Задача Дирихле для уравнений Гельмгольца в гиротропной эллиптической области при продольном намагничивании

Вопросам распространения электромагнитных волн в магнитоактивных средах начали уделять пристальное внимание во второй половине XX в. в связи с дальнейшим развитием радиотехники и совершенствованием технологии получения ферритов, когда стало возможным изготовление невзаимных устройств в области сверхвысоких частот. Большой вклад в развитие теории распространения электромагнитных волн в ферритовых средах внесли такие видные ученые, как Г. Сул, Л. Уокер [1], Б. Лакс, К. Баттон [2], в чьих работах определение векторов электромагнитного поля осуществляется прямым решением системы уравнений Максвелла в строгом виде. В этих и других работах, как правило, не рассматриваются эллиптические волноводы с ферритовым заполнением или рассматривается изотропный случай [3]. Поэтому является актуальным анализ рас- пространения электромагнитных волн в эллиптических волноводах с ферритовым заполнением.

Рассматривается продольно намагниченный эллиптический цилиндр с бесконечно проводящей стенкой. Область цилиндра заполнена ферритом, диэлектрическая проницаемость ε которого изотропна, а тензор магнитной проницаемости определяется выражением

Г Ц    jk   0)

- jk      Ц    0 ,

I 0     0   цJ

где j — мнимое число, ц = ц ₀ — ц ₀ — 2⁰ m 2 , ц ₀ = 4 п - 10 7 Гн/м — маг-

69 - 690

нитная постоянная, 60 = Ц0^Н0 — частота ферромагнитного резонанса, Y = 1,76 -1011 Кл/кг — гиромагнитное отношение, H0 — напряженность постоянного магнитного поля, tom = p0YM0, M0 — намагниченность на- toto сыщения феррита, к = р0 —z---у, to — циклическая частота, р„« p0.

to - to ₀

Для исследования распространения электромагнитных волн (ЭМВ) в этой области необходимо знать в эллиптической системе координат ( ξ, φ, z ), как поперечные компоненты электрического ( E ξ , E φ ) и магнитного ( H ξ , H φ ) полей, так и продольные компоненты E z , H z .

Если в [4] были получены поперечные компоненты электромагнитного поля для данной области

Е =

jY^ ¹ ---—--- g + g - ed

^{d E} z + toE^ ^{d H} z _- j^ f ^{d E} z _- Y ^{d H} z ' д. Y a² дф a² ^ дф toe д. ,

, ₌ _ jYa^{2 1}

' ф           2 2?

g + g - ed

^{d E} z _- toE c ^{д Н} ₊ j ^to'^{i k} f ^{д Е} ₊ Y ^{d H}z ' д. Y a ² д . a ² ^ д. toe дф ,

, = jYa ² 1

. g + g - ed

toe дЕ₇ дН jto^ek f toe дЕ₇ дН + 2 +

Y дф д.    a ² ( y д.   дф J

^Н ф =

jYa2 1 ---—--- g+2g-2 ed

toe дЕ₇ дН jto'ek f toe дЕ₇ дН z + z - —₂z

Y д.   дф    a2 ( y дф д. J то продольные компоненты Ez электрического поля и Hz магнитного поля неизвестны. Здесь γ — постоянная распространения, g + = to 2eE + to 2ek - y 2, g - = to 2e - to 2ek - y 2, d = ^1 ch2. - cos2ф = V 0,5(ch 2. - cos2ф) — геометрический параметр, a2 = to2e:E - Y2, e — фокусное расстояние эллипса, c2 = to2 ELe - y 2.

В статье ставится задача определения продольных компонент электромагнитного поля.

