Задача Коши для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения

К нагруженным относятся уравнения вида Lu + Tu = f, где L — некоторый оператор (дифференциальный, интегральный, общего вида), рассматриваемый в области QcRn(x 1,x2,...,xn) a T— оператор, дейст- вующий на u(x) на многообразиях размерности меньше, чем n, т. е. оператор следа искомого решения. Такие уравнения находят практическое применение в задачах прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, влагосодержания в почвогрунте, при решении различного типа нелокальных и обратных задач [1-2].

Исследовали такие уравнения, а также редуцируемые к ним задачи, А. М. Нахушев [1] (теоретико-методологические и практические исследования), Л. И. Сербина [2] и М. Х. Лафишев [3] (теоретико-практические исследования), Е. И. Моисеев [4] (спектральные вопросы и связи с уравнениями смешанного типа) и многие другие ученые.

Рассматриваемая нами задача относится к классу задач, актуальных как с точки зрения однозначной разрешимости, так и практических задач прогноза («нагрузка» определяет дискретное воздействие на процесс в точках «нагружения»), рассмотрения спектра таких задач.

Постановка и исследование задачи

Рассмотрим нагруженное уравнение вида:

sign У uxx + uyy + Z n=i a-(x, У)u(x, У) = 0, где ai e C(Q), Vi = 1,2,...,n, Q — конечная область плоскости x, y, ограниченная характеристиками AC: x + y = 0, BC: x - y = 1 уравнения и промежутком I = АВ. Точки «нагружения» (xi; yi) e Q фиксированы.

Рассмотрим задачу Коши: определить регулярное решение уравнения, удовлетворяющее краевым условиям:

u(x,0) = т(x), x e I, т(x) e C(I) n C2 (I), то a„ = 1 + У ав n               =1 iri

u_y ( x ,0) = S ( x ), x e I , S ( x ) e C ¹ ( I ) . Лемма. Если определитель

1 + а1 в1 а 2 в1     . ..     апв1 А п = а1 в2 . 1 + а 2 в2 . .. ..    а„в2 ..                . а1 вП а1 вп     . .. 1 + а„в„ а алгебраические дополнения элемента i-й строки и j-го столбца определителя равны:

А

⁽ i , j )

n

1 + Z : = 1, j-A .

7аА> i * j.

i = ^j ,

Доказательство проводится по индукции [5], используя рекуррентное равенство вида: А n = T n + А n - 1 . В области Q уравнение принимает вид:

uyy - uxx + 2=1 ai (x ’ У) u (xi , У-) = 0"

По формуле Даламбера получаем:

т(x + y) + т(x - У) 1 Г x+У          1 t^ fx+У — t^—n

u =------------------- + —    <9( t) dt — dt\    2 ai (z, t) u (xi, yi ) dz.

2              2 x- - у           2 Oo x- - у + t^^i = 1

Введем обозначения:

,   . т( x + y) + т( x - У) 1 I-+У»,.,

• Y( x, У ) =----,---- + -J 9( t) dt,

• 2             2 x--у

в, (x, У) =1 [ dt f у ai (z, t) u (xi, yi) dz.

2 oo x^{- -} y + t

Тогда уравнение можно переписать:

u (x, У ) = Y( x, У ) - 2n=iв,(x, У ) u ( xi, yi).

Полагая последовательно ( x , y ) = ( x i , y i ), i = 1,2,..., n , получим систему линейных относительно неизвестных u ( x i , y i ) уравнений вида:

u (xi-, У.) = Y (xi-, У.) - 2”=1 ej(xi, У,)u (xj, Уj) .

Обозначив u, = u(x, , у, ), y, = Y(x, , у, ), Pij = ej (xt, yt), можно ра- венство переписать в виде:

∑ ⁿ

j=1 Pijuj = Yi, i = 1,2,..., n.

По лемме, определитель этой системы:

Δ

1 + P 11 P 12

P 21

1 + в 22

P n 1

P n 2

=1+2 "=1 в,.

P 1 n

P 2 n

1 + Pnn

Следовательно, справедливо утверждение о разрешимости и единственности решения рассматриваемой задачи Коши.

Теорема. Задача Коши имеет решение если только:

∑n    yi     xi+yi-t idt ii

¹ = 1 0 о      J x i - У , + 1

ai ( z , t ) dz ^- 2.

При выполнении этого условия значения нагрузок определяются по формуле:

• u, = u (x ., y,) = -12 n=1 а(П ,j Yi.

n

Следствие. Если коэффициенты постоянные, то задача Коши однозначно разрешима лишь при 2 ”=] а,У2 ^-2 • Если они все неотрицатель- ны, то задача всегда разрешима единственным образом. Нарушение условия ведет к нарушению единственности решения задачи.

Например, для уравнения u_yy - u_xx - 32 u ( x ₀, - 1/4) = 0 рассмотрим задачу Коши с нулевыми данными (нарушено условие единственности). Любая функция u ( x , y ) ≡ 16 cy ², с = const , является решением задачи.

Заключение

Для рассматриваемого класса уравнений, имеющих практическое приложение, исследована впервые классическая задача Коши. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи (в классическом смысле регулярного решения). Результаты могут быть применены как для прогноза реальных процессов, так и для идентификации точек «нагружения», в которых можно управлять процессом. Это позволит рассматривать далее интересную задачу: найти точки («нагружения»), по которым возможно построение аппроксимаций, оптимальных в некотором смысле (например, минимального уклонения).