Трехмерная контактная задача о взаимодействии упругого слоя с двумя штампами при учете трения
Автор: Пожарский Дмитрий Александрович, Молчанов Александр Алексеевич
Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 6 (57) т.11, 2011 года.
Бесплатный доступ
Изучены пространственные контактные задачи для упругого слоя конечной толщины, в одну грань которого симметрично вдавливаются два одинаковых жестких эллиптических штампа с учетом трения при разных типах граничных условий на другой грани. Задачи сведены к интегральным уравнениям относительно контактного давления, которые решены методом Галанова.
Теория упругости, контактная задача, слой, трение, метод галанова
Короткий адрес: https://sciup.org/14249618
IDR: 14249618
Текст научной статьи Трехмерная контактная задача о взаимодействии упругого слоя с двумя штампами при учете трения
Введение. Исследованы трехмерные контактные задачи теории упругости при учете трения о взаимодействии слоя с двумя симметричными штампами, расположенными на одной его грани. Другая грань слоя находится в условиях жесткой или скользящей заделки. Штампы имеют форму эллиптических параболоидов, начинают удаляться друг от друга или сближаться. Области контакта неизвестны. Ранее аналогичные задачи с трением рассматривались для случая одного штампа на слое [1 – 4] и на полосе [5]. В работе [6] рассматривается пространственная задача о контакте с упругим слоем системы двух симметричных эллиптических штампов с плоской подошвой (асимптотический метод решения).
Постановка задачи. В декартовых координатах рассмотрим слой {x, у е(-да, да), z е[0, h]} тол щиной h, нижняя грань которого z = 0 находится в жесткой или скользящей заделке (задачи А и Б соответственно). Упругий материал слоя имеет коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G. Верхняя грань слоя z = h взаимодействует с двумя одинаковыми штампами. Формы основания штампов имеют вид эллиптических параболоидов и описываются функциями g±(x,y) = (x±c)2/(2R1)+y2/(2R2), R2 > R (1)
Между поверхностью слоя и штампов действуют силы кулоновского трения с коэффициентом трения ц . Штампы начинают достаточно медленно двигаться вдоль оси x так, что задачи симметричны относительно оси у. Силы трения направлены против движения. При ц > 0 штампы удаляются друг от друга, а при ц < 0 — начинают сближаться. К штампам приложены симметричные касательные силы T, нормальные силы P. Пусть осадка штампов равна 5 , а перекос отсутствует. Симметричные по у области контакта О ± неизвестны (область о . при x < 0).
При известных величинах G , v , ц , h , c , R 1 , R 2 и 5 и заданной функции frz) требуется определить контактные давления □ z ( x , y , h ) = -q(x,у ), ( x , y ) eQ = 0 . ^0 , а также сами области контакта О ± . Затем можно найти, например, величину P из условия равновесия штампа
P = JJ q ( x, у ) dxdy • (2) о .
Из аналогичных интегральных условий можно найти величину T , а также плечи приложения сил P и T .
Решение задачи. Предположим, что области контакта априори содержатся в прямоугольниках S ± = { X ± c | < a, у | < b }, b > a, c > a .
Для вывода интегральных уравнений (ИУ) контактных задач А, Б используется интегральное преобразование Фурье и закон Кулона. В результате придем к ИУ на двух участках контакта, которое после введения безразмерных обозначений
xyhc x = —, У = —, ^ = —, c = —, bbbb
a s '5 b b e0 = , 5' = -a A =, B =, 0 b b 2 R1 2 R 2
*
Работа поддержана грантом РФФИ 09-01-00004.
q '( x ', y ') = qx ,^ , P ' = 'V , 0 = —, Q ' oQ , Q; oQ , S 1 о S+
2 -0 2 -0 b 2 1 - v ± ± ± ±
можно записать в виде (штрихи далее опускаем):
JJ q U- n )
Q
+ e
R -
x -! R 2
1 T( x -! У -n ) + ,
X ( X X J
d ! d П = f ( x , У ), ( x , У ) e Q ,
f ( x , y ) = 8- A ( x ± c )2 - By 2, ( x , y ) eQ ± ,
R ± = [( x ± У2 + ( y - n )2]1/2, e = ц (1 - 2 v ) /(2 - 2 v ),
Ю e t
T ( t , t ) = J [ L1 ( u ) - 1] J 0 ( u^t 2 + t 2 ) du +—==== J [ L 2 ( u ) - 1] J 1 ( u^t 2 + t 2 ) du . 0 \t + T 0
Здесь J n ( u ) — функции Бесселя. В ядре ИУ (4) выделена главная часть.
Для задачи А (жесткая заделка)
T _ 2k sh2u - 4u„ .