1 Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца

Для решения поставленной задачи необходимо решить следующую задачу Дирихле для уравнений Гельмгольца ЕН -обыкновенной и НЕ необыкновенной волн [5]

^{д E}Z , ^{д E}Z . 2t2 / 2        2\ _c    - 2 t2 ^k        л

—-2^ + —jz + ed (to ep.^- y )Ez - je d y®M-\-H2 = 0, д. дф x ' e д2Hz   д2Hz    2,2f  2 Ei  2X7    - 2,2 kc n

„„2 + _ ,2 + ed toepii Y IHZ + je d Ytoe — EZ = 0, д.    дф ^ p  J p p - k2

где p_L =------

P

При этом условие Дирихле для электрического поля на границе бесконечно проводящей эллиптической области будет иметь вид:

^E z | 5 . = ^Е ф | 5 = . = ⁰ .                               (3)

Отметим, что система дифференциальных уравнений (2) описывает распространение гибридных ЭМВ, возникающих из-за гиротропности области распространения [1; 2; 6].

Для решения системы (2) преобразуем ее, применяя метод укорочения исходного дифференциального уравнения [1; 7]. Для этого умножим второе уравнение (2) на jЛ и сложим с первым a2 (Ez +jлHz) a2 (Ez +jлHz) 2 2 I                                                  I e д^2              дф2

to 8Цц V

—

^M y ² V + m )

22  2      2       22 k       22 k

+ e d I to 8M у ) E _z —Л e d yto8 —E_z — je d y^m   H _Z = 0.

m M

Введем обозначение

Ez + jKHz = V .

Подставив (5) в (4) и учитывая, что Ez = ^ — jKHz , после компоновки относительно ¥ и Ez , получим:

у

д ² ^ д ² Т 2 ,2 2        2 а -

k

Л

-

V

M )

^м 1 „,2

Л ² e ² d² yo8 ^k —Л е ² d ² to 2 8M — M H- у м

-

Л

V

m

to8ML+ Y2 + e2d2Y

)

В правой части (6) имеем квадратное уравнение относительно Л

k

Yto8 — Л + to 8Mw M

V

— Mil y²

M

^“

k to 8ML + Y Л — YtoMw — M

= 0. (7)

)

В предположении, что Л1 ₂

(6) принимает вид:

являются корнями уравнения (7), формула

22 1,2            1,2       2 2

---+---Е" + e d д^²     дф²

f to 8ML— Y — V

Л 2Yto8 - T1,2 = 0. (8) M )

Подставляя корни Л1 и Л₂ в (8), получим два его решения 4*1 и ^₂.

Тогда из (5) будем иметь:

' Ez + j Л1 Hz =4^;

<

_ E_z + j Л₂H_Z =T₂.

Из (9) получим:

Ez =

—Л 2

^Л2

—

—

—2Л1

Л1 ,

Hz = j—

^Z    Л 2

—

—

—

Л1

.

При известных —1 и —2 уравнение (6) может быть записано

<

д²—1 д5²

д²—₂ д5²

+

д 2—1    _2J2 2

---т¹+ e²d²у²ей дф²

(

к

■ 1

52— _{2     2}

-22- + e²d²у ²вц

+ дф

к

■ 1

к 1

Y — Л₁YУВ — 1—1 = 0, Ц 7

- Y^{2 — Л}2Y^уВ —^1—2 = 0.

Ц 7

Уравнения Гельмгольца (12) после подстановки d² = (chch 25 — cos2,)

примут вид:

<

д²—1

д²—₂ 55²

+

д²—1 дф²

e² / , „ „                 2

+ — (ch2-5 — cos 2ф) у вц —

^{д —}

+---: + — (ch2.5 — cos 2ф) у вц₁

дф²   2 к

—

к 1 Y — К1уув — 1—1 = 0,

Ц )

• 7     . к „

• - у^—Л2Y^ув—^—2 = ⁰-

• Ц 7

Далее уравнения (13) решаются методом разделения переменных [8]. Решения будем искать в виде

11     1 51 1 ,1, 1 2     к 2 1 ф 2 , где —51 и —5 2 — функции, зависящие только от 5 , а —ф1 и —ф 2

— толь-

ко от ф .

