Трехмерная контактная задача о взаимодействии упругого слоя с двумя штампами при учете трения

Автор: Пожарский Дмитрий Александрович, Молчанов Александр Алексеевич

Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu

Рубрика: Физико-математические науки

Статья в выпуске: 6 (57) т.11, 2011 года.

Бесплатный доступ

Изучены пространственные контактные задачи для упругого слоя конечной толщины, в одну грань которого симметрично вдавливаются два одинаковых жестких эллиптических штампа с учетом трения при разных типах граничных условий на другой грани. Задачи сведены к интегральным уравнениям относительно контактного давления, которые решены методом Галанова.

Теория упругости, контактная задача, слой, трение, метод галанова

Короткий адрес: https://sciup.org/14249618

IDR: 14249618

Текст научной статьи Трехмерная контактная задача о взаимодействии упругого слоя с двумя штампами при учете трения

Введение. Исследованы трехмерные контактные задачи теории упругости при учете трения о взаимодействии слоя с двумя симметричными штампами, расположенными на одной его грани. Другая грань слоя находится в условиях жесткой или скользящей заделки. Штампы имеют форму эллиптических параболоидов, начинают удаляться друг от друга или сближаться. Области контакта неизвестны. Ранее аналогичные задачи с трением рассматривались для случая одного штампа на слое [1 – 4] и на полосе [5]. В работе [6] рассматривается пространственная задача о контакте с упругим слоем системы двух симметричных эллиптических штампов с плоской подошвой (асимптотический метод решения).

Постановка задачи. В декартовых координатах рассмотрим слой {x, у е(-да, да), z е[0, h]} тол щиной h, нижняя грань которого z = 0 находится в жесткой или скользящей заделке (задачи А и Б соответственно). Упругий материал слоя имеет коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G. Верхняя грань слоя z = h взаимодействует с двумя одинаковыми штампами. Формы основания штампов имеют вид эллиптических параболоидов и описываются функциями g±(x,y) = (x±c)2/(2R1)+y2/(2R2), R2 > R (1)

Между поверхностью слоя и штампов действуют силы кулоновского трения с коэффициентом трения ц . Штампы начинают достаточно медленно двигаться вдоль оси x так, что задачи симметричны относительно оси у. Силы трения направлены против движения. При ц > 0 штампы удаляются друг от друга, а при ц < 0 — начинают сближаться. К штампам приложены симметричные касательные силы T, нормальные силы P. Пусть осадка штампов равна 5 , а перекос отсутствует. Симметричные по у области контакта О ± неизвестны (область о . при x < 0).

При известных величинах G , v , ц , h , c , R 1 , R 2 и 5 и заданной функции frz) требуется определить контактные давления z ( x , y , h ) = -q(x,у ), ( x , y ) eQ = 0 . ^0 , а также сами области контакта О ± . Затем можно найти, например, величину P из условия равновесия штампа

P = JJ q ( x, у ) dxdy (2) о .

Из аналогичных интегральных условий можно найти величину T , а также плечи приложения сил P и T .

Решение задачи. Предположим, что области контакта априори содержатся в прямоугольниках S ± = { X ± c | <  a, у | <  b }, b a, c a .

Для вывода интегральных уравнений (ИУ) контактных задач А, Б используется интегральное преобразование Фурье и закон Кулона. В результате придем к ИУ на двух участках контакта, которое после введения безразмерных обозначений

xyhc x = —, У = —, ^ = —, c = —, bbbb

a s '5 b          b e0 = , 5' = -a A =, B =, 0 b b 2 R1       2 R 2

*

Работа поддержана грантом РФФИ 09-01-00004.

q '( x ', y ') = qx ,^ , P ' = 'V , 0 = —, Q ' oQ , Q; oQ , S 1 о S+

2 -0          2 -0 b 2       1 - v               ±      ± ±     ±

можно записать в виде (штрихи далее опускаем):

JJ q U- n )

Q

+ e

R -

x -! R 2

1 T( x -! У -n ) +                                                      ,

X ( X X J

d ! d П = f ( x , У ), ( x , У ) e Q ,

f ( x , y ) = 8- A ( x ± c )2 - By 2, ( x , y ) eQ ± ,

R ± = [( x ± У2 + ( y - n )2]1/2, e = ц (1 - 2 v ) /(2 - 2 v ),

Ю                                        e t

T ( t , t ) = J [ L1 ( u ) - 1] J 0 ( u^t 2 + t 2 ) du +—==== J [ L 2 ( u ) - 1] J 1 ( u^t 2 + t 2 ) du . 0                              \t + T 0

Здесь J n ( u ) — функции Бесселя. В ядре ИУ (4) выделена главная часть.

