Вариационное условие оптимальности в задаче управления гиперболическими уравнениями с динамическими граничными условиями

Аргучинцев А. В., Кедрин В. С., Кедрина М. С. Вариационное условие оптимальности в задаче управления гиперболическими уравнениями с динамическими граничными условиями // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2021. № 1. С. 13-23.

При моделировании процессов химической ректификации, социальной демографии, математической биологии в ряде случаев возникает необходимость решения задач оптимального управления гиперболическими системами первого порядка с начально-краевыми условиями, определяемыми из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1-3]. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения иногда имеют специфическую структуру: фазовые переменные входят линейно в правые части динамических систем, но с зависящими от управлений коэффициентами. В силу этой билинейности принцип максимума Л. С. Понтрягина не является достаточным условием оптимальности даже в случае линейных гиперболических систем и линейного целевого функционала. Поэтому обычно для решения подобных задач применяют общие методы нелинейной теории оптимального управления.

В работе [4] данный тип задач был исследован для одного частного варианта гиперболических систем и линейного целевого функционала. В отличие от классического варианта формулы приращения, берущего начало еще от работы Л. И. Розоноэра [5], было получено два вида точных (без остаточных членов) формул приращения для произвольной пары допустимых процессов. Данный результат позволил провести редукцию исходной задачи оптимального управления к задаче оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В настоящей работе рассматривается случай гиперболических систем, характерных для задач моделирования динамики популяций с учетом их возрастной структуры [6]. Целью управления является минимизация нормы конечного состояния. В силу квадратичности целевого функционала пришлось применить формулы приращения второго порядка, обычно используемые при исследовании особых оптимальных процессов [7]. Установлена справедливость необходимого и достаточного условия оптималь -ности вариационного типа. Изложена схема редукции исходной задачи к задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на полученном результате.

• 1    Постановка задачи

Рассматривается задача оптимального управления системой линейных гиперболических уравнений первого порядка с линейной правой частью:

- + - = B ( t , 5 ) X + Г ( t , 5 ).                         (1)

д t дs

Здесь x ( t , s ) — n -мерная вектор-функция состояния процесса, B ( t , s ) — матрица коэффициентов, независимые переменные t и s принимают значения из отрезков T = [ t ₀, t 1 ] и S = [ s ₀, s 1 ] соответственно. Начальные условия фиксированы:

x ( t 0 , s ) = x ⁰( s ), s G S .                           (2)

Предполагается, что граничные условия при s = s ₀ определяются из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений :

^ x d ts o ). = C ( u ( t ) , t ) x ( t , s 0 ) + q ( u ( t ) , t ) .                         (3)

В системе (3) u ( t ) — m -мерная вектор-функция управления из класса ограниченных и измеримых на отрезке T функций. Начальные условия для (3) определяются из требования выполнения условия согласования с (2):

x (t 0,s 0) = x 0( s 0).

Предполагаем, что управляющие функции почти всюду на отрезке T удовлетворяют условию типа включения:

u (t) g U с Em.(5)

Целью задачи оптимального управления является минимизация функционала:

J(u) =1 J| x(t i,s)- z(s f ds.

• ²    S

Здесь под нормой понимается обычная евклидова норма в n -мерном пространстве, z ( s ) — заданная функция.

Задачи такого нестандартного типа возникают при моделировании ряда процессов химической технологии и динамики популяций. В частности, вектор-функция состояния может описывать плотность (во временном смысле) популяций n видов. Обе независимые переменные имеют размерность времени: t — время, в течение которого рассматривается процесс; s — возраст; s ₀ = 0 . Тогда задача (1)-(6) может рассматриваться как задача управления процессом рождаемости с целью достижения в конечный момент времени t 1 заданной плотности z ( s ). (1)-(6) может интерпретироваться и как обратная задача восстановления функционального параметра u ( t ) в (3), при котором в момент t = 1 1 достигается наблюдаемая плотность популяции z ( s ). Популяции разных видов могут взаимодействовать между собой. Это взаимодействие определяется правой частью системы (1). В частности, (1) можно рассматривать как обобщение классической модели «хищник — жертва» на случай, учитывающий возрастное распределение особей.

Задача (1)-(6) исследуется при следующих предположениях на ее параметры.

• 1.    Матричная функция B ( t , s ) и вектор-функция r ( t , s ) непрерывны на T х S .

• 2.    Матричная функция C ( u , t ) и вектор-функция q ( u , t ) непрерывны на U х T.

• 3.    Функции x ⁰( s ), z ( s ) непрерывны на отрезке S .

При сделанных предположениях решение задачи Коши (3), (4) существует и единственно в классе абсолютно непрерывных на T функций. Классического же решения начально-краевой задачи для гиперболической системы (1)-(4), вообще говоря, не существует. Это связано с тем, что для существования и единственности классического решения требуется не только выполнение дополнительных условий, обеспечивающих гладкость x ⁰( s ), x ( t , s ₀) , но и выполнение условий согласования более высокого порядка по сравнению с (4). Эти условия неизбежно налагают дополнительные предположения на правые части гиперболической системы [8] и ведут к дополнительным предположениям на управляющие воздействия.