Подставив (14) в уравнения (13) и разделив первое уравнение (13) на

—51—_ф1, а второе — на —52—_ф2, получим:

<

^{1 д}2—⁵¹+ -ch 25b ²SM д5²    2

Т ^T51

+

к

1 5 %

—,1 дф²

—

2*       —

± — Y —Л1Yув — Ц 7

+

— cos2, у²вц

к

2 а —

i— Y —Л1Yув — Ц7

= 0,

^{д —}f + ^e- ch5 у²ВЦ

с

—5 2 д5

+

к

1 д — 2

2 а —

[ ±— y —Л^ув — Ц7

+

—2 дф²

—

— cos2, у²вц

к

i^—Y^Y

—

Л1YУВ - = 0. Ц )

В (15) выражения в первых квадратных скобках зависят только от . , а во вторых квадратных скобках — только от ф .

Уравнения системы (15) могут выполняться только в том случае, если выражения в квадратных скобках в каждом из уравнений по отдельности будут равны одной постоянной величине, но с разными знаками, т. е.

1 д 24

(

<

4.1 д.

.- + — ch2. to²ец

к

' 1

—

2* к

Y —K_xYto£ — ^Ц у

= b,

и

<

1 5 ²4ф1

4ф1 5ф²

—

e²

cos

2ф to 2£Ц к

— YY

—

» к

K1Ytos — ^Ц у

—

b.

1 5 24.2

4.2 д.²

1 д ²4ф 2

4ф2 дф²

+

— ch 2. to 2£Ц

—

к

1—

Y 2 ^—

а к ^ Л1Yto£ — = а ,

Ц У

— cos2ф to2ЕЦ

к

—

2 а к

Y —K_xYto£ — ^Ц у

—А.

Умножив первую формулу в (16) на 4.1, вторую — на 4_ф1, получим:

д24с,   ,

—Y — (b — 2 q,chЦ )4.,= 0,

<

'7 ⁴ + (b — 2 q_lcos2ф K,= 0,

Оф где

2 ? 2       2

el к1 — y qt =-----------

—

k

Л1 yto£ — Ц.

и к 1 = to ²Ц1, 4.1 = Ez. + jЛ1 Hz. , Тф1 = Ezф + jЛ1 Hzф.

Умножив первую формулу в (17) на 4.₂, а вторую — на 4_{ф 2}, получим:

'д ²4_ ,

— ( а — 2 q 2 ch 2. )4. 2 = 0, д.

/. + (A — 2 q 2cos2ф )4, 2 = 0, Оф где

2 j 2

e I k2 - q 2 =——

k

Y - Л2ую£ — Ц.

и Ч₂= Ez, + jЛ₂Hz,, ^,2 = EzФ + jЛ₂Hz„• ^ 2 Z^ v 2 Z^ ^y р 2 Z^ v 2 Z^

В системах (18), (20) вторые уравнения являются обыкновенными уравнениями Матье, а первые — модифицированными уравнениями Матье [3; 9]

Л1 =      (k2 - Y²-^^), Л2 =      (k² - Y²-^г).   (22)

Далее, представляя решения (18) и (20) в виде Ч = ЧЧ_р согласно [3; 9], получим частные решения Ч_р = ce_m (р, q₁₂) или se_m (р, q₁₂) с постоянным множителем, а для Ч = Cem (^, q₁₂) или Se_m (^, q₁₂). Здесь cem (р, q1 ₂) и se_m (р, q1 ₂) — четная и нечетная, соответственно, периодические обыкновенные функции Матье целого порядка m с действительными b (или s) и q .

Тогда, учитывая принцип суперпозиции, получим общие решения (18), (20) [3; 9]

^

Ч1,2 =Ч51,2ЧР1,2 = S Cm 1,2Cem (^, q1,2 )cem (Р, q1,2 )cos(a/ - Yz) + m=0                                                  (23)

^

+ S Sm 1,2Sem (^ , q1,2 )sem (Р, q^2 ^OS^ - Yz), m=1

где Cm 1 ₂, S_m 1 ₂ — произвольные постоянные.