Для задачи А (жесткая заделка)

T _        2k sh2u - 4u„ .

L 1 ( u ) =------------------------, k = 3 - 4 v ,

2 k ch2 u + 4 u 2 + 1 + k 2

T .   2k ch2 u - 4(1 - 2 v ) - 1 u 2 - 2 k

L 2( u) =----------------------.------;,

2 k ch2 u + 4 u 2 + 1 + k 2

а для задачи Б (скользящая заделка)

T . ch2 u - 1     _ , . sh2 u - 2(1 - 2 v ) - 1 u

L1( u) =---------, L 2( u) =--------------— sh2u +2u              sh2u +2u

Введенный в (3) безразмерный параметр X характеризует относительную толщину упругого слоя с учетом симметрии задач q(-x,y) = q(x,y). Тогда уравнение (5) сводится к ИУ на одном участке контакта

JJ q ( ^ n )

Q -

1    1     x -^

--1---+ e——

R -   R + R _ 2

+e

x + ^

^f+

1rf x -^ y -n ) ,                              +

X ( X X J

1 T\ x + ^ y -n +                                                      ,

X ( X X

После замен:

d ! d n = 8- A ( x - c )2 - By 2, ( x , y ) eQ - .

x , = x - с , ^ . =^- c , q . ( x , , y ) = q ( x , y ), Q o.Q , S , ^ S -

ИУ (12) можно переписать в форме (звездочки далее опускаем):

JJ q ( ^ , n ) K ( ^ , n , x , y ) = g ( x , y ), ( x , y ) e Q , Q

K K, n , x , y ) =   + V + e

R - R 1

+1 T f x z!, Г-лХ 1 T

X I X X J X

x - ! x + ! + 2 с

—+ e----+

R - 2           R 1 2

.f x + ! + 2 с y -n)

X ’ X

,

g ( x , y ) = 8 - Ax 2 - By 2, R 1 = [( x + ^ + 2 c )2 + ( y - n )2 ]1/2.

При численном решении уравнения (14) применим метод нелинейных граничных ИУ типа Гаммерштейна, предложенный Галановым [7, 8]. Уравнение (14) дополним условиями неотрицательности контактного давления в области контакта, отсутствия контакта и обращения в нуль давления в дополнительной области 5 \ Q , записав их все в виде системы

J K ( N , M ) q ( N ) dN = g ( M ), q ( M ) 0, M gQ ,

J K ( N , M ) q ( N ) dN g ( M ), q ( M ) = 0, M g S \ Q ,

S                                                                                               , где введены обозначения M = (x,y), N = (£,n).

Идея метода состоит в представлении искомого давления в форме q = q (M) = q + (M) + q - (M), где введены нелинейные операторы q+ (M) = sup{ q+ (M ),0}, q - (M) = inf{ q - (M ),0}.

При учете (17) интегральное неравенство (16) будет удовлетворено в результате решения нелинейного операторного уравнения типа Гаммерштейна:

0 p = 0 ( M g Q ),   0 p = p - + K , p + - g ,                          (20)

где p , = p , ( M ), p ± = p ± ( M ), g = g ( M ),

K , p + = J K ( N , M ) p + ( N ) dN .

S

Можно доказать, что система (17) эквивалентна уравнению (20) [7]. Исследованы вопросы существования и единственности решения уравнения типа (20) [7]. Для численного решения уравнения (20) применим метод М. А. Красносельского, основанный на последовательных приближениях [7].

Прямоугольник S покроем сеткой из m узлов с учетом отсутствия симметрии по координате x. Ясно, что c > e o , £ o ^ 1. Для проверки точности расчета ядра (15) можно использовать интеграл [9]

г                                  Dn

[ exp( - Cu ) Jn ( Du ) du = ,       =------.        —, n = 0;1.

J0                     V C 2 + D 2[ C + V C 2 + D 2] ]

Исследуя поведение выражений L n ( u ) - 1 (n = 0;1) при u ^ ■/ для функций (9) - (11), положим в (22) C = 2. При выполнении условия

X > ^ 4 ( 1 + c ) 2 + 1 1 ( 4 V5 )                                      (23)

для расчета ядра (15) можно использовать квадратурную формулу Гаусса по 32 узлам.

