Задача Коши для линейного дифференциального уравнения с сингулярными коэффициентами

У авторов статьи интерес к исследованию линейного дифференциального уравнения n -го порядка с сингулярными коэффициентами, зависящими от 5 -функций Дирака, возник в связи с рассмотрением гибридных систем дифференциальных уравнений (ГСДУ), состоящих из обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. К рассмотрению ГСДУ приводит применение для построения уравнений динамики механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами вариационного принципа Гамильтона [1-6]. Исследование ГСДУ, описывающих обобщенные математические модели механических системы, для которых расчетными схемами исследования является твердое тело (или система твердых тел), соединенное упругими связями со стержнем, проводилось в работах [2-4]. Общие теоретические основы исследования таких ГСДУ приведены в [5; 6]. Предложенный подход к исследованию собственных колебаний получил дальнейшее развитие в работах [7; 8].

Следует отметить, что актуальность проводимых исследований также связана с приложениями, в которых математические модели описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, зависящими от 5 -функций Дирака. В частности, такая математическая модель предлагается в [9] для исследования импульсного температурного воздействия на термистор в последовательном колебательном контуре. В целом проведенные в [9] исследования математически строго не обоснованы, порой некорректны, а сделанные выводы вызывают сомнение, что скорее всего связано с тем, что статья написана специалистами в предметной области при отсутствии общих теоретических основ исследования таких уравнений.

В данной работе с использованием математического аппарата теории обобщенных функций [10] исследуется задача Коши для линейного дифференциального уравнения n -го порядка с коэффициентами, зависящими от 5 -функций Дирака. При этом предложен общий подход к решению такой задачи.

1 Постановка задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение: dnx          тгш       dd"-1 х^\ a" ~^d(t) +(a'-i + ^(bn-1^(t- т‘^ ,/,n^ (t) + - + dt                  i =1                   dt mdx          m

+ ( a i + E b i £ ( t ^{- т} , ))у( t ) + ⁽ a о + £ v⁽ t ^- т )) x ⁽ t ) = ⁰, 7 = 1            dt           tf

(i) где x ( t ) e R ’; a i ( i = 0,1,2,..., n ), b i ( i = 0,1,2,..., n - 1) — постоянные коэффициенты; S ( x - т ) — функция Дирака.

Для уравнения (1) рассмотрим задачу Коши с начальными условиями:

) = х dx(_t\ _{= х} ⁽¹⁾ dn ^{1 x} (_t} = у ^{n -1)}

0 ) x 0 , dt ⁽ t 0 ) x 0 ,..., df¹ - 1 ⁽ t 0 ) , x 0      .

Представим уравнение (1) в виде dnx     .      dn-1 x          , dx , a„----(t) + a„ i-----Ht) +... + a, —(t) + anx(t) = n dtn          n-1 dtn-1               1 dt 0

n ^{- 1 - 1}Y

= - £ [ b n - 1 drx ( t ) + ... + b i d - ( t ) + b 0 x ( t ) l 3 ( t - t , ). i = ¹ \                                                          J

Введя дифференциальные операторы

T / \ n .            n -1 . .           .                 I ^d / \

L 0 = ^a n P ⁺ a n - 1 P ⁺ ... ^{+ a} 1 P ⁺ a 0 ,     I P = -Г0

\ dt

L(', b) = bn--1РП-1 + bn--2 РП-2 + ... + b1 P + b0, 1P = d (-), Ь = (Ь0, b1,..., bn-2, bn-1) 1 , \ dt                           J запишем уравнение (3) в операторной форме:

m

L ( x ( t )) = - £ L ( x ( t ), b i ) 5 (t - t , )).                     (4)

i = 1

Решение дифференциального уравнения (4) следует понимать в обобщенном смысле.

Введем понятие обобщенного решения дифференциального уравнения

• (4) . Для этого рассмотрим множество K основных функций:

K = { ^ ( - ): ^ (0 e C „ , [ 1 0J .