Для любого m имеется два типа решений (четные и нечетные) [3; 9; 10]

С4^,2 С^Ч£1,2 С^Чр1,2 Cm 1,2^Cem (^, q1,2 cem^(р, q1,2 )’ _ S^Ч1,2 = SЧУ.2 S^Чр1,2 = ^Sm 1,2^Sem (^, q1,2 )sem^(р, q1,2 }

<

где СЧ ₂ — четные решения, а SЧ ₂ — нечетные.

В связи с тем, что в эллиптической области волны делятся на четные и нечетные, то (10) и (11) после объединения примут вид:

ФЛ C^Т1^П2

-

<

^Л2

C ч

^Л2

-

-

■ CЧ2Л1E = s Ч1Л2 - sЧ2Л1

■ Л, , S ^Z      Л₂-Л, ,

-

C 2 тт _ V S 1

А , SHZ = ^j А

" ^Л1             ^Л2

-

-

'C

' Л1

.

Выражения (25) с учетом (24) примут вид:

^Л2

-^Л1

(C Т1Л2 CТ2Л1)- .    .

^Л2 ^-Л1

⁽С^Т«1С ^Тф1^Л2 С¹2 С^Тф 2^Л1) =

. ¹ .^[Л2Cm 1^Cem U, Ч1 )cem ⁽Ф, Ч1 ) - ^Л1^Ст2^Cem ⁽«, Ч2 )cem ⁽Ф, Ч2 Я>

^Л2 ^Л1

^Л2 ^-Л1

( sт ' -SТ2Л1 )=-2—

^Л2 ^-Л1

(S *{1 S *Ф,Л2 - SТ 2 S Т 2Л1 ) =

. ¹ .^[Л2^Sm1 ^Sem⁽«, Ч1)sem ⁽Ф, Ч1) — ^Л1 ^Sm2^Sem («, Ч2 )sem ⁽Ф, Ч2 Я

<

^Л2 ^Л1

CHZ = Д Д ⁽C^Т1 C^Т2)= Д Д ⁽с¹с^ТФ1 с^Т«2С^ТФ2 ) Л₂-Л₁          Л₂-Л₁

д j .^[Cm1Cem «, Ч1 )cem⁽Ф, Ч1) — ^Cm2^Cem «, Ч2 ^em⁽Ф, Ч2 Я

^Л2 ^Л1

SHZ = Д Д (SТ1 SТ2)= Д Д (SТ«1 сТФ1 S12СТФ2 )

Л₂- Л1           Л₂- Л1

= д j .^[Sm 1 ^Sem⁽«, Ч1)sem ⁽Ф, Ч1) ^{- S}m2^Sem⁽«, Ч2 )sem ⁽Ф, Ч2 )1

^Л2 ^Л1

Выражения (26), определяющие продольные компоненты электромагнитного поля, являются общим решением дифференциальных уравнений (2).

Подставив (26) в (1) и добавив продольные компоненты, получим выражения для всех шести составляющих (четных) гибридных волн

C^E« g + g-e^d (^Л2 -^Л1 )

^Х[ ^jCm 1 Cem (« Ч1 ) ^Cem (^Ф, Ч1 ){ Y 2 ®^k - Ya "^Л2 } ^-

-jCm2Cem (« Ч2 ) ^Cem (^Ф, Ч2 ) { Y2®^{k -}Ya"^Л1 } +

⁺Cm 1 Cem («, Ч1 ) cem (^Ф, Ч1 ){^®c2 ^-Y®2Sk^Л2 } ^-

• -    Cm 2 Cem ( «, Ч 2 ) ^Cem (^Ф, Ч 2 ){^®c 2 ^-Y® 2 ^Sk^Л1}] ,                      ⁽271)

CEФ = 2 2     ----ТГ Г jCm 1Cem («, Ч1 ) Cem (Ф, Ч1 ){ Y 2 ^k - Ya "Л 2 } - g + g_ ed (Л 2 -Л1 )L