L 1 ( u ) =------------------------, k = 3 - 4 v ,
2 k ch2 u + 4 u 2 + 1 + k 2
T . 2k ch2 u - 4(1 - 2 v ) - 1 u 2 - 2 k
L 2( u) =----------------------.------;,
2 k ch2 u + 4 u 2 + 1 + k 2
а для задачи Б (скользящая заделка)
T . ch2 u - 1 _ , . sh2 u - 2(1 - 2 v ) - 1 u
•
L1( u) =---------, L 2( u) =--------------— sh2u +2u sh2u +2u
Введенный в (3) безразмерный параметр X характеризует относительную толщину упругого слоя с учетом симметрии задач q(-x,y) = q(x,y). Тогда уравнение (5) сводится к ИУ на одном участке контакта
JJ q ( ^ n )
Q -
1 1 x -^
--1---+ e——
R - R + R _ 2
+e
x + ^
^f+
1rf x -^ y -n ) , +
X ( X X J
1 T\ x + ^ y -n + ,
X ( X X
После замен:
d ! d n = 8- A ( x - c )2 - By 2, ( x , y ) eQ - .
x , = x - с , ^ . =^- c , q . ( x , , y ) = q ( x , y ), Q o.Q , S , ^ S -
ИУ (12) можно переписать в форме (звездочки далее опускаем):
JJ q ( ^ , n ) K ( ^ , n , x , y ) = g ( x , y ), ( x , y ) e Q , Q
K K, n , x , y ) = + V + e
R - R 1
+1 T f x z!, Г-лХ 1 T
X I X X J X
x - ! x + ! + 2 с
—+ e----+
R - 2 R 1 2
.f x + ! + 2 с y -n)
X ’ X
,
g ( x , y ) = 8 - Ax 2 - By 2, R 1 = [( x + ^ + 2 c )2 + ( y - n )2 ]1/2.
При численном решении уравнения (14) применим метод нелинейных граничных ИУ типа Гаммерштейна, предложенный Галановым [7, 8]. Уравнение (14) дополним условиями неотрицательности контактного давления в области контакта, отсутствия контакта и обращения в нуль давления в дополнительной области 5 \ Q , записав их все в виде системы
J K ( N , M ) q ( N ) dN = g ( M ), q ( M ) > 0, M gQ ,
J K ( N , M ) q ( N ) dN > g ( M ), q ( M ) = 0, M g S \ Q ,
S , где введены обозначения M = (x,y), N = (£,n).
Идея метода состоит в представлении искомого давления в форме q = q (M) = q + (M) + q - (M), где введены нелинейные операторы q+ (M) = sup{ q+ (M ),0}, q - (M) = inf{ q - (M ),0}.
При учете (17) интегральное неравенство (16) будет удовлетворено в результате решения нелинейного операторного уравнения типа Гаммерштейна:
0 p = 0 ( M g Q ), 0 p = p - + K , p + - g , (20)
где p , = p , ( M ), p ± = p ± ( M ), g = g ( M ),
K , p + = J K ( N , M ) p + ( N ) dN .
S
Можно доказать, что система (17) эквивалентна уравнению (20) [7]. Исследованы вопросы существования и единственности решения уравнения типа (20) [7]. Для численного решения уравнения (20) применим метод М. А. Красносельского, основанный на последовательных приближениях [7].
Прямоугольник S покроем сеткой из m узлов с учетом отсутствия симметрии по координате x. Ясно, что c > e o , £ o ^ 1. Для проверки точности расчета ядра (15) можно использовать интеграл [9]
г Dn
[ exp( - Cu ) Jn ( Du ) du = , =------. —, n = 0;1.
J0 V C 2 + D 2[ C + V C 2 + D 2] ]
Исследуя поведение выражений L n ( u ) - 1 (n = 0;1) при u ^ ■/ для функций (9) - (11), положим в (22) C = 2. При выполнении условия
X > ^ 4 ( 1 + c ) 2 + 1 1 ( 4 V5 ) (23)
для расчета ядра (15) можно использовать квадратурную формулу Гаусса по 32 узлам.
Численные эксперименты. В табл. 1, 2 для задач А и Б соответственно даны значения контактного давления q ( x ,0) и вдавливающей штамп силы P . Расчеты, результаты которых приведены в таблицах, сделаны при v = 0,3, 5 = 0,004, A 0 = 0,1, 6 0 = 0,005, e 0 = c = 0,15 и разных значениях X и ц .
