Теория разрешимости начально-краевых задач и задач ассимиляции данных для основных уравнений океана

• I.    Введение

  Уравнения в частных производных лежат в основе математического описания самых разнообразных природных явлений и процессов. Особое место занимают уравнения геофизической гидродинамики и модели гидротермодипамики океана, как в виду их известной теоретической сложности, так и по причине их большого практического значения. Говоря об истоках и предпосылках математической теории, нельзя не упомянуть работы С.Л. Соболева, по применению методов функционального анализа, к исследованию уравнений в частных производных. Разработанная им теория пространств функций с обобщенными производными [1], вошедших в науку как пространства Соболева, сыграла, исключительную роль в формировании современных математических воззрений. На основе методов функциональных пространств, предложенных С.Л. Соболевым, были получены известные неравенства, и теоремы вложения, позволяющие исследовать существование и регулярность решений дифференциальных уравнений. Он ввел понятие обобщенного решения для уравнений с частными производными [2, 3] и дал первое (1935) строгое определение обобщенных функций, с помощью которых исследовал разрешимость некоторых краевых задач. Одной из основ гидродинамики является система, уравнений Навье-Стокса, которая описывает движение жидкости с учетом вязкости. О.А. Ладыженская [4] исследовала, существование обобщенных решений для двухмерной системы Навье-Стокса. и доказала, ее глобальную однозначную разрешимость. Разработанные ею методи априорних оценок и энергетических неравенств стали неотъемлемой частью

  современных доказательств разрешимости для моделей гидродинамики и во многом определили развитие этой области математики. К числу важнейших теоретических предпосылок следует также отнести метод приближенного построения решений дифференциальных уравнений, впервые высказанный И.Г. Бубновым (1913) п обобщенный Б.Г. Галеркиным (1915) в работе [5]. В настоящее время метод Бубнова-Галеркина является одним из основных приемов доказательства, существования решений начально-краевых задач.

Изучение нестационарных уравнений динамики бароклинного океана, было начато Г.И. Марчуком (1967) в связи с практическими целями построения численных методов моделирования и прогноза, погоды. Им была, поставлена, задача, об океанических циркуляциях п предложен метод построения ее решений, основанный на сведении трехмерной задачи к более простым двумерным задачам об определении коэффициентов разложения искомой функции по специально выбранному базису [6,7]. М.А. Бубнов п А.В. Кажихов [8] доказали сходимость этих разложений п получили теоремы существования п единственности для уравнений бароклинного океана, в линейных постановках. Математическое исследование моделей океанографии было продолжено в работах Ю.Я. Белова. [9-11], М.А. Бубнова. [12, 13], А.В. Кажи-хова. [14], А.А. Кордзадзе [15,16], В.И. Сухопосова [17-19] и др. В 1992 году Ж.-Л. Лионс, Р. Темам и С. Ванг [20] рассмотрели систему основных уравнений океана, и доказали для нее существование глобальных слабых решений.

Тенденцией настоящего времени стал интерес к решению задач ассимиляции данних наблюдений для моделей динамики океана. Эти задачи

*Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/11133).

имеют следующую общепринятую вариационную трактовку. Определяется функционал стоимости, измеряющий расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования, после чего разыскиваются те неизвестные характеристики модели, для которых функционал стоимости принимает минимальное значение. Математическое исследование задач ассимиляции данных в применении к сложным нелинейным моделям океанографии невозможно без предварительной разработки теории разрешимости самих этих моделей. Доказательство существования решений вариационных задач обычно базируется на. использовании методов регуляризации А.Н. Тихонова. [21-23].

Настоящая работа, представляет собой обзор достижений в области построения математической теории начально-краевых задач и задач ассимиляции данных для основных уравнений динамики океана. Обзор результатов, касающихся квазигео-строфических уравнений циркуляции океана, и моделей океанских приливов, можно найти в работе [24]. Для знакомства, с результатами западных исследователей мы можем также порекомендовать читателю монографии [25, 26] и имеющуюся в них библиографию.

Для краткости мы будем далее использовать обозначения du = ux, dL = dx и т.п.