• -    jCm 2 ^Cem ( «, Ч 2 ) cem (^Ф, Ч 2 ){ Y 2 ®^{k -}Ya 2^Л1 } ^-

• -    Cm 1 Cem («, Ч1 ) cem (^Ф, Ч1 ){^®c 2 ^-Y® 2 ^Sk^Л2 } ⁺

• ⁺Cm 2 ^Cem (« Ч 2 ) cem (^Ф, Ч 2 ){^®c 2 ^-Y® 2 ^Sk^Л1 } ],              ⁽²⁷2)

  CEZ = —

  ^Л2

  
  
  
  
  
  

  — [^Л2 ^Cm 1 ^Cem (§, qi ) cem (^Ф, q^ ) ^ACm 2 ^Cem (§, q 2 ) cem ( ^Ф, q 2 )] ^,(273) ^Л1

  
  

  CH§

  
  
  
  

  g2g-ed(Л₂-Л1)

  
  

  ^[JCm 1 Cem U q1 H ⁽P, q1 ){®^a2^Л2 ^-Y®2Sk^}-

  
  

  ^{- jC}m2^Cem (§, q2 ) cem (^Ф, q2 ){®^Sa"^Л1 ^-Y®^k} ⁺

^{+ C}m 1 ^Cem (§, q1 ) cem (^Ф, q1 ) { Ya2 ^-®^S2k^Л2 } ^-

^-Cm 2 ^Cem (§, q 2 ) cem (^ф, q 2 ){ Ya 2 ^-®^S 2 k^Л1 } ],

H =

C ф

g +g - ed (Л. ,V )

[ ^jCm 1^Cem (^q1 ) ^Cem (^Ф,q1 ){Y®"^^-®^Sa"^Л2 } ^-

^{- jC}m2^Cem (§, q2 ) ^Cem (^Ф, q2 ) { Y®2Sk^-®Sa^ } +

^{+ C}m 1 ^Cem (§, q1 ) cem (^ф, q1 ) { Ya2 ^-®3^S2k^Л2 } ^-

^-Cm 2 ^Cem (§, q 2 ) ^Cem (^Ф, q 2 ){ Ya 2 ^-®3^S 2 k^Л1 } ],

( 75)

CHZ = .

^Л2

j

— [ ^Cm 1 ^Cem (^ q1 ) cem (^Ф, q1 ) ^{- C}m 2 ^Cem (^, q 2 ) cem (^Ф, q 2 )] • ⁽²⁷6)

^Л1

Здесь Cm₁, Cm2 — амплитудные коэффициенты, cem (р, q₁₂) — обыкновенная функция Матье 1-го рода целого порядка m, Cem (§, q₁₂) — присоединенные (модифицированные) функции Матье 1-го рода (с целым индексом) и cem (р, q₁₂), Ce (§, q₁₂) — производные функций Матье 1-го рода. Параметры функций Матье q₁, q₂ и корни (7) Л_{1 2} определяются, соответственно, по формулам (19), (21) и (22).

Выражения для нечетных волн получаются аналогично, только необходимы следующие замены

С_т 1 —— S_m 1, C_m i — S_m, C Ce —— Se, ce —— se. m1 m1, m2 m2 ,              ,

Для определения произвольных постоянных C_m1, C_m2в (27) используем граничные условия (3). Из (3) следует, что тангенциальные составляющие электрического поля равны нулю на стенках (§ = §₀), ограничивающих эллиптическую область, т. е.

cEz = cE^ = 0, _ sEz = _SE_V = 0.

( 8)

Применяя условие (28) к (27) для EZ и Е_ф, получим:

CE = ^Cm 1 [jCem (^f 0 , qi )cem (^Ф, qi ){ Y®^{k —}Ya 2^Л2 } ^—

‘ - ^Cm 2 [ jCem (^f0, q 2 ) cem (^Ф, q 2 ){ Y ®^{k —}Ya 2^Л1 } ^{—                         (29)}

-^Cem (^0 , q2 ) cem (^ф, q2 ) {^®c2 - Y®2^skЛ1 }] = 0,

C^EZ = Cm 1 Cem (^f0, qi ) cem (^Ф, qi )^Л2 - ^Cm 2 ^Cem (^f0, q 2 ) cem (^Ф, q 2 )^Л1 = ⁰

Равенства (29) являются системой линейных однородных алгебраических уравнений относительно амплитудных коэффициентов Cm₁и Cm₂.

