Теоремы лиувиллева типа для трубчатых A-поверхностей
Автор: Кондрашов А.Н.
Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu
Рубрика: Математика и механика
Статья в выпуске: 1 т.29, 2026 года.
Бесплатный доступ
Данная работа продолжает классические исследования В.М. Миклюкова и его учеников (В.Г. Ткачева, В.А. Клячина, А.Н. Кондрашова), посвященные геометрическим версиям теорем Лиувилля и Фрагмена — Линделефа для целых и полуцелых минимальных трубок в евклидовом пространстве, а также максимальных трубок в пространстве Минковского. В центре внимания аналоги классических утверждений, но уже не для минимальных или максимальных трубок, а для трубок, задаваемых решениями некоторых специальных систем уравнений дивергентного вида. Если говорить более конкретно, то речь идет о функциях f(x) = (f1, . . . , fN ) : D ⊂ R 2 → R N (N ≥ 3) которые задают собственное вложение области D в R N и являются решениями вышеупомянутых систем. С каждым таким решением связывается двумерная поверхность M в R N . Такие поверхности называются A-поверхностями. Оказывается, что по своим свойствам такие поверхности напоминают поверхности нулевой средней кривизны с положительно определенной метрикой в общем псевдоевклидовом пространстве (частным случаем которого является евклидово!). По аналогии с классическими трубчатыми минимальными поверхностями вводится понятие трубчатой A-поверхности (A-трубки) относительно заданного направления. Изучаются их глобальные геометрические характеристики, для A-трубок получены две теоремы. Первая теорема (аналог теоремы Лиувилля) утверждает, что если целая A-трубка целиком лежит по одну сторону от некоторой гиперплоскости, то она обязательно содержится в гиперплоскости, параллельной данной. Вторая теорема (аналог теоремы Фрагмена — Линделефа) касается А-трубок с полубесконечной проекцией и дает оценку роста ширины поверхности. Доказательства этих теорем опираются на емкостную технику, развитую в работах В.М. Миклюкова.
Системы типа нулевой средней кривизны, теоремы типа Лиувилля, A-поверхность, А-трубчатые поверхности, δ-гармонические функции, весовая емкость, принцип Фрагмена — Линделефа
Короткий адрес: https://sciup.org/149151432
IDR: 149151432 | УДК: 517.548+517.956 | DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2026.1.2
Liouville-Type Theorems for Tubular 𝒜-Surfaces
This paper is devoted to establishing analogs of the geometric versions of the Liouville and Phragm´en — Lindel¨of theorems, known from the works of V.M. Miklyukov and his students (V.G. Tkachev, V.A. Klyachin, A.N. Kondrashov), for entire minimal tubes in Euclidean space and maximal ones in Minkowski spacetime. Specifically, we obtain two theorems that serve as such analogs for certain systems of divergencetype differential equations. More precisely, consider solutions f(𝑥) = (𝑓1(𝑥), . . . , 𝑓𝑁(𝑥)) : 𝐷 ⊂ R2 → R𝑁, 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2), 𝑁 ≥ 3 of the above system, which define an proper immersion of 𝐷 in R𝑁. To each such solution we associate a twodimensional surface ℳ in the Euclidean space R𝑁. The properties of some types of such surfaces are the same as those of surfaces of zero mean curvature with a positivedefinite metric, in general, in pseudoEuclidean space. Such surfaces ℳ are called 𝒜surfaces. By analogy with tubular minimal surfaces in Euclidean space, we introduce the concept of tubular 𝒜surfaces (𝒜tubes) with respect to a given direction and study their global geometric properties. The two theorems have been established for 𝒜tubes. The first theorem (a Liouvilletype result) states that if an entire 𝒜tube lies entirely in one of the two closed halfspaces into which a hyperplane divides the space R𝑁, then the tube must in fact be a subset of a hyperplane parallel to the bounding one. The second theorem concerns 𝒜tubes with a semiinfinite projection and provides an estimate for the growth of the surface width. It represents a geometric version of the Phragm´en – Lindel¨of theorem. The proofs are based on capacity methods developed in the aforementioned works of V.M. Miklyukov.