• II.    Уравнения и функциональные пространства

В основе моделей общей циркуляции океана, лежит система, уравнений гидродинамики в приближениях гидростатики и Буссинеска. При записи этих уравнений также используются предположения о том, что Земля имеет форму шара, и ускорение свободного падения g = 9.82 m/с2 постоянно. Приближение гидростатики означает, что вертикальный компонент градиента, давления точно уравновешивается силой тяжести. Приближением Буссинеска, называется предположение о том, что изменения плотности воды в океане малы по сравнению с самой плотностью, поэтому плотность р можно заменить на ее среднее значение ро во всех членах, за исключением силы тяжести и уравнения состояния. Кроме того, используются и другие упрощения: не учитывается изменение расстояния до центра. Земли при изменении вертикальной координаты в пределах толщи океана, поэтому уравнения записываются не в подпой сферической системе координат, а. в «цилиндре над сферой постоянного радиуса»; пренебрегают вкладом, который вертикальная составляющая скорости вносит в силы Кориолиса. К неизвестным переменным модели относятся три компонента скорости u, v, w, давление P, температура. T. соленость S и плотность р. Обозначим за f = f(х,У) параметр Кориолиса и будем счи тать, что вертикальная ось z направлена к центру Земли, тогда, основные уравнения океана, в декартовой системе координат записываются как dtu — fv — Au - dz (Vuz) =--Px,(1)

ρ 0

dtv + fu - Av - dz (VVz) =--Py,1.2)

ρ 0

Pz = pg,(3)

Ux + Vy + Wz = 0,(4)

dtT - AT - dz (VTTz) = 0,(5)

dtS - AS - dz (vsSz) = 0,(G)

p = p ( t,s,p ),m где dt = dt + udx + vdy + wdz. A* = dx(p*dx*) + + dy (p*dy *). Ци = Pv = Ц II Vu = Vv = V коэффициенты горизонтальной и вертикальной вязкости, цт,vt,ps,vs — коэффициенты диффузии температуры и солености. В этой системе уравнения движения (1) и (2) выводятся из закона, сохранения импульса, для жидкости, (3) — это уравнение гидростатики, уравнение (4) называется уравнением неразрывности, оно представляет собой закон сохранения массы воды, уравнения (5), (6) описывают перенос и диффузию тепла, и соли в океане, последнее уравнение (7) — это уравнение состояния, в котором явной формулой задается зависимость плотности воды от температуры, солености и давления.

Заметим, что в литературе основные уравнения океана, называют также примитивными (primitive) уравнениями. Как известно, сложность исследования системы (1) - (7) связана, с ее сильной нелинейностью.

Мы будем обозначать через:

• •    WП ( G ) = H² ( G ). n E N. пространства Соболева. функций, квадратично интегрируемых в G со своими производными до порядка, n включительно;

• •    W-ⁿ ( G ) = H^-n ( G ) сопряженные с W2 ( G ) пространства;

◦

• •    W 1( G ) пространство функций, принадлежащих W 1( G ) и равных пул то на. границе G:

◦

• •    W1 о( G ) = W2 ( G ) С W 1( G )•

• III.    Исторический экскурс

  В 1967 году Г.И. Марчук [6] рассмотрел следующую линеаризованную систему уравнений динамики бароклинного океана:

Ut - fv = - Px , Vt + fu = - - , ρρ

Pz = pg, Ux + Vy + Wz = 0 ,

Tt + wTz = 0 , St + wSz = 0 , p = p ( T, S )

с граничными условиями w = nt на свободной поверхности океана при z = n ( x,y,t) ^и w = 0 на плоском дне океана при z = Н и обычными начальными условиями u = u 0, v = v0, T = T 0, S = = S ⁰ щ hi t = 0.

Поскольку возвышение свободной поверхности мало по сравнению с глубиной океана, то граничное условие па. поверхности можно записать при z = 0, а не при z = n ( x,y,t )• Кроме того, существует очевидная связь между атмосферным давлением P 0, которое предполагалось постоянным на поверхности океана, возвышением свободной поверхности n ^и давлением P внутри океана. Это условие гидростатического равновесия P = P 0 — — pgn при z = 0. Дифференцируя данное уравнение по t и используя граничное условие w = nt при z = 0. он получи.л равенство Pt + gpw = 0 при z = 0.