Численные эксперименты. В табл. 1, 2 для задач А и Б соответственно даны значения контактного давления q ( x ,0) и вдавливающей штамп силы P . Расчеты, результаты которых приведены в таблицах, сделаны при v = 0,3, 5 = 0,004, A 0 = 0,1, 6 0 = 0,005, e 0 = c = 0,15 и разных значениях X и ц .

Таблица 1

Значения давления и вдавливающей силы P в задаче А

X

ц

9 ( x ,0) х 103

f X 103

x =- 0,075

- 0,0375

0

0,0375

0,075

1

0

1,77

3,00

3,39

3,32

2,81

0,640

1

0,2

1,92

3,06

3,38

3,25

2,66

0,628

1

- 0,2

1,64

2,94

3,39

3,39

2,95

0,651

0,5

0

3,12

3,96

4,32

4,25

3,77

0,954

0,5

0,2

3,23

4,00

4,31

4,18

3,64

0,941

0,5

- 0,2

3,00

3,91

4,32

4,31

3,88

0,966

0,3

0

4,63

5,42

5,70

5,55

4,99

1,42

0,3

0,2

4,74

5,48

5,71

5,52

4,91

1,41

0,3

- 0,2

4,51

5,35

5,67

5,58

5,07

1,42

Для задачи Б значения давления и силы меньше, чем для задачи А, как и должно быть. В обеих задачах контактное давление меньше на той стороне области контакта, которая ближе к участку, расположенному между штампами.

Таблица 2

Значения давления и вдавливающей силы P в задаче Б

X

и

О ( х ,0) х 10 3

£ Х 103

х 0,0/5

- 0,03/5

0

0,0375

0,075

1

0

1,60

2,89

3,28

3,20

2,68

0,595

1

0,2

1,74

2,95

3,27

3,13

2,53

0,585

1

- 0,2

1,46

2,82

3,27

3,27

2,82

0,605

0,5

0

2,79

3,65

4,02

3,95

3,46

0,851

0,5

0,2

2,92

3,70

4,01

3,89

3,34

0,842

0,5

- 0,2

2,66

3,59

4,01

4,00

3,57

0,858

0,3

0

4,00

4,81

5,13

5,02

4,50

1,22

0,3

0,2

4,13

4,89

5,17

5,02

4,46

1,23

0,3

- 0,2

3,88

4,73

5,07

5,01

4,53

1,21

Заключение. Решены новые пространственные контактные задачи с неизвестной областью контакта для упругого слоя о взаимодействии двух одинаковых эллиптических в плане штампов с учетом трения при различных граничных условиях на другой грани. При использовании метода нелинейных граничных интегральных уравнений с учетом симметрии задач определены области контакта, давления в этих областях, связи между силами и осадками штампов. Сделаны расчеты при разных значениях относительной толщины слоя и коэффициента трения.

Список литературы Трехмерная контактная задача о взаимодействии упругого слоя с двумя штампами при учете трения

  • Чебаков М.И. Пространственная контактная задача для слоя с учетом трения в неизвестной области контакта/М.И. Чебаков//Доклады РАН. -2002. -Т. 383. -№ 1. -С. 67-70.
  • Чебаков М.И. Трехмерная контактная задача для слоя с учетом трения в неизвестной области контакта/М.И. Чебаков//Известия РАН. Механика твердого тела. -2002. -№ 6. -С. 59-68.
  • Чебаков М.И. Пространственные контактные задачи для слоя с учетом сил трения в зоне контакта/М.И. Чебаков, Х. Лоренц//Современные проблемы механики сплошной среды: тр. 6-й междунар. науч. конф. 19-23 октября 2000 г. -Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2000. -С. 232-235.
  • Чебаков М.И. Учет сил трения в пространственной контактной задаче для закрепленного слоя/М.И. Чебаков//Современные проблемы механики сплошной среды: тр. 7-й междунар. науч. конф. памяти акад. РАН И.И. Воровича, 22-25 октября 2001 г. -Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. -С. 205-209.
  • Александров В.М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости/В.М. Александров, М.И. Чебаков. -М.: Физматлит, 2004. -301 с.
  • Соболь Б.В. Пространственная задача о контакте системы штампов с упругим слоем/Б.В. Соболь, И.М. Пешхоев//Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2011. -№ 1. -С. 69-76.
  • Галанов Б.А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта/Б.А. Галанов//Прикладная математика и механика. -1985. -Т. 49. -Вып. 5. -С. 827-835.
  • Александров В.М. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел/В.М. Александров, Д.А. Пожарский. -М.: Факториал, 1998. -288 с.
  • Прудников А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции/А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. -М.: Наука, 1983. -752 с.
Еще
Статья научная