Таблица 1
Значения давления и вдавливающей силы P в задаче А
X |
ц |
9 ( x ,0) х 103 |
f X 103 |
||||
x =- 0,075 |
- 0,0375 |
0 |
0,0375 |
0,075 |
|||
1 |
0 |
1,77 |
3,00 |
3,39 |
3,32 |
2,81 |
0,640 |
1 |
0,2 |
1,92 |
3,06 |
3,38 |
3,25 |
2,66 |
0,628 |
1 |
- 0,2 |
1,64 |
2,94 |
3,39 |
3,39 |
2,95 |
0,651 |
0,5 |
0 |
3,12 |
3,96 |
4,32 |
4,25 |
3,77 |
0,954 |
0,5 |
0,2 |
3,23 |
4,00 |
4,31 |
4,18 |
3,64 |
0,941 |
0,5 |
- 0,2 |
3,00 |
3,91 |
4,32 |
4,31 |
3,88 |
0,966 |
0,3 |
0 |
4,63 |
5,42 |
5,70 |
5,55 |
4,99 |
1,42 |
0,3 |
0,2 |
4,74 |
5,48 |
5,71 |
5,52 |
4,91 |
1,41 |
0,3 |
- 0,2 |
4,51 |
5,35 |
5,67 |
5,58 |
5,07 |
1,42 |
Для задачи Б значения давления и силы меньше, чем для задачи А, как и должно быть. В обеих задачах контактное давление меньше на той стороне области контакта, которая ближе к участку, расположенному между штампами.
Таблица 2
Значения давления и вдавливающей силы P в задаче Б
X |
и |
О ( х ,0) х 10 3 |
£ Х 103 |
||||
х 0,0/5 |
- 0,03/5 |
0 |
0,0375 |
0,075 |
|||
1 |
0 |
1,60 |
2,89 |
3,28 |
3,20 |
2,68 |
0,595 |
1 |
0,2 |
1,74 |
2,95 |
3,27 |
3,13 |
2,53 |
0,585 |
1 |
- 0,2 |
1,46 |
2,82 |
3,27 |
3,27 |
2,82 |
0,605 |
0,5 |
0 |
2,79 |
3,65 |
4,02 |
3,95 |
3,46 |
0,851 |
0,5 |
0,2 |
2,92 |
3,70 |
4,01 |
3,89 |
3,34 |
0,842 |
0,5 |
- 0,2 |
2,66 |
3,59 |
4,01 |
4,00 |
3,57 |
0,858 |
0,3 |
0 |
4,00 |
4,81 |
5,13 |
5,02 |
4,50 |
1,22 |
0,3 |
0,2 |
4,13 |
4,89 |
5,17 |
5,02 |
4,46 |
1,23 |
0,3 |
- 0,2 |
3,88 |
4,73 |
5,07 |
5,01 |
4,53 |
1,21 |
Заключение. Решены новые пространственные контактные задачи с неизвестной областью контакта для упругого слоя о взаимодействии двух одинаковых эллиптических в плане штампов с учетом трения при различных граничных условиях на другой грани. При использовании метода нелинейных граничных интегральных уравнений с учетом симметрии задач определены области контакта, давления в этих областях, связи между силами и осадками штампов. Сделаны расчеты при разных значениях относительной толщины слоя и коэффициента трения.
Список литературы Трехмерная контактная задача о взаимодействии упругого слоя с двумя штампами при учете трения
- Чебаков М.И. Пространственная контактная задача для слоя с учетом трения в неизвестной области контакта/М.И. Чебаков//Доклады РАН. -2002. -Т. 383. -№ 1. -С. 67-70.
- Чебаков М.И. Трехмерная контактная задача для слоя с учетом трения в неизвестной области контакта/М.И. Чебаков//Известия РАН. Механика твердого тела. -2002. -№ 6. -С. 59-68.
- Чебаков М.И. Пространственные контактные задачи для слоя с учетом сил трения в зоне контакта/М.И. Чебаков, Х. Лоренц//Современные проблемы механики сплошной среды: тр. 6-й междунар. науч. конф. 19-23 октября 2000 г. -Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2000. -С. 232-235.
- Чебаков М.И. Учет сил трения в пространственной контактной задаче для закрепленного слоя/М.И. Чебаков//Современные проблемы механики сплошной среды: тр. 7-й междунар. науч. конф. памяти акад. РАН И.И. Воровича, 22-25 октября 2001 г. -Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. -С. 205-209.
- Александров В.М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости/В.М. Александров, М.И. Чебаков. -М.: Физматлит, 2004. -301 с.
- Соболь Б.В. Пространственная задача о контакте системы штампов с упругим слоем/Б.В. Соболь, И.М. Пешхоев//Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2011. -№ 1. -С. 69-76.
- Галанов Б.А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта/Б.А. Галанов//Прикладная математика и механика. -1985. -Т. 49. -Вып. 5. -С. 827-835.
- Александров В.М. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел/В.М. Александров, Д.А. Пожарский. -М.: Факториал, 1998. -288 с.
- Прудников А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции/А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. -М.: Наука, 1983. -752 с.