Предполагалось, что каждая из функций p, P, T, S представляется в виде суммы двух величин: первое слагаемое зависит только от z и обозначается как p, P, T, S, а второе слагаемое в первом приближении «мало» и обозначается штрихами: p'. P'. T'. S' . Кроме того, он обозначил за. Г( z ) = = S_zdp/dS + T_zdp/dT >  0. В конечном счете он пришел к системе:

ut ^— fv = ^— PX/p, vt ⁺ fu = ^— Py/p, P'z = p' g, Ux + Vy + wz = 0 , pt + Г w = 0

с граничными условиями Pt + gpw = 0 пр и z = 0, w = 0 nr >ii z = H.

Далее Г.И. Марчук преобразовал эту систему к уравнению

[( d 2 + f ²) ^p dz Г dz + а] Pt + вРХ = 0

с краевыми условиями ( dz — Г /p ) Pt = 0 пр и z = 0, PZt = 0 щ hi z = H.

On ввел собственные функции ф_т оператора —dz Г dz с граничным и условиями ф_z / Г — ф/p = 0 при z = 0 и ф_z = 0 пр и z = Н. Далее неизвестная функция ищется в виде ряда P' ( x,y,z,t ) = ∞

= ^2 Pn ( x,y,t ) Ф_п ( z ), то есть задача сводится к n =1

решению системы

-np

А —     (д2 + f2) dtPn + edxPn = 0, gt dVt Pn = fdT Pn IIа Гs, где Гs — боковая чгють границы, v и т — единичные векторы нормали и касательной к Гs.

В [7] Г.И. Марчук продолжил исследование этой задачи и рассмотрел ту же систему в цилиндрической области fi = M х [0,1] пространства R3, где M — область с гладкой границей в плоскости (x,y), с граничными и начальными условиями:

Pt + gpw = 0 Щhi z = 0, w = 0 hi hi z = 1, u • n = 0 на Г s, ( 9 )

u = u ⁰ , v = v ⁰ , P' = P ⁰ Hl hi t = 0 .

On предложил раскладывать решения u, v, w, P', p' в ряды по рассмотренному ранее базису и доказал сходимость итерационного численного метода. для вычисления коэффициентов разложения. Сходимость этих рядов и существование и единственность решения системы были изучены в 1970 году М.А. Бубновым и А.В. Кажиховым [8]. Опи доказали следующую теорему.

Теорема 1 ([8]). Пусть Г( z ) Е Cm [0 , 1], т >  1. Определим пространство V>^m (fi) как замыкание по норме Wm (fi) множества функций из C^m (fi), ряды Фурье которых по вышеуказанному специальному базису дифференцируемы почленно до порядка т. Пзтть {u ⁰ ,v ⁰ } Е V₂^{m- 1} (fi) ПWmm (fi). P ⁰ Е V,m (fi). Pz Е Wmm (fi). (l>yiiкцпя f имеет ограниченные производные до порядка т, а граница Г s Е Cm +1. Тогда решение задачи (8) - (9) существует и единственно. Это решение обладает свойствами u,v,P','' Е Wm (fi х [0 ,T ]). wz Е Wmm^- 1(fi х х [0 , T ]) и может быть представлено в виде сходящихся в этих нормах рядов. При т = 4 решение является классическим. □

В 1979 году Ю.Я. Белов [11] рассмотрел стацио-парпый случай для одной из моделей, предложенных Г.И. Марчуком. Используя метод эллиптической регуляризации, он доказал существование и единственность решения. М.А. Бубнов [12] исследовал почти такую же задачу, но с коэффициентом вертикальной вязкости, зависящим от z, то ость с dz ( vdz ) вместо vdz в урависпнях для u ii v. Он использовал граничные условия u_z = v_z = p_z = = 0 ну >ii z = 0 11 u = v = p_z = 0 hi hi z = H ii ставил па боковых границах краевые условия различных типов. Он получил результаты о существовании и единственности решения эволюционной задачи и исследовал поведение решения при стремлении времени к бесконечности. В [11,12] доказано существование решения стационарной модели, сходимость эволюционных решений к стационарному и получены оценки скорости этой сходимости.

Многие из перечисленных результатов, а. также некоторые другие представлены в монографиях М.А. Бубнова. [13], А.В. Кажихова [14] и А.А. Кор-дзадзе [16].