Для существования нетривиальных решений системы (29) ее определитель должен равняться нулю

Cem (^0, q2 )cem (^ф, q2 )^Л1 [jCem (^f0, qi )cem (^ф- qi ){y2 ®^{k —}Ya"^Л2 } —

— Cem (^f0, qi ) cem (^ф, qi ){®^C2— Y® 2^Sk^Л2 }1 ^—Cem (^f0, qi ) cem (^Ф, qi )^Л2 ^X

^]                                (30)

^X |_ JCem (^f0 , q2 ) cem (^ф, q2 ){ Y2®^{k -}Ya"^Л1 } —

^-Cem (^0, q2 ) ^Cem (^ф, q2 ){^®c2 ^-Y®2^Sk^Л1 }] = ^0.

В (30) вынеся за скобки Ce_m (^₀, q₁) в первом слагаемом и Cem fe, q 2 ) — во втором, полученный результат разделим на ^cem ⁽ф, qi ) ^cem ⁽ф, q2 )

-Л1Сп|^0!qЛ ^®² — Y®"ekЛ^+Л2Cem^fS^q²). {ц®е²- Y^skл)+ Cem^(f0,qi)                           Cem^(f0,q2)                          ,

'                                   '                                         ⁽³⁾

, J^cem кФ, qi) „ 2 ,     2д Д jcem VP, q2) „ 2 , ^д дл

+{Y ®k — Ya Л2 }Л17{Y ®k — Ya Л1}Л2 — 0.

. cem⁽P, qi)                       cem⁽P, q2)

Вначале преобразуем первые две слагаемые величины в левой части (31)

Ce' (^,qi),      _{2       2} X       Ce' (^,q2),      2       2 , Л )

-^Л1         \\® - Y® sk^л2 } + Л 2 „ ,----;{ц®с - Y® skЛ3 =

Cem (5g, qi )                             Cem⁽^0, q2 )

= ^-Л1 Cem if” q¹) |® ^k1- Y2 ^-Y®^s ”^Л2 J*                      ⁽³²⁾

Cem (^0, qi Д   I              Ц J J

A Cem⁽^0’ q 2 M   Г 2 k л ^1

+Л 2 77^7---71 Ц®1 кi - Y - Y®s-Л1 l(

Cem (^q2 Д  l           Ц JJ

В (32) выражения в круглых скобках выразим через q₁ (19) и q₂ (21), а затем вместо Л₁ и Л₂ подставим их значения (22). Тогда получим:

Ce' (^с qi )₍      2       2 Л Ce 1 (^0, q 2 )f      2       2 , . )

-Л1 77-77---7 {Ц®с - Y® ^екЛ2} + Л2 77—77---7 {Ц®с - Y® sкЛ1 } =

Cem ⁽^0, qi )                            Cem⁽^0, q2 )

- к . -

+ 1 к1 - Y Y

—

- 4 qi| ц² 4 q2 Cem⁽qi) e²J Y^ske²Cem (^0, qi )

4 q21 Ц² 4 qi Cem (&, q2)

e²J Y^ske²Cem (5q, q 2 ) .

Далее преобразуем третье и четвертое слагаемые выражения в (31) jcem^{y"®к - Ya¹Л2}Л1 - jcem^{ y®к - Ya¹ Л^Л, = cem (^ф, qi )                            cem (^ф, q2 )

= Ya²Л₁Л ₂1

jcem (^ф, q2 ) jcem (^ф, qi )

_ cem (^ф, q 2)    cem (^ф, qi),

> +

+Y²®k<

jcem (^ф, qi )_Л- jcem (^ф, q2 )_Л

_ cem (^ф, qi ) ⁱ    cem (^ф, q2 ) ²

Подставив (33), (34) в (31) и умножив полученное выражение на ^-, Ц ^

имеем:

