Вектор поляризации электромагнитного излучения во вселенной типа Гёделя

При использовании языка геометриче ской оптики основным понятием является по-

нятие световых лучей, определяемых как траектории, ортогональные к световым фронтам. Световой луч есть кривая в пространстве – времени, касательный вектор к которой в каждой точке указывает в направлении усредненного вектора Умова–Пойнтинга [1].

Другой характеристикой света является

поляризация. Состояние поляризации описывается направлением электрического (или магнитного) вектора в плоскости, перпенди-

Аналогично [3] введем параметризацию изотропных геодезических при условии, чтобы они проходили через точку наблюдения P ( t₀ ,0,0,0) . Изотропные геодезические у нас, как и в [3], различаются с помощью сферических координат ( 0 , р ), которые определяют направления световых лучей в локальном ло-ренцевом базисе наблюдателя в P. Тогда для этих геодезических можно получить

V ⁰

кулярного направлению распространения. Со-

гласно геометрической оптике в искривлен-

ном пространстве [2], комплексный вектор

V ² =

k k+a

f р +1

0 kemx у f P2

—

поляризации

f i ( ff =- 1 )

( k + a ) e^mx I e m

повсюду ортого-

где

, V ¹ = m ⁽ P i + у^р 2 ) ,

V ³ = P 3 , (4)

нален лучам:

V i f = 0

P^ = —, P = — cos р sin 0 ,

⁰ R ¹ mR

и параллельно переносится вдоль них:

V^jr-j = 0 .                (2)

P ₂ = — (V a + V a + k sin 0 sin р ), P ₃ = — cos 0 ,    (5)

RR

0 <  0 <  п ,   - п <  р <  п .

Здесь V – геодезический изотропный вектор.

Для исследования поляризации в космологии с вращением рассмотрим некоторую стационарную модель типа Геделя с метрикой ds2 = R2dt2 - R2 (dx2 + ke2mxdy2 + dz2 )-

- 2 R² Jae mx dydt

( k >  0, a >  0, R = const ) .

Для светового луча, описываемого уравнениями t = t (2), x = x (2),   y = y (2), z = z(2), (где 2 - аффинный параметр вдоль геодезической), уравнения распространения для вектора поляризации в пространстве – времени с метрикой (3) имеют вид

2 ⁽ k + a ) df⁰    p 2    i

Omm ’ d2   e m ^{( 2 ) J}

+ m (pi + y (2) p 2)(7^f0 + kemx(2) f2 )= 0, df1  Ommf0 ( i—

--'—7-----\ I  a p 0 — dA   2( k + a) ^

। ^mf Ij ГА „ mx ( A )

⁺ 2M ^{( k a p 0} e

+

— ( 2 k + a ) p 2 ) = 0,

df ² dA

+

^{m 2 (} p i + y w p 2 ) ( af ⁰

2 ( k + a )      [ e mx ^{( A )}

mf ¹     | p 2    ^a P 0

+ ( 2 k + a ) f ² 1 +

= 0,

( k + ae mx ^{( A} )

df ^- = 0 . dA

Условие (1) и ff = — 1 приводят в метрике (3) к соотношениям (выполняемым на изотропной геодезической)

f ° V ° g 00 + f ° V ² g 02 + f ² V ° g 20 + f 1 V 1 g 11 + f² V² g 22 + f 3 V 3 g 33 = 0,

f °² — 2 a m ^{( A )} f⁰ f ² — f ¹² — ke ² mx ^{( A )} f²²

-

— f³

-

_R 2 ^.

(Здесь и далее мы рассматриваем случай

ли-

нейной поляризации, т. е. f ⁱ – действительный вектор).

Нами получены точные решения для эволюции вектора поляризации в случае двух изотропных геодезических, проходящих через точку P. В первом случае мы рассматриваем геодезическую в направлении, задаваемом условиями

n

U = —, sin m = —

2,

k

a

(При этом x ( A ) =

■ a ’ cos m =  a •

A ).