В те же годы было начато исследование нелинейных моделей динамики океана. А.А. Кордзадзе [16] рассмотрел систему, в которой уравнение для плотности p было заменено на два уравнения, для температуры T и для солености S:

Px dtu — lv +--= цДu + dz (vuz),

ρ ₀

dtv + lu + y = ц Д v + dz ( vvz ) , ρ 0

Pz = pg, Ux + Vy + Wz = 0 , p = атT + asS, dtT + y t w = Цт Д T + dz ( v t Tz ) , dtS + Ys w = Ms Д S + dz ( vs Sz )

с граничными условиями:

VUz = —T1 /p0 , VVz = —T2/p0 ЩHI z = 0, w = 0, T = T0*, S = Sq щm z = 0, uz = vz = w = 0 щhi z = H,        (11)

T = TH, S = SH щ HI z = H, u = v = d n T = d n S = 0 на Г _s.

On показал, что верпа, следующая

Теорема 2 ([16]). Если система. (10) -(11) имеет решение в пространстве С 1(0 , t ), причем u, v,T, S Е С ²(0) ПС 1(0) i iP,w Е C ¹ (q). to ото решение единственно.                        □

В 1978 году Ю.Я. Белов [9] рассмотрел стационарную нелинейную задачу. Используя технику эллиптической регуляризации, он доказал существование решения в соответствующих функциональных пространствах.

В.И. Сухопосов [17] исследовал модель (10) с постоянными коэффициентами вертикальной вязкости, с граничными условиями:

uz = vz = w = Tz = Sz = 0 щhi z = 0, u = v = w = T = S = 0 nr>ii z = H, (12)

u = v = dnT = dnS = 0 на Гs и с начальными условиями при t = 0:

u = u 0 ,v = v 0 ,T = T 0 , S = S 0 .      (13)

On доказал, что верпа.

Теорема 3 ([17]). Пусть u ₀ ,v ₀ Е W 1(0) П П L™ (fi), T 0 ,S ₀ Е W 1(0) удовлетворяют граничным условиям (12). Тогда, существует единственное решение задачи (10), (12) - (13) в Q = Q х (0 , T ) для каждого T Е R+ такое, что

• u, v,T,S Е L™ (0 , T ; W 1(0)) П L ²(0 , T ; W 2(П)) ,

ut,vt,Tt,St Е L ²(0 , T ; L 2(0)) ,

^Лу Е L2(0, T; L2(Ги)), где £ — давление на поверхности, определяемое z равенством P(x, y, z,t) = g J pds + £(x, y, t).     □

Фактически он доказал эту теорему для системы (10) без солености, в которой р = а_тT, ио доказательство остается верным и для (10). Этот результат был одним из наиболее выдающихся достижений на. протяжении более чем двадцати лет. В [19] В.И. Сухопосов рассмотрел уравнения динамики океана, па. глобальной сфере и доказал для них теорему существования и единственности.

И наконец, Ж.-Л. Лионс, Р. Темам, С. Ванг [20] изучили основные уравнения океана, в сферической системе координат (коширота, долгота, и вертикальная переменная z ) в области общего вида, учитывающей наличие островов и континентов, с граничными условиями:

uz = т 1 , v_z = т ₂ , w = 0 nr >ii z = 0 ,

Tz = ат ( Ta — T), Sz = 0 щ m z = 0, u = v = w = 0, T = TB, S = SB njhi z = —h, u = v = w = dnT = dnS = 0 на Г s и с постоянным коэффициентом вертикальной диффузии. Опи доказали существование слабого решения на. любом промежутке времени. Точнее, они выделяют для u, v, T некоторые скалярные функции и переходят к системе с однородными краевыми условиями. Как обычно, используя равенство w = 0 на дне и на верхней поверхности, они интегрируют уравнение неразрывности 0

по z и получают соотношение div J u dz = 0. ко--h торое рассматривается как ограничение при определении функциональных пространств.

Опи также ввели модель примитивных уравнений океана, с вертикальной вязкостью, в которой уравнение гидростатики P_z + pg = 0 заменяется на

Ро ( Pz + pg ) — Ц Д w — vwzz = 0 .     (14)

Для этой модели они доказали существование глобального по времени слабого решения.

