Трехмерная контактная задача о взаимодействии упругого слоя с двумя штампами при учете трения

Введение. Исследованы трехмерные контактные задачи теории упругости при учете трения о взаимодействии слоя с двумя симметричными штампами, расположенными на одной его грани. Другая грань слоя находится в условиях жесткой или скользящей заделки. Штампы имеют форму эллиптических параболоидов, начинают удаляться друг от друга или сближаться. Области контакта неизвестны. Ранее аналогичные задачи с трением рассматривались для случая одного штампа на слое [1 – 4] и на полосе [5]. В работе [6] рассматривается пространственная задача о контакте с упругим слоем системы двух симметричных эллиптических штампов с плоской подошвой (асимптотический метод решения).

Постановка задачи. В декартовых координатах рассмотрим слой {x, у е(-да, да), z е[0, h]} тол щиной h, нижняя грань которого z = 0 находится в жесткой или скользящей заделке (задачи А и Б соответственно). Упругий материал слоя имеет коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G. Верхняя грань слоя z = h взаимодействует с двумя одинаковыми штампами. Формы основания штампов имеют вид эллиптических параболоидов и описываются функциями g±(x,y) = (x±c)2/(2R1)+y2/(2R2), R2 > R (1)

Между поверхностью слоя и штампов действуют силы кулоновского трения с коэффициентом трения ц . Штампы начинают достаточно медленно двигаться вдоль оси x так, что задачи симметричны относительно оси у. Силы трения направлены против движения. При ц > 0 штампы удаляются друг от друга, а при ц < 0 — начинают сближаться. К штампам приложены симметричные касательные силы T, нормальные силы P. Пусть осадка штампов равна 5 , а перекос отсутствует. Симметричные по у области контакта О ± неизвестны (область о . при x < 0).

При известных величинах G , v , ц , h , c , R 1 , R 2 и 5 и заданной функции frz) требуется определить контактные давления □ z ( x , y , h ) = -q(x,у ), ( x , y ) eQ = 0 . ^0 , а также сами области контакта О ± . Затем можно найти, например, величину P из условия равновесия штампа

P = JJ q ( x, у ) dxdy • ⁽²⁾ о .

Из аналогичных интегральных условий можно найти величину T , а также плечи приложения сил P и T .

Решение задачи. Предположим, что области контакта априори содержатся в прямоугольниках S ± = { X ± c | <  a, у | <  b }, b >  a, c >  a .

Для вывода интегральных уравнений (ИУ) контактных задач А, Б используется интегральное преобразование Фурье и закон Кулона. В результате придем к ИУ на двух участках контакта, которое после введения безразмерных обозначений

xyhc x = —, У = —, ^ = —, c = —, bbbb

a s '5 b          b e0 = , 5' = -a A =, B =, 0 b b 2 R1       2 R 2

*

Работа поддержана грантом РФФИ 09-01-00004.

q '( x ', y ') = qx ,^ , P ' = 'V , 0 = —, Q ' oQ , Q; oQ , S 1 о S₊

2 -0          2 -0 b ²       1 - v               ±      ± ±     ±

можно записать в виде (штрихи далее опускаем):

JJ q U- n )

Q

+ e

R -

x -! R ²

1 _T( x -! У -n ) ⁺                                                      ,

X ( X X J

d ! d П = f ( x , У ), ( x , У ) e Q ,

f ( x , y ) = 8- A ( x ± c )² - By ², ( x , y ) eQ ± ,

R ± = [( x ± У² + ( y - n )²]^1/2, e = ц (1 - 2 v ) /(2 - 2 v ),

Ю                                        e t

T ( t , t ) = J [ L1 ( u ) - 1] J ₀ ( u^t ² + t ² ) du +—==== J [ L ₂ ( u ) - 1] J 1 ( u^t ² + t ² ) du . 0                              \t + T 0

Здесь J n ( u ) — функции Бесселя. В ядре ИУ (4) выделена главная часть.

Для задачи А (жесткая заделка)

T _        2k sh2u - 4u„ .

L 1 ( u ) =------------------------, k = 3 - 4 v ,

2 k ch2 u + 4 u ² + 1 + k ²

_T .   2k ch2 u - 4(1 - 2 v ) ^{- 1} u ² - 2 k

L 2( u) =----------------------.------;,

2 k ch2 u + 4 u ² + 1 + k ²

а для задачи Б (скользящая заделка)

_T . ch2 u - 1     _ , . sh2 u - 2(1 - 2 v ) ^{- 1} u

•

L1( u) =---------, L 2( u) =--------------— sh2u +2u              sh2u +2u

Введенный в (3) безразмерный параметр X характеризует относительную толщину упругого слоя с учетом симметрии задач q(-x,y) = q(x,y). Тогда уравнение (5) сводится к ИУ на одном участке контакта

JJ q ⁽ ^ n )

Q -

1    1     x -^

--1---+ e——

R -   R ₊ R _ ²

+e

x + ^

^f+

1rf x -^ y -n ) ,                              ⁺

X ( X X J

1 _T\ x + ^ y -n ⁺                                                      ,

X ( X X

После замен:

d ! d n = 8- A ( x - c )² - By ², ( x , y ) eQ - .

x , = x - с , ^ . =^- c , q . ( x , , y ) = q ( x , y ), Q o.Q , S , ^ S -

ИУ (12) можно переписать в форме (звездочки далее опускаем):

JJ q ( ^ , n ) K ( ^ , n , x , y ) = g ( x , y ), ( x , y ) e Q , Q

^K K, n , ^x , y ) =   ⁺ V ^{+ e}

R - R 1

+1 T f x z!, Г-лХ 1 T

X I X X J X

x - ! x + ! + 2 с

—+ e----+

R - 2           R 1 ²

.f x + ! + 2 с y -n)

X ’ X

,

g ( x , y ) = 8 - Ax ² - By ², R 1 = [( x + ^ + 2 c )² + ( y - n )² ]^1/2.

