Задача Коши для одного класса эллиптических уравнений

Классическая теорема Коши–Ковалевской дает существование и единственность решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных с аналитическими коэффициентами. Однако существование решения гарантируется только в малом. Здесь будет изучаться задача Коши для одного узкого класса уравнений, но решение будет получено и в целом. Решение в целом получается за счет того, что уравнение рассматривается в комплексном пространстве.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение д2 u дzz

= - L ( u )

m где L (u ) = ^ Ajl (x1

j , i = 1

д2 u xm )      , причем при вещественных значе-

5Xj дxl ниях переменных x1 ,x2 ,...,xm коэффициенты Ajl вещественны и уравне- ние (1) эллиптично. Все коэффициенты Ajl аналитичны в некоторой об- ласти голоморфности В из пространства Cm m независимых комплексных переменных x1 ,x2 ,..., xm . Точку x1 ,x2 ,..., xm пространства Cm иногда для краткости обозначаем Х.

Задачу Коши будем изучать в следующей постановке: найти голоморфное решение и уравнения (1), удовлетворяющее условиям

U , . о = f ( X ),      „о = g ( X ),                  (2)

дz где f и g - функции, голоморфные в некоторой области голоморфности А с B из пространства Cm : {z = 0}.

Доказательство основных теорем

Пусть область голоморфности начальных данных (2) А является полицилиндром D : {x 1| < '1,..., |xm| < rm }. Будем искать решение задачи Коши в виде степенного ряда по z :

ю и (z, X) = £ z-Cn (X).

- = 0

Подставив (3) в (1) и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях z, получим c-+2< x ) = —;—^—l (с-).

( - +1)( - + 2)

Отсюда следует, что решение задачи Коши формально можно записать следующим образом:

2-- и (z, x) = £ (-1) - — W (f) + .   /' (g A     (5>

; = ;        (2 - )! (           2 - + 1 J

Исследуем сходимость рядов, входящих в формулу (5). Для этого оценим |l- (f )|. Непосредственным подсчетом находим, что L- (f) является суммой не более чем [2m(m +1)]- выражений вида д i д f пx^-.Sxm;  дх\'...дxm ,

A1 + ... + mm = "r, V1 + ... + Vm = V Z "r + V = 2-.

r

Возьмем произвольную точку Xa = (x 1a,..., xma) полицилиндра D. То гда функции Ajl и f голоморфны в полицилиндре

Da : {x 1| ^ Г1 - lx 1а ^...,|xm | ^ rm — xma }- Далее полУчим в точке Ха оцен- ку:

д " ' А,

д x m ¹ ... д x m m

Положив p = min( px,

...

, Pm), M = maxift M = max)f}, Da                    J,l,Da окончательно найдем

п

Л

d

•

d^v f

д x ^ ¹ ... д x ^ m

(2 n )!

< ^^M 1^{2 n}M , P

так как v!-.'V m !< v!, ^1!-.^m !< ^r !, ^ ^r + v = 2 n, v!]^ Ar <(2 n).

r

Поскольку L"(f) содержит не более [2 m ( m +l)] ⁿ слагаемых такого вида, для Lⁿ(f) получаем оценку:

| L n ( f ) <  (2 n )!(

V ^{2 m ( m} + 1) M 12 n ., ------------------) • M .

p

Из оценки (7) следует, что ряды (5) сходятся абсолютно и равномерно в круге

^K a : 1 | z | <  P ^{[ 2} m ⁽ m + ^{1) ]} - ^{2 M} 1 - ¹ , ^x 1 = ^x 1 a ,

...

, xm = xma

.

Пусть точка Х а пробегает весь полицилиндр D. Образуем объединение V ( D ) всех К а , X _a &  D . Ряды из формул (5) сходятся абсолютно и равномерно в V ( D ) . V ( D ) , как и в случае уравнения Лапласа, содержит некоторую открытую в C ^m+ окрестность множества D.