• IV.    Существование слабых решений и разрешимость задач ассимиляции данных

  В 2007 году В.И. Агошков и В.М. Ипатова. [27, 28] исследовали систему основных уравнений океана, с условием свободной поверхности на. границе соприкосновения океана, и атмосферы и доказали для нее существование глобальных по времени слабых решений, удовлетворяющих дополнительному энергетическому неравенству. Уравнения гидротермодииамики океана, рассматриваются в сферической системе координат ( x,y,r ), г де x Е Е [0 , 2 п ) — до.тгота. у Е [ —п/ 2; п/ 2] — Ш11рота. r — радиальное расстояние. Через Q ' обозначается область в плоскости переменных ( x,y ) с кусочногладкой границей Г 0, R — радиус Земли, O_xy —

образ точки ( x,y ) при отображе iiiiii на. сферу SR радиуса. R. fi = {Oxy ( x,y ) Е fi '} — открытое подмногообразие, получаемое в результате отображения fi 0 на. сферу радиуса. R . Г = {Oxy . ( x,y ) Е Е Г 0} — граница fi. Предполагается, что замыкание fi не содержит полюсов. то есть на. fi 0 верно неравенство cos y >  cos у 0 >  0. Вертикальная координата. z = R — r направлена, вниз. H ( x,y ) — строго положительная непрерывно дифференцируемая функция, описывающая рельеф дна, G = = {Oxy х (0 , H ( x,y )). ( x,y ) Е fi 0} — трехмерная область, определяемая условием 0 < z < H ( x,y ) в каждой точке O_xy Е fi. У = {O_xy х ^{[0 ,H ( Х,}У )]• ( x, у ) Е Г 0} — боковая граница. G. t Е [0 , t 1]. где 0 < t 1 <  + х Gt 1 = G х (0 ,t i). D = fi х (0 ,t i).

Вводятся дифференциальные операторы Аф = = —Цф А — VфдZ². где под ф понимаются u. v. T ii S, Au = Av = A, Цф, Vф — положительные постоянные.

Сила. Кориолиса, описывается оператором 0    —f

B(u) = fc    0 • ГД° fc = (2ш + RCOSy)sin У ш — угловая скорость вращения Земли.

В области Gt 1 рассматривается система уравнений:

dtu +(A + B (u ))u + VP/p о = f,(15)

div u + wz = 0, Pz = pg,(16)

dtT + AtT = /t, dtS + AsS = fs,(17)

P = P о ⁽1 ^{+ в}т ^{( T} - ^T о) ^{+ e}s ⁽ S - S о)) , (18) где u = ( u,v ) — вектор «горизонтальной» скорости, f, /т, /s — заданные функции источников, T0, S 0 — осредненные значения температуры и солености, g, 0т, es — постоянные коэффициенты.

На верхней границе при z = 0 ставятся условия P = Patm + gpоф w = -it + Qw. Г,ле Patm — заданное давление на поверхности, i = i(x,y,t) — возвышение уровня поверхности океана, относительно невозмущенного состояния z = 0, направленное противоположно оси z, Qw — заданный поток влаги с поверхности. На дне при z = = H(x,y) ставится услов!к? непротекания w = = uHx/(R cos у) + vHy/R. Из граничных условий по вертикали и уравнения неразрывности вы-H водится равенство w = w(u) = div J u dz'. Кроме z того, уравнение гидростатики записывается в виде P = Patm + gp0ф + g R pdz0. ТОгда VP = VPatm + 0 z

+ gpоVi + gpo(I — Io), г,ле I = J(втVT + esVS) dz. Io = R(втVTо + esVSо) dz'. B.II. Агошков ii B.M. Ипатова обозначают f = f — ^ VPatm + g Io и преобразуют исходную систему (15) - (18) к виду dtu +(A + B (u ))u + gVi + gI = f,(19)

H it + div

u dz = Qw ,

dtT + AtT = /t , dtS + As S = /s.(21)

К системе (19) - (21) присоединяются начальные и граничные условия: при t = 0:

u = u0, i = iо, T = Tо, S = Sо;(22)

иа верхней границе при z = 0:

vuz = — — + w (u) u ,(23)

p о2

vtTz = yt(T — Ts)+ w(u) T+ Qt,(24)

vsSz = Ys(S — Ss)+ w(u) S-+ Qs;(25)

на дно при z = H ( x,y ):

Dфф • nh = 0;(20)

на боковой границе У:

u • n _s = d n_E u х n _s =

= VT • nB = VS • nB = 0,(27)

где т, Ts, Ss, Q_T, Qs — заданные значения напряжения трения ветра, температуры, солености, потоков тепла и соли на поверхности воды, yt, Ys — положитслы!ые постоянные, n н- n s — векторы нормали к соответствующим поверхностям, D фф = ( ЦфVф,vфф_z ), ф означает функции u, v, T, S.