Определение 1. Функцию x ( t ) назовем обобщенным решением дифференциального уравнения (4), если для любой основной функции ф ( - ) e K имеет место тождество:

го

I t 0

m

L ⁽ x ⁽ t ⁾⁾ ^ ⁽ t ) dt = - £ L ⁽ x ( т ), b i ) ^ i ).

i = 1

Определение 2. Под решением задачи Коши для дифференциального уравнения (4) с начальными условиями (2) будем понимать функцию x ( • ) е C n _{- 1} [ t_o T ] , если функция x ( t ) удовлетворяет начальным условиям (2) и для любой основной функции ф (9 е K удовлетворяет тождеству (5).

• 2    Представление для обобщенного решения линейного дифференциального уравнения

Теорема 1 . Общее обобщенное решение x ( t ) = x ( t , c 1 , c ₂,..., c n )уравнения (4) может быть представлено в виде суммы:

x (t) = x (t) + x( t) ,(6)

где x ( t ) = x ( t , c 1 , c ₂,..., c n ) — общее решение однородного уравнения

L (x (t)) = 0,(7)

а x ( t ) — функция, удовлетворяющая соотношению:

m

x( t) = -£ G (t - t^ L (x (Ti), bi).(8)

i = 1

Здесь функция G ( t ) некоторое обобщенное решение уравнения:

L (G (t)) = 3( t).(9)

Доказательство : в том, что представление (6) является обобщенным решением дифференциального уравнения (4), убедимся непосредственной подстановкой (6) в левую часть (5). Учитывая, что x ( t ) решение однородного уравнения (7), получим:

∞∞∞ jL(x(t))^(t)dt = J (L(x(t) + x(t))^(t)dt = JL(x(t) ^(t)dt.

t 0                                     t 0

Представим (8) в виде:

t 0

∞ _m

x(t) = -(£G(t - t)L(x(t),bi)3(t - Ti)d£ .

t i = 1

1 0

Подставим (11), в правую часть соотношения (10). Далее, меняя порядок интегрирования и учитывая (9), получим:

от                             отот m jL(x(t))ф(t)dt = -jj^L(G(t -S)) • L(x(S),bi)^(S - т)<Хфt)dt = t 0                                         t 0 t0 1 = 1

отот

= - jj s ( t - s ) - X L ( x ( S ), b i ) ^ ( S - T ) d Sv ( t ) dt =

I = 1

t 0 t 0

от m

= -jXL(x(S),bi) ^(S -T) jФ(t)S(t - S)dtdS = t0 i=1

от mm

= - jX L ( x ( S ), b ) ф ( S ) ^ ( S - t ) d S = - X L ( x ( t ), b ) - ф ( t ),

10 ' = 1

что совпадает с правой частью (5).

Таким образом, для общего обобщенного решения x ( t ) дифференциального уравнения (4) справедливо представление в виде суммы (6). Теорема доказана .

Замечание 1 . С учетом (8) для общего решения дифференциального уравнения (4) x ( t ) = x ( t , c 1 , c ₂,..., c n ) справедливо представление:

m x(t) = x (t) -X G(t - t)L(x(t ) b ), (12) где x(t) = x(t,c1,c2,...,cn) — общее решение однородного дифференциального уравнения (5).

При дальнейших исследованиях будем использовать обобщенное решение уравнения (7) G ( t ), удовлетворяющее условию G ( t ) = 0 при t <  0. Для этого воспользуемся теоремой о нахождении фундаментального решения линейного дифференциального оператора [10].