При численном решении уравнения (14) применим метод нелинейных граничных ИУ типа Гаммерштейна, предложенный Галановым [7, 8]. Уравнение (14) дополним условиями неотрицательности контактного давления в области контакта, отсутствия контакта и обращения в нуль давления в дополнительной области 5 \ Q , записав их все в виде системы

J K ( N , M ) q ( N ) dN = g ( M ), q ( M ) >  0, M gQ ,

J K ( N , M ) q ( N ) dN >  g ( M ), q ( M ) = 0, M g S \ Q ,

S                                                                                               , где введены обозначения M = (x,y), N = (£,n).

Идея метода состоит в представлении искомого давления в форме q = q (M) = q + (M) + q - (M), где введены нелинейные операторы q+ (M) = sup{ q+ (M ),0}, q - (M) = inf{ q - (M ),0}.

При учете (17) интегральное неравенство (16) будет удовлетворено в результате решения нелинейного операторного уравнения типа Гаммерштейна:

0 p = 0 ( M g Q ),   0 p = p - + K , p ⁺ - g ,                          (20)

где p , = p , ( M ), p ± = p ± ( M ), g = g ( M ),

K , p ⁺ = J K ( N , M ) p ⁺ ( N ) dN .

S

Можно доказать, что система (17) эквивалентна уравнению (20) [7]. Исследованы вопросы существования и единственности решения уравнения типа (20) [7]. Для численного решения уравнения (20) применим метод М. А. Красносельского, основанный на последовательных приближениях [7].

Прямоугольник S покроем сеткой из m узлов с учетом отсутствия симметрии по координате x. Ясно, что c > e o , £ o ^ 1. Для проверки точности расчета ядра (15) можно использовать интеграл [9]

г                                  Dⁿ

[ exp( - Cu ) J_n ( Du ) du = ,       =------.        —, n = 0;1.

^J0                     V C ² + D ²[ C + V C ² + D ²] ]

Исследуя поведение выражений L _n ( u ) - 1 (n = 0;1) при u ^ ■/ для функций (9) - (11), положим в (22) C = 2. При выполнении условия

X > ^ 4 ( 1 + c ) ² + 1 1 ( 4 V5 )                                      (23)

для расчета ядра (15) можно использовать квадратурную формулу Гаусса по 32 узлам.

Численные эксперименты. В табл. 1, 2 для задач А и Б соответственно даны значения контактного давления q ( x ,0) и вдавливающей штамп силы P . Расчеты, результаты которых приведены в таблицах, сделаны при v = 0,3, 5 = 0,004, A 0 = 0,1, 6 0 = 0,005, e ₀ = c = 0,15 и разных значениях X и ц .

Таблица 1

Значения давления и вдавливающей силы P в задаче А

X	ц	9 ( x ,0) х 103					f X 103
		x =- 0,075	- 0,0375	0	0,0375	0,075
1	0	1,77	3,00	3,39	3,32	2,81	0,640
1	0,2	1,92	3,06	3,38	3,25	2,66	0,628
1	- 0,2	1,64	2,94	3,39	3,39	2,95	0,651
0,5	0	3,12	3,96	4,32	4,25	3,77	0,954
0,5	0,2	3,23	4,00	4,31	4,18	3,64	0,941
0,5	- 0,2	3,00	3,91	4,32	4,31	3,88	0,966
0,3	0	4,63	5,42	5,70	5,55	4,99	1,42
0,3	0,2	4,74	5,48	5,71	5,52	4,91	1,41
0,3	- 0,2	4,51	5,35	5,67	5,58	5,07	1,42

Для задачи Б значения давления и силы меньше, чем для задачи А, как и должно быть. В обеих задачах контактное давление меньше на той стороне области контакта, которая ближе к участку, расположенному между штампами.

Таблица 2

Значения давления и вдавливающей силы P в задаче Б

X	и	О ( х ,0) х 10 3					£ Х 103
		х 0,0/5	- 0,03/5	0	0,0375	0,075
1	0	1,60	2,89	3,28	3,20	2,68	0,595
1	0,2	1,74	2,95	3,27	3,13	2,53	0,585
1	- 0,2	1,46	2,82	3,27	3,27	2,82	0,605
0,5	0	2,79	3,65	4,02	3,95	3,46	0,851
0,5	0,2	2,92	3,70	4,01	3,89	3,34	0,842
0,5	- 0,2	2,66	3,59	4,01	4,00	3,57	0,858
0,3	0	4,00	4,81	5,13	5,02	4,50	1,22
0,3	0,2	4,13	4,89	5,17	5,02	4,46	1,23
0,3	- 0,2	3,88	4,73	5,07	5,01	4,53	1,21

Заключение. Решены новые пространственные контактные задачи с неизвестной областью контакта для упругого слоя о взаимодействии двух одинаковых эллиптических в плане штампов с учетом трения при различных граничных условиях на другой грани. При использовании метода нелинейных граничных интегральных уравнений с учетом симметрии задач определены области контакта, давления в этих областях, связи между силами и осадками штампов. Сделаны расчеты при разных значениях относительной толщины слоя и коэффициента трения.