Через ( •, • )_о, || • | |_о обозначается скалярное произведение и норма в L ₂(fi) и через ( •, • ) и || •! — скалярное произведение и норма в L ₂( G ). Вводятся пространства. H § ( G ) вектор-(функций u Е Hk ( G ) х х Hk ( G ) таких, что u • n _s = 0 на У, а также пространства.

F = {T Е L ₂(0 ,t 1; H ¹ ( G )) ,

Tt Е L 4 / з(0 ,t 1; H^{- 2}( G )) },

U = {u Е L 2 (0 ,t 1; H^CG)), ut Е L4/3(0,t 1; Ho-2(G))},

E = {i Е L 2( D ) , it Е L 2( D ) },

W = (U х E х F х F) П nL^(0,t 1; (L2(G))2 х L2(fi) х (L2(G))2)

и обозначения [ ф, ф 1 ] = Цф ( Vф, Vф 1) + vф ( фz ,ф 1 ₂ ). [ ф ]² = [ ф,ф ], | У | ² = |u| ² + |v| ² + glil о + IT| ² + + |S| ². ■     = [ u ]² + [ v ]² + [ T ]² + [ S ]². г,ле S =

= ^{{ u,v,i,T,S}}-

Рассматривается неравенство tt

2 | S( t ) | ² + J¹ [s]² dt + J¹ ( y t IT| о + Ys|S| о) |z =о dt' 6 0            0

6 2 | | 2⁰ | |² + У (( u , f ) + ( T, fT ) + ( S, fs ) - 0

-g ( I , u ) + g ( Qw,f )o + У ( т • u /p o+

Ω

+ y t TsT + Ys SsS — Qs S — Q t T ) lz =0 d n) dt, (28)

в котором 2⁰ = {u 0. v 0. f0. T 0. S ⁰ } . Заметим, что неравенство (28) выполняется для гладких решений задачи (19) - (27), причем имеет место строгое равенство.

Вводится определение обобщенного решения.

Определение 1. Обобщённым решением задачи (19) - (27) называется слабое решение 2 е W, удовлетворяющее (28).

В.И. Агошков и В.М. Ипатова, получили следующую теорему существования решения на. произвольном интервале времени.

Теорема 4 ([27, 28]). При всех u ⁰ е е ( L 2( G ))². T ⁰ е L 2( G ). S ⁰ е L 2( G ). f ⁰ е L 2(П). f е L 2(0 ,t 1; H - 1( G )). fT,fs е L 2(0 ,t 1; H^- 1( G )). Qw. Ts. Qt- Sg. Qs. припал,лежащих L ₂( D ). 11 т е е ( L ₂( D ))² задача (19) - (27) имеет хотя бы одно обобщенное решение 2 е W. □

В [27, 28] исследуется задача, ассимиляции данных для модели (19) - (27). Предполагается, что в области П1 С П при почти всех t е [ 1 0 ,11 с [0 ,1 1] известны наблюдения за. возвышением уровня свободной поверхности океана f = fobs ( x,y,t ). Кроме того, в области П₂ С П при почти всех t е [ 1 0 ,1 2] с С [0 , 1 1] имеются данные наблюдений за поверхностной температурой T|z =₀ = T_obs ( x,y,t ). Через X 1 ^и X2 обозначаются характеристические функции множеств D 1 = П1 х [ 1 0 ,1 1] и D2 = П₂ х [ 1 0 ,1 2] соответственно. Для определенности fobs продолжается нулем на множество D \ D 1 и Tobs продолжается нулем на множество D \ D2. Считается, что данные наблюдений fobs, Tobs должны быть использованы для отыскания потока влаги Qw и потока тепла Qt, входящих в уравнение (20) и граничное условие (24), в то время как все другие входные параметры модели зафиксированы и соответствуют предположениям теоремы 4.

