Задача Коши для системы параболических уравнений в анизотропных пространствах Зигмунда

Значительное влияние на развитие исследования разрешимости задачи Коши для параболических уравнений второго порядка оказала работа А. Н. Тихонова [1]. В ней он установил единственность решения уравнения теплопроводности с нулевой правой частью в некоторых классах экспоненциально растущих функций. Дальнейшему развитию и обобщению результатов работы А. Н. Тихонова посвящено множество исследований, например [2],[3] и другие.

С. П. Дегтярёв установил единственность решения задачи Коши для параболических уравнений с дробным порядком дифференцирования в анизотропных пространствах Гёльдера и показал корректность постановки такой задачи [4]. И. В. Женякова и М. Ф. Черепова получили оценки фундаментального решения, найденного методом Леви для параболического уравнения с Дини-непрерывными коэффициентами в многомерном случае [5]. Для параболических систем вопросы существования и единственности решения задачи Коши детально изучены в работах [6]-[8]. С. Д. Эйдельман получил оценки для параболических систем в нормах анизотропных пространств Гёльдера с нецелым показателем гладкости [9] и изучил свойства фундаментальных матриц решений. Е. А. Бадерко и М. Ф. Черепова установили единственность классического решения параболической по Петровскому системы второго порядка в классе функций Тихонова в предположении ограниченности и Дини-непрерывности коэффициентов системы [10].

В работе [11] приведены оценки решений задачи Коши в анизотропных пространствах Зигмунда для уравнения теплопроводности. Для параболических уравнений второго порядка известно [12], что, если для целого показателя взять вместо пространств Липшица C ^1-1,1 (D) взять анизотропные пространства Зигмунда H i (D), то для решений задачи Коши получается шкала гладкости, аналогичная шкале гладкости параболических пространств Гёльдера C ^1,a (D). В настоящей работе установлены для систем параболических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами оценки потенциала Пуассона, которые используются для построения шкалы гладкости решения задачи Коши для параболических систем в пространствах Зигмунда H l (D) и в пространствах Зигмунда с весом H mm l) (D).

∂u i ∂t

mn

EP     д2 uj aijkr ∂x x , j=1 k,r=1

i = 1, m,

u| t=0 = ^.

Параболическая система (1) рассматривается в слое D = Rn х (0; T), 0

n

|| ^2 aijkr ^CTk ^CTr 11^=1 k,r=1

—

λ

...

0 λ

...

...

а)

удовлетворяют неравенству ReA < —5 с некоторой положительной постоянной δ.

Пространства Зигмунда H_a(D), a Е Z, a > 0, определим с помощью соответствующих пространств Липшица заменой в нормах разностей первого порядка Af на разность второго порядка A²f [11]. Введем следующие обозначения

Axf(x) = f (x + Ax) - f (x), AXf (x) = f (x + 2Ax) - 2f(x + Ax) + f (x).

Аналогично определяются первая и вторая разности по аргументу t.

Определим в пространстве Hq(D) = L^D) норму |f |o d = vrai sup|f|.

,D

Норму в пространстве Hi(D) обозначим следующим образом:

[f]

1,D = sup D

^|AX^f(x,t)| |Ax|

+ sup D

AfExJ) |At|^1/2

Положим для a = 1, 2

hfiα,D

= sup D

a f (x,t)i |At|^a/2

Для целых a > 2 нормы и полунормы определим следующим образом

[/]a,D =   £   |dkdSf(x,t)|1,D, hfia,D =   £   (<4dsf(x, t»₂,D.

k+2s=a-1                             k+2s=a-2

В случае, когда a — натуральное

|f |a,D =   X SUp|dk dsf (x,t)| + [f]a,D + (f ia,D.

D k+2s

Пространства Зигмунда функций f (x, t), которые определены в слое D и имеют в ней все производные dXdSf (x,t), причем |k| + 2s < a, с конечной величиной |f |_а,D обозначим Ha(D), а в локальном случае — Ha(D).

Определим в слое D пространства Зигмунда с весом H,(^b)(D). Введем следующие обозначения:

|f |<^bD = vrai sup t^max(b,0)^/2|f |. ,_D

Для натуральных a и целых b ≥ -a положим

^[f]a^bD =   X sup^;

|k|+2_S=a-1^(x,t^)GD

ta+b^|AX^dk^dt^{f (x,t)|}

|Ax|

+

+

E |k|+2s=a-1

a + b sup t 2

(x,t)eD, 0-t

|Atдkx dtf (x,t)| hfi^D

1+b sup t 2 (x,t)eD, 0

|Д₍/(x,t)| IWtI¹/²

hf b =

E |k|+2s=a-2

a + b sup t 2 (x,t)eD, 0

№£ 8tf (x,t)I I At|

, при

a > 2,

If= X d8®f(x,t)l0Ts^+b)+ [f+ hf>£D, при b > 0, |k|+2s

I it'D = If Ud +  X  Йa,^sf (x, t)®^ + f + hf iO,D,

|k|+2s

при b < 0.

Пространства функций f (x, t), определенных в слое D и имеющих в ней все производные д^dtf (x, t), где |k| + 2s < а, для которых величина I f I a D конечна, обозначим H^^b)(D) в случае целых а > 0, b > -a. Нижний индекс a в этом обозначении указывает локальную гладкость, а величина (—b) — гладкость в шкале Зигмунда в замыкании слоя D.

Пусть Z(x — ^; t — т) — фундаментальная матрица решений системы (1). Согласно [13, с. 27] элементы матрицы Z(x — £; t — т) определены и непрерывны в слое D и бесконечно дифференцируемы при t > 0 и справедлива оценка

(n + m)        | ^{x —}I ²

I^Z(x — е; t — т)I < Cm(t — т)^-e-^^^-^, m > 0,     (2)

где C_m, c_m— некоторые постоянные.