Всякую голоморфную в полицилиндре D функцию f можно представить следующим образом:

f ( x ) =       f

(2 n i ) ^m Г

f ( t 1 ,

...

, t m )

⁽ t 1 - * 1 )...⁽ t m ”.x m )

(2 n i ) ^m

•

j { Gz , t ^{- x} 1 ^,.. t m

Г

- ^x m ) ^{f(t ,}-^{, t} m ) + ^{H (} z , t 1 - ^x 1 ^,...^{, t} m ^{- x} m ) g ^(t 1 ^,.-.,^t m ^{) } dt}V^dt m ,

где

”         2 n

G = V(- 1) ⁿ^L ⁿ (.

(2 n )!

n = 0

⁽ t 1    ^x 1 )...⁽ t m   ^xm )

«

H = 2 ( - 1) '

n = 0

2 n + 1                          I

—----L n (---------------).

(2 n + 1)!    \t 1 - X 1 )...(t m - X m У

Порядок суммирования и интегрирования здесь можно менять в силу тех же соображений, что и в случае уравнения Лапласа. Функции G и H относительно переменных z, x 1 ,^, x m являются решениями уравнения (1).

5H

Так как эти функции удовлетворяют соотношению G = ---, области их

5z голоморфности совпадают.

Точно таким же образом получается следующее представление для решения задачи Коши в случае, когда вместо кругового полицилиндра D областью голоморфности начальных данных f и g является произвольная полицилиндрическая область P :

u ( z, X) =

1 (2 n j m

В где B - остов границы P.

Для решения задачи Коши можно дать формулу другого вида. Пусть А - произвольная, ограниченная область пространства С и функция f g L2(A), т.е. интегрируема с квадратом модуля по области А. Всякую голоморфную в А функцию f g L2 (A) можно представить как

f ( X ) = J K ( . X „..., X m , ( „..., ? , ) f ( t „..., < m ) d m ,               (11)

A где K(X, T) - керн-функция области A, a dm - элемент объема в пространстве Cm.

Воспользовавшись формулой (11), точно так же, как выше использовалась интегральная формула Коши, для решения задачи Коши получим следующее представление:

u ( z , X ) =[| F ( z , X , T ) g ( T ) + ^{5 F ( z,X} , T ) f ( T ) I d m , Al                 ^&

где

( X ) = ( X 1 ,..., X_m ), T = (t 1 ,...,t m ), T = (t 1 ,...,t m ) ,

TO

2 n + 1

z

(2 n + 1)!

L n ( K ( X , T )),

F (z, X, T) = 2 (-1) n n = 0

т.е. F(z, X, T) является решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям

F (0, X , T ) = 0,         S F C z ^ X^ | z = 0 = K ( X , T ) .

dz

В частности, для полицилиндра D имеем

2     2 то                 2 n+1

F ( z , X , T )

= r^rm- У (-1) n —----Ln (--------1), n -   7 (2n +1)! \r -хЛ)...(rm -xmtm/ а для гипершара –

-       R 2 ”          2n n + 1      Г mTm

F(z,X,T) = m^y У(-1)n—----Ln (R2 -У xrtr   ).

nm n^0      (2n +1)!    L     r^1

Таким образом, воспользовавшись формулой (10), получим две теоремы.

Теорема 1. Существует область голоморфности H(D) из пространства C ^m+1 такая, что каковы бы ни были начальные данные fug, го ло морфные в полицилиндре D и непрерывные в замкнутом полицилиндре D , решение задачи Коши голоморфно в области H(D).

Теорема 2. Если начальные данные аналитически продолжимы из D, то решение задачи Коши аналитически продолжимо из области H(D). Для каждой точки Х границы В области H(D) существует решение уравнения (1), голоморфное в H(D), удовлетворящее начальным данным, голоморфным в D, и имеющее особенность в точке Х.

Заключение

Итак, нами получено решение задачи Коши в целом для некоторого класса эллиптических уравнений за счет того, что уравнение рассматривается в комплексной области.