Функционал стоимости минимизируется на. сложном множестве, которое строится следующим образом. Через q = {Q_W,Q_T} обозначается совокупность величин, подлежащих определению, и через U ( q ) С W множество всех обоби^енних решений задачи (19) - (27), отвечающих данному значению q е ( L ₂( D ))². Прелполагается. что q разыскивается в пространстве Q = E х L ₂( D ), г де E — некоторое банахово пространство, непрерывно вложенное в L ₂( D ). В простраистве Q х W рассматривается множество M всех пар {q, 2 } таких, что q е Q, 2 е U ( q ). Нa M определяется функционал стоимости

J ⁽ q, ²) = ^a 1 ^{h Q}w ^{— Q}W ^[ E ^{+ a} 2 ^{h Q}T ^{— Q}T I I D ⁺

+m 1 |x 1f — f obs [ D + m2 |x2Tlz=0 — Tobs hD , где a 1, a2, m 1, m2 — неотрицательные коэффициенты, QW е E, QT е L2(D) — априорно известные приближенные значения Qw, QT, | • |e — норма пространства E, [•[D — норма пространства L 2( D).

Исследуется задача, ассимиляции данных: найти элемент {q, 2 } е M. для которого

J ( q, 2) = inf I J ( q⁰, 2 0 ) , {q, 2 0} е M^.      (29)

Получены достаточные условия ее разрешимости.

Теорема 5 ([27, 28]). Пусть E = = L 2(0 ,1 1; W ₂1(П)) и.ли E = Lp (0 ,1 1; W ₂1(П)) П П L ₂( D ). где 1 < p <  2. Тогда, при всех a 1 >  0. a 2 >  0. fobs е L 2( D ). Tobs е L 2( D ) задача (29) имеет решение. □

В 2008 году В.М. Ипатова. [29, 30] обобщила, результат теоремы 4 на. случай, когда, плотность воды p ( T, S ) является положительной непрерывной по Липшицу функцией. В [30] предполагается, что на измеримом множестве Dobs С D известны данные наблюдений за. возвышением уровня свободной поверхности океана f = fobs ( x,y,t ) и за поверхностной температурой Tlz =₀ = T_obs ( x,y,t ) и на измеримом множестве Gobs С Gt 1 имеются данные наблюдений за. скоростью, температурой и соленостью воды, которые задаются функциями u ^obs ( x, y,z,t ). w^obs ( x,y,z,t ). T^obs ( x,y,z,t ) 11 S^obs ( x,y,z,t ). Ставятся задачи ассимиляции данных об отыскании вектора q = {Qw ,Q t ,Qs,т} и начального состояния 20 = {u ⁰ ,v ⁰ , f ⁰ , T ⁰ , S ⁰ } и доказывается разрешимость этих обратных задач при подходящих способах регуляризации. В [31] ставится задача, об одновременном восстановлении начального состояния и коэффициентов yt, Ys, входящих в граничные условия (24), (25), получена. теорема, о ее разрешимости для примитивных уравнений океана, с непрерывной по Липшицу плотностью воды. Кроме того, В.М. Ипатова. рассмотрела, в работе [32] модель с вертикальной вязкостью, в которой уравнение гидростатики (17) заменяется на. соотношение вида. (14), а плотность p ( T, S ) задается как многочлен второй степени от температуры и солености. Она доказала. для этого случая теоремы существования, аналогичные теоремам 4 и 5, в подходящих функциональных пространствах. Задачи ассимиляции данных для основных уравнений океана, в различных полудискретных постановках исследованы в работах [33-35].

• V.    Существование и единственность сильных решений

Г.М. Кобельков в [36,37] и С. Сейо, Е.С. Тайти в [38] доказали существование и единственность гло- бального сильного решения для упрощенной системы основных уравнений океана, в которую не входит уравнение для солености. В этих работах предполагается, что океан имеет плоское дно и плотность воды p = aT T. В об ласти П = П 0 х [0,1]. где П0 — область в плоскости переменных (x,y) с кусочно-гладкой границей дП0, Г.М. Кобельков рассмотрел систему:

dtu + lv + Px — v Д u — vuzz = 0, dtv — lu + Py — v Д v — vvzz = 0, dtp — v 1Д p — v i pzz = 0, div u + wz = 0, Pz = — gp