Теорема 2 . Обобщенное решение уравнения (8) G ( t ) можно представить в виде:

G ( t ) = g ( t ) 0 ( t ) ,	(J3)
где в (x ) — классическая функция Хэвисайда С 0,       t <  0 0 ( t ) = ’ [ J,        t >  0, а g ( t ) частное решение однородного дифференциального уравнения Lg ( t ) = 0, удовлетворяющее начальным условиям:	(J4) (J5)
ds           dn ~2s          d"-1s       1 g (0) = 0, dg (0) = 0,..., g (0) = 0, —- g (0) = -. dx          dx           dx        a n	(J6)

• 3    К нахождению решения задачи Коши

Представление общего решения (12) дифференциального уравнения (4) с учетом (13) запишем в виде: m

x ⁽ t ) = ^{x (} t ) - Е g ⁽ t - ^T i ) ^{9 (}t - T ) L ⁽ x ⁽ т ^), b ) •              ⁽¹⁷⁾

I = 1

Из представления (17) с учетом определения функции Хэвисайда (14) следует:

при 1 ₀ <  t <  T 1

x ( t ) = x ( t ) •                                                        (18)

В силу (18) следует справедливость утверждения.

Утверждение 1. Для выполнения начальных условий (2) для уравнения (4) должны выполняться начальные условия для решения x ( t ) = x ( t ) однородного уравнения (5).

В дальнейшем будем считать, что x ( t ) решение однородного уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Из представления (17) с учетом определения функции Хэвисайда (14) следует:

при T 1 <  t <  т ₂

x (t) = x (t) - g (t - T1) L( x T1), b 1)

при T k — 1 < t < T k    ( k = 3,4,..., m )

k - 1

x(t)=x(t) -Е g(t- т) L(x (T ^ b)

l = 1

при любом t >  T m

m

x(t)=x(t) -Е g(t- т) L(x(t ), b).

I = 1

Продифференцируем представление (19) n - 1 раз: ^x ( t ) = ^x ( t ) ^- g ( t ^{- T} 1 ) ^{L ( x} ( ^T 1 ), b ) dx ( t ) = d x ( t ) - dg ( t - t ) L( x ( t i ), ь ¹) dt dt dt

‘ dn-1 x_ dn-1 x.. dgn-’              , , ,,.

-Z n -T⁽ t ) =       ⁽ t ) -       ⁽ t - ^T ' ^{L (} x (^ ^b ).

ttt

Умножив в (22) первое выражение на b0, второе на b ,..., n -е выражение на b^, далее сложив, получим: ^s                                   >^z                                   >^z>^г

L(x(t),b') = L(x(t),b1) -L(g(t -тДb') • L(x(tJ,b’).

Поставив в (23) t = T1, найдем х^х

L ( x ( T 1 ), b ')

х^х

L( X ( т ), b ’)

х^х

1 + L ( g (0) , b ’)

Отсюда, учитывая, что в силу условий (16) справедливо: ^{1 1}

L ( g ( 0 ) , b 1 ) = b n - ¹- ,

n получим

a

L ^{( x} О зХ ^b ) = —Д- L ^{( x} дх b ). a_n + b n - 1

Продифференцируем представление (20) n - 1 раз:

k - i

^{x (} t ) = ^{x (} t ) ^- E g ⁽ t ^- T ) ^L( x ⁽ T ), b i )

i = 1

dx ( t ) = d x ( t ) - E '. ( t - T ) L ( x ( t ), b )

• <    dt dt         i = 1 dt

dd n - x ( t ) = r x ( t ) - g dg ( t -T ) L ( x t ).n dt^{n - 1}           dt^{n - 1}         ft dt^{n - 1}          i^{7 v} i ’’ ’

Умножив в (25) первое выражение на b k ¹ , второе на b k ¹ ,..., n -е выражение на ^ 1 , далее сложив, получим:

k - 1

Lx ( x ( t ), b^{k - 1} ) = L ( x ( t ), b^{k - 1} ) E L ( g ( t - t ) , b^{k - 1} ) • L ( x ( t ), b i ) . (26)

i = 1

Выделив в (26) в сумме последнее слагаемое к-2 ~

L (x (t), bk-1) = L% (x (t), bk-1) - E L (g (t - Ti), bk-1) • lx (x Д), bi) - i=1 xxx

• -    L ( g ( t - T k - 1 ) , b k ^{- 1} ) • L ( x ( T k - 1 ), b k ^{- 1} ),

подставим t = T k _ 1

k - 2

^{L ( x ( T} k - 1 ), b ^{- 1 )} = L ^{( x( T} k - 1 ), b ^{- 1 ) -} E ^{L (} g ^{( T} k - 1 ^{- T} i ) b i ) ■ ^{L( x} ( T ), b i ) ^-

i = 1

XxX                                       x^x

• -    L ( g ( 0 ) , b k ^{- 1} ) ■ L ( x ( T k - 1 ), b k ^{- 1} ).