Г ^2   _v2   ⁴qi ) ⁴q 2 Cem⁽^0, qi )   ^ , 2    2 ⁴q 2 ) ⁴qi Cem⁽^0, q 2 )

-1 к । - Yl+1 к । - Yl

I           e  J e  C^em (^0, qi )  I e J e  Cem (^0, q 2 )

Y ²s^:a²Л]Л ₂

, cem (^ф, q2 )- cem (^ф, qi ), _ cem (^ф, q2 ) cem (^ф, qi )

>+

₊Y³®sk 1 cem (^ф, qi )_Л- ^cem (^ф, q2 )_Л Ц²I ^cem (^ф, qi ) ¹cem (^ф, q2 )

= 0.

Подставляя в (35) A_i и Л₂ из (22), получим

2    2 ⁴qi^А4 q 2 Cem, ( ^0, qi ) Г ,2    2 ⁴q 2 ) ⁴q1 Cem (^0, q 2 )

। - YI                       +1 k । - YI e J e Cem (^0, qi ) I e J e Cem (^0, q 2 )

+

a²

69²sk

■

-

-

-

Y1

-

4q2А f cem (^ф, q2 )- cem (^Ф, qi ), e² J I cem (^ф, q2 ) cem (^ф, qi ),

> +

₊Y²f cem (^ф, qi ) Ц I cem (^ф, qi )

■■ - Y²

4 qi А e2 J

cem^(ф, q2 ) Г 7 2 2 ---71—VI ^k■ - ^Y cem (^ф, q2 a

4 q 2 А e2 J

= 0.

Формула (36) представляет собой дисперсионное уравнение четных волн, полученное в результате решения задачи Дирихле (2), (3). Отметим, что (36) имеет вид, аналогичный полученному для кругового гиротропного цилиндра [6].

Чтобы получить дисперсионное уравнение для нечетных волн, в (36)

надо сделать замены

Cefe, qi,2) ^ Se^fe, qi,2 )>Ce fe, qi,2) ^ Se ^fe, q^) _ce(р, qi,2) ^ se(р, qi,2), ce (р, qi,2) ^ se'(р, qi,2),

<

где sfe qi,2) и Sefe, qi 2) — нечетные присоединенные (модифицированные) функции Матье i-го рода (с целым индексом) и их производные, se(p,qi 2) иse (р,qi2) — нечетные обыкновенные функции Матье i-го рода целого порядка m и их производные.

Заключение

Решение задачи Дирихле для уравнений Гельмгольца в гиротропном волноводе в строгой постановке приводит к большим затруднениям из-за громоздких выражений для компонент электромагнитного поля. В то же время в работе [i i] для круглого продольно намагниченного ферритового волновода показано, что решения краевых задач методом укорочения исходного дифференциального уравнения полностью совпадают с решениями задачи в строгой постановке и образуют полные решения краевых задач для ферритовых волноводов.

В данной работе впервые осуществлена адаптация метода укорочения исходного дифференциального уравнения для случая эллиптического волновода с ферритовым заполнением при продольном намагничивании. Полученные результаты позволяют исследовать различные характеристики распространения ЭМВ в эллиптическом гиротропном волноводе при продольном намагничивании и поставить задачу идентификации параметров намагничивающего магнитного поля и управляемых переменных, характеризующих «свойства заполняющей пространство ферритовой среды», в заданном классе функций. В частности, провести исследование зависимости постоянной распространения ЭМВ от свойств заполняющей волновод ферритовой среды и параметров намагничивающего магнитного поля.

Основные выводы таковы:

• 1.    Поставлена и решена задача Дирихле для уравнений Гельмгольца с целью нахождения компонент электромагнитного поля в гиротропном эллиптическом цилиндре с продольным намагничиванием.

• 2.    На основе решения задачи Дирихле получены дисперсионные уравнения ЭМВ, позволяющие проводить исследования распространения гибридных в эллиптическом гиротропном волноводе, такие как установление зависимости постоянной распространения ЭМВ от свойств заполняющей волновод ферритовой среды и параметров намагничивающего магнитного поля.