с граничными и начальными условиями:

uz = vz = w = pz = 0 щhi z = 0 11 z = 1,(32)

u • n = дnu х n = дnp = 0 iiа дП' х [0, 1],(33)

u = u0, v = v0, p = p0 щhi t = 0,(.34)

где l = const, u = ( u,v ), n — вектор нормали к боковой границе. Обозначив

Q t = П х [0 , T ]. R = {p,pz G W 1( Q t ) },

V = {u, v,uz ,vz G W ¹

( Q t ) ,/

div u dz = 0

ii верно (32) - (.3.3) },

Определение 2. Обобщенным решением задачи (30) - (34) назовем ее слабое решение u G V, p gR.

Он доказал, что верпа, следующая теорема.

Теорема 6 ([36,37]). Пусть u 0, v 0, p 0 принадлежат W 2(П) и удовлетворяют граничным усло-1

виям (32), a J div u₀ dz = 0. Тогда для любых 0

v,v 1 > 0 ii произволыюго T > 0 задача. (31) - (.3.3) имеет в Qt единственное обобщенное решение, такое, что u2, (u2) z , ux, uу , (u2) xz , (u2 ) yz , ut, uxt, uyt G L2( Qt ) , ρ , ρx , ρy , ρxz , pyz , pxt, pyt G L 2( QT )

ii нормы u _x. u y в прострапстве L₂ (П) непрерывно зависят от t.                                    □

С. Сейо и Е.С. Тайти [38] рассмотрели уравнения крупномасштабной динамики океана, в области П = П 0 х ( —h, 0). где г;эашша д П 0 предполагается гладкой и h = const >  0. Они получили результат, сходный с теоремой 6.

В [39] Г.М. Кобельков и В.Б. Залесный исследовали систему основных уравнений океана, со стратификацией, которая отличается от (31) тем, что в уравнении для p вместо v 1 pzz рассматривается член дz(v 1 pz), а коэффициент вертикальной вязкости v 1 = v 1 (pz) задается непрерывной положительной функцией, которая не возрастает при pz 6 6 0 ii равняется iеоистаите при pz > 0. Опп доказали для этого случая теорему, аналогичную теореме 6.

А.В. Друца. в [40] попытался снять предположение о плоском дне океана. Он рассмотрел систему (31) в области П = П 0 х (0 , H ( x,y )). где глубина океана H ( x,y ) дважды непрерывно дифференцируема. и положительна. Выравнивание дна. производится при помощи перехода, к переменной s = z/H ( x,y ). Область изменения пространственных переменных становится цилиндром П = П 0 х х (0 , 1). В преобразованной системе уравнений содержатся смешанные производные и производные первого порядка по s , однако А.В. Друца считает эти члены малыми и опускает их при окончательной записи уравнений модели:

Hdt u —

А vH Дu + Hl

_— v_u

+ HVP — sP_sVH = 0 ,

P_s = —Hgp, div( H u ) + w'_s = 0 , Hdtp — v 1 H Д p = 0 , где Д = дхх + дуу + д₈ ( Ад₃ ). A = H ²(1 + s ²( H ²) _x + + s 2( H 2) у )■

Для последней системы в [40] ставятся краевые условия:

u • u = дnu х u = дnp = 0 iiа дП0 х [0, 1], w = 0, u s = 0, ps = 0 njhi s = 0 iis = 1

и доказывается теорема, существования и единственности, аналогичная теореме 6.

И. Кукавица и М. Зиан в [41] также доказали корректную разрешимость примитивных уравнений в области с неровным дном, по они ставят па. дне океана, менее физичпое и более простое для исследования условие прилипания: u = v = w = 0.

• VI.    Заключение

Вопросы существования и единственности решений иачальио-краевых задач для трехмерных нелинейных моделей динамики океана, и математического обоснования процедуры ассимиляции данных в этих моделях представляют значительный фундаментальный и прикладной интерес. За. последние годы достигнут существенный прогресс в исследовании рассмотренных проблем, однако многие принципиальные моменты до сих пор остаются не изученными. Усилия многих математиков во всем мире направлены на. исследование этих задач, поэтому в будущем можно ожидать появления новых важных результатов.