R^k + a

Для такого луча уравнения (6), (7), (8) дают f0

f ³

= J      ( C A + C 2 ), f ¹ = C 1 A + C 2 ,

\ k + a

= const ,

C

^{f 2} = ^{—( a}

\

C ₁   ^ _^ 2 ( k + a ) R

V k + a     mk 4a

+ , - •      ' C ₂ I- e mx ^{( A )} .

i k  y] k + a J

Причем ^{4( k +} a ^{) 2 R 2} c ₁ ² + f ^-2 = X. m ² k a              R ²

C 1

+

В (11) C1 и C2 – действительные посто- янные, которые задают начальную поляризацию.

Для второй изотропной геодезической в = 0, (—п < m ^ п). Эта геодезическая идет вдоль оси z (x(A) = 0, y(A) = 0). Для данного луча решение (8.15), (7), (8) приводит к f 0 = a [c1 cos( aA) — c2 sin( aA)]+ C3, d k + a f1 = C1 sin(aA) + C2 cos(aA),      (12)

f2 = . 1    [C, cos(aA)—C2 sin(aA)], у k + a

• f ³ = const ,

где a = — ^{m a} —  причем действительные

2R^k + a ’ константы C1 и C2 связаны условием

C 1 ² + C 22 = ^.           ⁽¹³⁾

R ²

Можно получить решения для вектора поляризации и в случае других лучей. Учитывая, что обычно рассматриваются космологические модели с метрикой (3) при малом m, можно найти приближенное решение уравнений (6), (7), (8) в области: mx ~ 0, ( e^mx ~ 1), my ~ 0.

Найденные нами точные решения (10) и (12) можно применить для исследования вращения вектора поляризации электромагнитного излучения при распространении луча в космологическом пространстве с метрикой (3).

Отметим результат Ю.Н. Обухова [4], который (в частности) для стационарной метрики типа Гёделя дает для угла поворота вектора поляризации электромагнитного излучения (вычисленного относительно изотропной тетрады) формулу:

Л ф = Q r cos в ,           (14)

• „  m a

где Q =--- , r - расстояние от точки

2R

При общем обсуждении экспериментальной стороны вопроса о поляризации далее мы воспользуемся формулой (14), предполагая, что пространство-время Вселенной (при отвлечении сейчас от расширения) можно моделировать в современную эпоху стационарной метрикой (3) (R = const).

На наш взгляд, прогресс наблюдательной астрономии может привести к установлению не только космологических, но и, может быть, астрономических эффектов, обусловленных вращением Вселенной.

В случае астрономических расстояний можно более точно определить расстояния до источников, а также установить начальную поляризацию электромагнитного излучения. Так авторы [5], исследуя эффект поворота плоскости поляризации фотона при его прохождении в гравитационном поле вращающегося тела, установили, что даже сферическая звезда будет иметь интегральную поляризацию излучения вдоль оси вращения звезды. Начальный вектор поляризации электромагнитного излучения будет получать поворот при распространении электромагнитного излучения вблизи вращающего тела, но к этому будет добавляться еще и малый поворот за счет вращения Вселенной (что отражено формулой (14)). Если мы работаем в рамках геометрической оптики, то предпочтительно использовать волны малой длины.

В работе [6] показано, что такой хорошо известный результат, как распространение световых лучей вдоль изотропных геодезических данного гравитационного поля, верен только в пределе исчезающей длины волны.

С этой стороны целесообразно в будущем использовать рентгеновскую поляриметрию для измерения углов поворота вектора поляризации при распространении рентгеновского излучения на космологических и астрономических расстояниях. Необходимо также исследовать в точной постановке влияние вращения Вселенной на эволюцию электромагнитной волны.

Возможно, что существует класс метрик с вращением, для которых имеет место дипольная анизотропия углов поворота вектора поляризации, определяемая формулой (14). Поэтому, если вращение Вселенной будет доказано, то, чтобы выяснить, в каком "мире" мы живем, может потребоваться значение не только Δφ, но и всей эволюции f ⁱ (для космических источников), т.е. могут быть полезны точные решения типа (10) и (12).