В силу условий (16) имеем bk-1

L ( g ( 0 ) , b ^{k - 1} ) = b n -L .

n

Таким образом из (27) получим:

к - 2

L ( x^{( т} к —J , b ^{- 1 )} = L ⁽ x ^{( т} к — 1 ), b ^{- 1 )} — Е L(g ⁽ t — 1 - т ) b ^{- 1 )} • L ( x <л), b i ) - i = 1

- b • L ( x ( T k - 1 ), b^{k - 1} ). a_n

Отсюда следует, что при к = 3,4,

m

L ( x( T k - 1 ), b ^{- 1} )

a_n + Ь П X

Л                      к - 2                                       A

•I ^{L (} X^{( T} k _ 1 ), b^{k - 1 )} " E ^{L (} g^{( T} k - 1 ^{- T} , X ^b k ^{- 1 )} • ^{L (} x T )b) | .

X                            i = 1                                                  J

Аналогично из представления (21) найдем:

L ( X ( T m ), b m ) =

a_n + b m - 1

/                   m -1                                       A

•I ^{L (} x ^{( T} m X ^b m ) - E ^{L (} g ^T m - ^Т Д ^b m ) ^ ^{L (} X T ), ^b‘) | -

X                        i = 1                                               J

Заметим, что (29) совпадает с (28) при k = m + 1, поэтому для вычисления L ( x ( T _m ), b^m ) можно воспользоваться формулой (28). Полученные соотношения (24), (28) представляют собой рекуррентные соотношения для нахождения L ( x ( T i ), b i ), входящие в представление общего решения (17) дифференциального уравнения (4).

Таким образом, решение задачи Коши (1)-(2) может быть найдено согласно представлению (17) в виде:

m x (t) = x(t) - E g(t - T,) 0( t - T,) L(x (Ti), V),              (30)

i = 1

где x ( t ) — решение однородного уравнения (5), удовлетворяющее на

чальным условиям (2). Входящие в (30) значения L ( x ( T i ), b i ), ( i = 1,2,..., m ) находятся из рекуррентных соотношений:

L ( x ( T 1 ), b ')

L ( x ( T 1 ), b 1 )

^, 1 + L ( g (0) , b ¹)

L ( x( T k - 1 ), b ^{- 1} ) = -

a n

• an + bk- k-2

•I L⁽ x ^{( T} k _ 1 ), b^{k - 1 )} - E ^{L (} g ⁽ t

X                                 i = 1

^{- T} , X b^{k - 1 )} • L ^{( x ( t} , X b i ) | ,

k = 3,4,..., m + 1.

Заключение

В работе получено аналитическое представление (30) решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n -го порядка с переменными коэффициентами, зависящими от дельта-функций Дирака. Входящие в решение значения дифференциальных операторов в точках сингулярности эффективно вычисляются с помощью выведенных рекуррентных соотношений (31). В отличие от существующих прикладных исследований (например, работы [9]), где модели импульсных систем часто строятся без строгого математического обоснования, предложенный подход опирается на классический аппарат теории обобщенных функций. Это гарантирует математическую строгость и исключает некорректность моделей на уровне дифференциальных уравнений. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в построении универсального алгоритма нахождения обобщенных решений для уравнений произвольного порядка. В свою очередь, практическая значимость состоит в возможности непосредственного использования выведенных рекуррентных формул при численном моделировании динамики механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, а также при анализе электрических цепей с дискретно-континуальными характеристиками.