2 Оценки потенциала Пуассона

Рассмотрим для функции ^ G Ho(Rⁿ) потенциал Пуассона вида

Доказательство. Рассмотрим следующие случаи: l = 0 и l > 0. Пусть l = 0, тогда при |k| > 0 справедливо

- y,tW⁽y^)dy<

|k|-n         |x-y|²

Ckt2e-ck t |^|₀dy <

Rⁿ

dkn^(x,t)| = J kZ Z (x

Rⁿ

|k|-n                 |x-y|²                                   |k|

< Ck Ы0 t2 J e-k t dy = Ck Ио t-"2 .         ⁽⁴⁾

Rⁿ

Пусть l > 0. Так как в области D потенциал Пуассона (3) удовлетворяет системе (1), докажем следующие оценки для производных по- тенциала (3):

|dkn^(x,t)|< C, |k|

Adkn^(x,t)|< C|Ax|, |k| = l - 1,(6)

|dkn^(x,t)|< Ct-, |k| >l,(7)

|Atdkn^(x,t)|< C|At|1/2, |k| = l - 1,(8)

|A2dkn^(x,t)|< C|At|, |k| = l - 2 (при l > 2),(9)

С целью упрощения записи оценок будем считать, что C = Co |у |_zd, где C0 не зависит от ϕ.

По определению потенциала Пуассона (3) с учетом свойств свёртки получим оценку (5):

|dkn^(x,t)| = j dkZ(x - y,t)dyy(y)dy

Rⁿ

< Cot n Wh j e ^c0

Rⁿ

|x-y|²

dy ≤ C

при |k| < l.

Если |k| = l - 1, то используя условие на функцию у, получим оценку (6):

|AXdkn^(x,t)| = j AXdkZ(x - y,t)V(y)dy

Rⁿ

j ^{Z(x -}y^,t)AX^dk^⁽y)dy

Rⁿ

I Z(x - y,t)dX

Rⁿ

y(y + 2Ax) - 2y(y + Ax) + y(y)

dy

< C|Ax|.

Для l > 0 рассмотрим случай, когда |k| = l + 1. Пусть k = ki + k2, где |ki| = 2, |k2| = l — 1. Используя четность функции Z(x — y, t) по x и оценку (6), получим:

^|dk ⁿ^^(x,t)|

У ^dk1^Z(x - y^,t)dk²tWy

Rⁿ

j ^дХ1 Z^(x - y,t) ^k²^^(2x - y) - ^2dk²y^(x) + ^dk²v⁽y) dy<

Rn n+2           |x-y|2                           1

< Ct²I e t |x — y|dy = Ct².

Rⁿ

Пусть |k| > l + 2, тогда представим индекс k в виде k = ki + k2, где |ki| = |k| — (l + 1), |k2| = l + 1 . Тогда по формуле свертки для фундаментального решения получим оценку (7):

dkn^(x,t)| = J kZ Z (x

Rⁿ

^—y^,t/2)n^⁽y^,t/2)dy

I dk¹Z (x — y,t/2)dk²n^(y,t/2)dy <

Rⁿ

≤ Ct^-

|k|-l+n 2

|x-y|²

• — dy

Rⁿ

Ct^-

|k|-l 2

Положим At > 0. Учитывая оценки (2) и (7) для случая |k| = l — 1, получаем оценку (8):

∆t

|Atdkk

ⁿ^^(x,t)|= j

dtd'k H^(x, t + т )dT

≤

≤C

∆t

j(t + т)-2 dT< C

∆t j т - 2 dT = C | At| 2.

Используя тот факт, что функция f (x) = xlnx, x E (0; +то) удовлетворяет условию Зигмунда, но не удовлетворяет условию Липшица и для h > 0 справедлива оценка [12]

hh

A

2 h

f (x=jj

(x + a + в) 1dade< (a + в) 1dade = 2hln2,

с учетом оценок (2) и (8) для |k| = l — 2 при l > 2. At > 0, получим оценку (9):

∆t ∆t

| А2д'Пу_:х._!1 = I у у

d2dkny(x. t + a + в )dade

∆t ∆t

У у ^d2Z₍x - y. t₊« ₊®m t₊« ₊^ad< 00

∆t ∆t                         ∆t ∆t

< C / /(t + a + e)-1dade< C j ^(a + в) 1dade< C |At|.

Теорема доказана.

Из теоремы 1 следует

Теорема 2. Пусть 0 < l< m, m > 3 и ^ G Hi (Rn). Тогда существует единственное решение u задачи (1) из Hmm l)(D), причем

|u|⁽_m^-_,D^l)≤ C|ψ|l,Rn.

В частности, при m = —l получим, что решение задачи Коши принадлежит пространству Hi (D), то есть имеет непрерывную и ограниченную производную до l —1 порядка включительно, удовлетворяющую условию Зигмунда, и |u|l,D ≤ C |ψ|l,Rn.

Заключение

Таким образом, для потенциала Пуассона (2) доказано, что отображение П : ^ ^ Пу является ограниченным оператором из пространства Hi(Rn) в H^m(D). Получено, что ограниченное в слое D решение задачи Коши для системы (1) и начальной плотности у G Hi(Rn) принадлежит весовому пространству Зигмунда Hm l)(D), 0 < l < m. m > 3. Разрешимость задачи Коши позволяет получить утверждение о локальной гладкости решения параболической системы второго порядка с локальной ограниченной и непрерывной правой частью. Кроме того, полученные оценки могут быть использованы для нахождения обобщенных решений краевых задач для параболических систем второго порядка в анизотропных пространствах Зигмунда.