q ^ R — функция класса L1(Q) . Обозначим через P h среднюю функцию функции P [3; 4]. Здесь h — параметр (радиус) усреднения. Нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть A — отображение, определенное в R ⁿ и принимающее значения в множестве вещественных m x k-матриц. Предположим, что функции a j — элементы матрицы A, — локально суммируемы в R ⁿ . Пусть A h — матричнозначная функция, которая получается сглаживанием функций a j . Тогда | A h (x) | < | A | h (x) и | A h (x) | < < || A k h (x) для всех x Е R n .

По условию det A = 0 для всех A Е (F y / | F ' |) (a) , и в силу результатов Кларка [2; 5] найдутся такие d , 0 < d < 1 , и r >  0 , что выполняются следующие условия:

для каждого и Е Rm, |u| = 1, существует w Е Rm, |w| = 1, для которого неравенство ww, iFi (a) u^ > d, z = (x,y), справедливо почти всюду в окрестности Dr = Bn(x0,r) х х Bm(y0,r) С D. Для некоторой ортогональной матрицы O Е Mmxm выполняется равенство w = O 1u. В силу неравенства

F'

\O u, | F] (z) /

F'

\O u, | F] ⁽z) /

F'

u,O | F] (z) / >  d

имеем

| OF y (z) u - I (z ) u | <  kI (z ),                               (1)

где I (z) = l ⁽ Fd ^{( z )} l , k = V 1 — d ² < 1 .

Используя лемму, получаем

^{1 OF} h,y ^(z ) u ^— I h ^(z ) ^{u |}<  ^kI h ^(z) , где z Е D _r/ ₂ = B n (x ₀ ,r/2) х B ^m (y ₀ ,r/2) и h < r/ 4 . Функция I (z) положительна почти всюду в D r . Следовательно, I h (z) > 0 всюду в D _r/ ₂ .

Неравенство (1) приводит к оценке

| F ,h,y (z) |< (k +1) I h (z).                                       (2)

Более того, как следует из (1), справедливо неравенство (1 — k) I h (z) < | F hy (z) u | , и мы приходим к выводу, что

(1 — k) Ih (z) < | det (F^ (z) )| ^{1 /m} .                            (3)

Неравенство (3) показывает, что для каждого фиксированного x G B n (x ₀ , r/2) отображение F _h (z) локально гомеоморфно на B m (y 0 ,r/2) относительно y G B m (y ₀ ,r/2) .

Рассмотрим случай m >  3 .

Из (2) и (3) делаем вывод, что коэффициент искажения

Q (F h (z))

sup

I FL y (z) I m

— sup ----- 2------- т-

B ^{m (} y o ,r/ ²⁾ det fF hh,_y (z) J

m отображения Fh (z) ограничен сверху величиной I i—k) , которая не зависит от выбора h < r/4 и x G Bn(x0,r/2). Поскольку каждое из отображений Fh (z), h < r/4, x G Bn(x0, r/2), является локально гомеоморфным на Bm(y0, r/2), то по теореме о радиусе инъективности для отображений с ограниченным искажением [3; 8] найдется такая окрестность Bm(y0, r1) (r1 < r/2) точки y0, что каждое из отображений Fh (z), h < r/4, m x G Bn(x0,r/2) гомеоморфно на Bm(y0,ri). Из (3) и неравенства Q (Fh (z)) < (p-k) , переходя к пределу при h, стремящемся к нулю, приходим к выводу, что отображение F (z), z G Dr/2, не постоянно и является квазиконформным гомеоморфизмом на Bm(y0, r1) для каждого фиксированного x G Bn (x0, r/2).

Теперь рассмотрим случай m < 2. Зафиксируем точку x G Bn(x0,r/2). Пусть zi — (x,yi), z2 — (x,y2) G Dr/2 — Bn(xo,r/2) x Bm(yo,r/2) и У1 — У2. Полагаем u — 1---------p zt — z1 + t (z2 — z1) , t G [°, 1] .

| z i — z 2 |

Из (2) получаем

| ^OF h ,y ⁽z t ) ^(z 2 ^— z l ) ^— I h ^(z t ) ^(z 2 ^— z l ) ¹<  kI h ^(z t ) ^{| z} 2 ^{— z} 1 | ,

После интегрирования имеем

O (F h (z2) — F h (z i )) — (z 2

—

z i ) / 0

I h (z t ) dt

< k | z 2

—

z i | / 0

I h (z t ) dt

и

^{(1 —} k) | z 2 ^— z i | • 0 I h (z t ) dt < | F h ^(z 2 ) ^— F h ^(z i ) | .

Из неравенства f ^ I _h (z _t ) dt >  C следует, что

| F h (x,y 2 ) — F h (x, y i ) | >  в | У 2 где в — ^{C (i} _d ^{z k} ) , y 2 ,y i G B m (y₀,r/2), x G B n (x o ,r/2).

—

У 1 | ,

Если | Y — F _h (x,y ₀ ) | < в^ , то для произвольной точки y G dBm(y ₀ , r/2) справедливо                        ⁴

| Y - F h (x, y i ) | > | F h (x,y i ) - F h (x,y o ) | - | Y - F h (x,y o ) | >

> er - er = er. 2    4    4

Следовательно,   _min    |Y - Fh (x, y) |2 достигается в точке y* E Bm(yo,r/2) и y∈∂Bm(y0,r/2)

(| Y - F h (x, y) | ² ) y (y * ) = 2F h,y (x, y * ) (Y - F h (x, y * )) = 0.

Так как det Fh y (x,y*) = 0, получаем Y = Fh (x,y*) и вт№ (x,yo) ,e4) C F (x,Bm(yo,r/2)).

Пользуясь (4) , переходя к пределу при h , стремящемся к нулю, приходим к выводу, что отображение F (z) , z E D r/ 2 , гомеоморфно на B ^m (y _o ,r/2) для каждого фиксированного x E B n (x _o , r/2) .

В каждом из случаев m >  3 и m <  2 для достаточно малого r _o выполняется B ^m (Y),r o ) C F (x,B ^m (yo,ri)) ( Y o = F (xo,yo) для всех x E B n (xo,ro) .

Рассмотрим отображение Ф : D _r 0 ^ R ^{n + m} , определенное соотношением

^(x,y) ^ ^(X,Y ) = ^(x,F (x^)),

(x,y) E D _r 0 = Bⁿ(x _o ,r _o ) x B ^m (y _o ,r _o ) . Из сказанного выше следует, что Ф — гомеоморфизм и ф(D r o ) D в ⁿ (xo,ro) x в ^m (yo ,r o ).

Отображение Ф определено так, что его обратное отображение имеет вид x = X , y = g(X,Y ) . Отсюда следует, что

(X,Y ) = Ф(Ф ^-1 (X,Y)) = (X,F (X,g(X,Y )))                 (5)

и F (X,g(X,Y )) = Y . Полагаем G(x) = g(X,Y ₀ ) . Пользуясь (5), получаем

F(x, G(x)) = Y o = F (x o , y o ) и G(x o ) = g(x o , Y o ) = g(X o , Y o ) = y o .

Единственность отображения следует из биективности Ф .