В нашем случае можно гарантировать, что решения x ( t , s ) начальнокраевой задачи (1)-(4) являются для каждого фиксированного допустимого уравнения непрерывными в прямоугольнике T х S функциями. При этом каждая компонента x ( t , s ) является непрерывно дифференцируемой функцией вдоль семейства характеристик гиперболической системы [9].

В дальнейшем дифференциальный оператор в левой части (1) будем обозначать следующим образом:

d 4( 1, ( 1 ( dx 11, dt (( dt ) ( dt ) ( dt ))

понимая под этим оператор дифференцирования вдоль характеристик системы (1).

• 2    Неклассическая формула приращения целевого функционала

Задача (1)-(6) является линейно-квадратичной с выпуклой подынтегральной функцией в (6). Однако в данном случае классическое условие оптимальности типа принципа максимума Л. С. Понтрягина не является достаточным условием оптимальности. Причина этого заключается в билинейности правой части (3), то есть в наличии произведения вида C ( u , t ) • x . Поэтому обычно подобные задачи решаются теми же стандартными способами (методы принципа максимума, градиентные методы, дискретизация и т.п.), которые применяются для общих нелинейных задач. При этом основные вычислительные затраты итерационных методов приходятся на неоднократные интегрирования начально-краевых задач для исходной и сопряженной гиперболических систем.

Основной идеей настоящей работы является редукция исходной задачи (1)—(6) к задаче оптимального управления системой обыкновенных диф- ференциальных уравнений, выполненная с помощью нестандартной формулы приращения целевого функционала второго порядка.

Рассмотрим два произвольных допустимых процесса {u, x = x(t, s, u)} и {u = u + Au, x = x(t, s, й) = x(t, s, u) + Ax}. Тогда приращение целевого функционала (6) можно записать в виде:

A J ( u ) = J ( u) - J ( u ) = ¹ | [ | x ( t ₁, s ) - z ( s ) ||² - | x ( t_ps ) - z ( s ) ||² ] ds.      (7)

2 S

Здесь по-прежнему под нормой понимается обычная евклидова норма в n -мерном пространстве.

Представим квадрат каждой из норм в виде скалярного произведения вектора самого на себя и воспользуемся свойством:

Ix||2 -Ix|2 = (x + Ax,x + Ax)-(x,x) = {Ax,Ax) + 2{x,Ax).

Здесь угловыми скобками обозначены скалярные произведения в n - мерном евклидовом пространстве.

Далее выполним следующие преобразования. Обозначим П = T х S. Введем соответственно на множествах T и П пока произвольные n -мерные вектор-функции p(t), w(t, s), n х n -мерную диагональную мат- ричную функцию Т(t, s) и n х n -мерную симметричную матричную функцию Р(t).

Добавим в формулу приращения (7) четыре нулевых слагаемых

T

5А х ( t , s ° ) - A _ с ( u ( t ), t ) x ( t , s ° ) - c ( u ( t ), t ) A x ( t , s ° ) -A q ( u ( t ), t ) \dt ; о t

- B ( t , s ) A x ( t , s ) ddtds ;

J/ P ( t ) A x ( t , s ° ), ^{dA x (} t , s ^o) - A u-C ( u , t ), x ( t , s ° ) - C ( u , t ) A x ( t , s ° ) - A q ( u ( t ), t ) \dt; t\                      d t                                                                  I

- B ( t , s ) A x ( t , s ) ddtds .

Здесь A ₅C ( u , t ) = C ( й, t ) - C ( u , t ) , A q ( й, t ) = q ( й, t ) - q ( u , t ).

Применим формулы интегрирования по частям и введем сопряженные задачи

dw dw x z x

-T- + — = - B ( t , s ) w , ( t , s ) еП , d t   d s

W ( t j , s ) = z ( s ) - x ( t j , s ), s е S ,                                      (8)

W ( t , s j ) = 0, t е T;

Р = -^ (t , 5 0 ) - C T ( u ( t ), t ) p , t e T , p ⁽ td = 0;

SY SY

+      - 2 Y B ( t , 5 ), ( t , s ) en ,

∂t∂s

T ( t i , s ) = - E , s e S ,

T ( t , s i ) = 0, t e T ;

P = -T ( t , s 0 ) - C T ( u ( t ), t ) P-P C ( u ( t ), t ), P ( t i ) = 0.

Под нулями в соответствующих условиях (8) и (9) понимаются n -мерные вектора, все компоненты которых равны нулю. Под нулями в (10) и (11) понимаются n х n -матрицы, состоящие из нулевых элементов. E — единичная матрица.

Решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (9) и (11) в силу сделанных выше предположений являются абсолютно непрерывными на T функциями. В начально-краевых условиях для гиперболических систем (8) и (10) невозможно добиться выполнения условий согласования типа (4). Решения понимаются в указанном выше обобщенном смысле, но можно гарантировать их непрерывность только по отдельности в областях t <  s и t >  s . Прямая t = s задает возможную линию разрыва. Отметим также, что в силу диагональности матрицы T система матричных уравнений в (10) представляет собой систему из n скалярных уравнений. Задача (10) не содержит управляющих функций. Поэтому она может быть решена только один раз.

После всех проделанных преобразований формула приращения (7) примет вид:

AJ (и) = -R Р (t, u) + P( t, u)(x (t, s 0, u) - x (t, s 0, u)), t                                                         (12)

A _uC ( u ( t ), t ) x ( t , s ₀, u ) + A q ( u ( t ), t )) ddt .

Формула (12) справедлива для любой пары допустимых процессов. Она является точной, то есть не содержит остаточных членов. Но «платой» за это является присутствие в формуле значений вектор-функции состояния, подсчитываемых на новом управлении u = u + A u .

• 3    Вариационное условие оптимальности и его применение

Полученная в конце предыдущего раздела формула приращения (12) лежит в основе соответствующего необходимого и достаточного условия оптимальности вариационного типа.

Зафиксируем произвольное допустимое управление u(t). Ему соответствуют решения сопряженных задач (9) и (11). Подставим соответствую- щие функции p(t) и Р(t) в формулу (12). Обозначим оставшееся произвольным управление u через 9 . Из (12) следует основной результат данной работы.

Теорема. Допустимое управление 9 * ( t ) доставляет глобальный минимум в задаче оптимального управления (1)-(6) тогда и только тогда, когда для любого допустимого управления u ( t ) оно доставляет глобальный минимум в задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

М ( 9 ) = — J ( Р ( t , u ) + P ( t , u )( y ( t , 9 ) - x ( t , 5 ₀, u )),

T

( C ( 9 ( t ), t ) - C ( u ( t ), t ) ) y ( t , 9 ) + q ( 9 ( t ), t ) - q ( u ( t ), t ) ^ 9t ^ min, (13) y = C( 9 (t ), t ) y + q( 9 (t ), t ), t e T ,

y ( 1 0 ) = x ⁰( 5 0 ), 9 ( t ) e U , t e T .

Сделаем несколько замечаний.

Во-первых, теорема справедлива для любого фиксированного управления u ( t ). Это связано с тем, что формула приращения (12) верна для любой пары допустимых процессов.

Во-вторых, теорема является необходимым и достаточным условием глобальной оптимальности. Это крайне важно для обратных задач математической физики. Отметим, что принцип максимума Л. С. Понтрягина в данной задаче не является глобальным условием оптимальности, несмотря на выпуклость целевого функционала и почти полную линейность динамической системы.

Практическая ценность результата заключается в том, что на его основе можно провести редукцию исходной задачи (1)-(6) к значительно более простой задаче (13).

Изложим схему редукции. Пусть u ( t ) - некоторое допустимое управление в задаче (1)-(6). Найдем соответствующее данному управлению состояние x = x ( t , 5 , u ). Составим сопряженные задачи (8)-(11). Задача (10) не зависит от управления. Задача (11) решается на основе (10) и известного u ( t ). Для вычисления функции p ( t , u ), фигурирующей в (13), нужно знать у (t , 5 ₀). Для этого, в свою очередь, нужно решить задачу (8). Но все эти интегрирования гиперболических и обыкновенных дифференциальных уравнений нужно проделать лишь только один раз. В результате приходим к задаче оптимального управления (13), в которой функции u ( t ), p ( t , u ), Р ( t , u ) и y = x ( t , 5 ₀, u ) известны. Данная задача представляет собой задачу оптимального управления линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичным целевым функционалом. Для ее решения можно применять весь арсенал методов оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями [10-15].

В силу билинейности динамической системы в (13) особенно эффективным представляется использование специализированных методов, предложенных В. А. Срочко [16; 17].

Основным результатом работы является не просто вариационное условие оптимальности, а редукция исходной задачи к значительно более простой задаче оптимального управления обыкновенной динамической системой. Поэтому, в частности, можно говорить, что любое улучшение допустимого управления в задаче (13) приведет к улучшению соответствующего допустимого управления в исходной задаче. Применение формул приращения целевого функционала второго порядка дает возможность улучшать особые неоптимальные управления. По-видимому, предлагаемый подход может быть применен и к другим задачам подобной структуры. Отсутствие локальности в формулах приращения и необходимости оценок приращения состояния процесса относительно параметров, характеризующих малость варьирования управлений, открывает возможности для исследования целых классов гибридных задач оптимального управления, содержащих обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными.