Задача Коши в целом для бицилиндрической области голоморфности начальных данных

Классическая теорема Коши-Ковалевской дает существование и единственность решения задачи Коши для дифференциального уравнения о частных производных с аналитическими коэффициентами. Однако существование решения гарантируется только в малом. Здесь будет изучаться задача Коши для одного узкого класса уравнений, но решение будет получено в целом. Решение в целом получается за счет того, что уравнение рассматривается в комплексном пространстве.

Постановка задачи

Будем рассматривать задачу Коши в следующей постановке: найти решение уравнения d2и т , , x d2u    n

( a )

— + ^ A^ ( x i ,..., x_m )—— = ⁰ d z     f! = i                 d X j d x^

(где Afl – аналитические функции, принимающие вещественные значения при вещественных значениях независимых переменных), удовлетворяющее условиям u\z=0 = f (x!,-, xm X          |u |z=0 = g (x1,-, xm )                         (в )

Возьмем в качестве области В , области голоморфности функций и и v , бицилиндрическую область D = D 1 ■ D ₂, где D 1 - область в Z -плоскости с гладкой границей Г 1 ; D 2 - область в ^ -плоскости с гладкой границей Г 2 . Всякую функцию, голоморфную в D и непрерывную в замкнутой области D , можно представить следующим образом:

1г Г u(t,т)dtdT uZ п) = -т^   J ;.                           (1)

^{4 п} Г , Г ₂ ⁽ t ^{- Z )( т -} п ⁾

Поменяв порядок суммирования и интегрирования, получим g (Z, П, Z)

1 Г г u ( t, т ) у ( n !)²4 ⁿ - Z ²

dtd T

4 п ² J Г 2 ( t - Z )( т - п ) £ (2 n )! L ( t - Z ) T - П ).

аналогично будем иметь h (Z, П, Z)

1 Г r    Z v ( t , T )    у ( n !)²4 ⁿ - Z ²

4 n ² J J( t - Z )( t - п ) n ^ 0 (2 n + 1)! L ( t - Z )( t - П ).

у Jn<_4 n =b (2 n + 1!)

Воспользовав-

(n !) ЛП n Рассмотрим ряды > ----4 v , n=0 (2n)!

шись формулой удвоения для гамма-функции, получим

V tT<" + 1)12 4nvn = ПУ    [Г(n +1)1    4nv n=0 Г(2n +1!)           t04n Г(n + 1)Г

„ Г(-)[Г(n +1)1²

= b ------i—vn = F (1,1;-; v), n=0 n !Г( n + -)              2

где F(а, в, Y, v) - гипергеометрическая функция Гаусса. И аналогично:

^ ⁽n^!)   4nvn = F(1,1;3;v).

n=b(2 n +1)!          ^V 2 ⁷

Таким образом, решение задачи Коши в случае, когда начальные данные голоморфны в бицилиндрической области D и непрерывны в замкнутой области D , запишется следующим образом:

f (6, п, Z) =

—

П Я

1 11 2

{—u^— F (1,1;1;'----) +

(t — 6 )Т — п)      2   (t — 6 )Т — п)

"v⁽t^,Т)   F (1,1;³;

(t — 6 )Т — п)      2’

Z²

⁽t^{— 6} )(г^—п)

)} dtdT.

Основные теоремы

Теорема 1. Существует область голоморфности G(D) из пространства C3, такая, что каковы бы ни были начальные данные u и v, голоморфные в бицилиндрической области D и непрерывные в замкнутой об- ласти D , решение задачи Коши f голоморфно в области G(D). Если начальные данные аналитически продолжимы из D, то решение задачи Коши аналитически продолжимо из области G(D). Для каждой точки X границы области G(D) существует гармоническая функция, голоморфная в G(D), удовлетворяющая начальным данным, голоморфным в D, и имеющая особенность в точке X.

Доказательство. Из представления (2) решения задачи Коши f6, п, Z)

следует, чтоf6, п, Z) голоморфна там, где голоморфны функции

Z²

f (U;¹;—

2 (t — 6 )Т—п)

з

■), F(1,1;³;—

' 2 (t — 6 )Т — п)

Z²

).

Особенности этих функций располагаются на поверхности

-²       = 1!

⁽t^{— 6)(т —}п)

Рассмотрим множество Q = U Р_Т. Область G(D) является связной (t ,т)еГ1-Г2

компонентой дополнения CQ множества Q до всего пространства C³. Покажем, что G(D) - область голоморфности. Гипергеометрическая функция

f(а, Р, y, v) голоморфна в плоскости с разрезом по лучу 1 < v <^, следова- тельно, функции

Z²

f (1,1; 1;—

2 (t—6 )Т—п)

з

-), F(1,1;³;—

'     ' 2 (t — 6)(т — п)

Z²

)

голоморфны в пространстве С³ с выброшенной гиперповерхностью

1 < 6²( t — 6)^—1(т — п) <^да.

Обозначим эту область R. Область R будет областью голоморфности, так как плоскость с разрезом по лучу является областью голоморфности некоторой функции q(z) одного комплексного переменного z. Таким образом, G(D) - связная компонента пересечения областей голоморфности и содержит некоторое открытое связное множество, содержащееся в V(D). Значит, G(D) будет областью голоморфности.

Граница области G(D) содержится в множестве Q, следовательно, для каждой точки X границы области G(D) найдется хотя бы одна поверх- ность PtT, содержащая эту точку. Функция

1           Г2

(t - 5 )^-1(т - п )^-1f (1,1;-; -      7------)

2 (t - ^)(т - п)

является решением задачи Коши с начальными данными, голоморфными в D, а сама она голоморфна в G(D) и в точке X имеет особенность. Третье утверждение теоремы доказано.

Второе утверждение доказывается очень просто. Область G(D) пересекается с пространством C²: {^ = 0} по области D, поэтому если начальные данные голоморфны в более широкой области B з D, то V(B) содержит точки, не принадлежащие V(D), а G(B) содержит точки, не принадлежащие G(D), и т.д.

Далее будем рассматривать пересечение области G(D) с многообразием п = £ , lm z = 0 , на котором переменные х, у, и z вещественны. Для этого наложим ряд ограничений на область D. Области D1 и D2 будем считать симметричными относительно прямых £ = £ и п = П соответственно. Кроме того, будем предполагать, что при совмещении плоскостей ^ и п области D1 и D2 имеют непустое связное пересечение. Это значит, что пересечение бицилиндрической области D с многообразием ^ = п не пусто. В переменных х, y, z это означает, что в пересечении D0 = D11D2, лежащем в плоскости z=0, заданы условия задачи Коши, причем эти заданные функции аналитически продолжаются в 6ицилиндричсскую область D.

Обозначим через H(D) такую область трехмерного вещественного пространства R3, которая содержит в качестве подмножества плоскую область D0 и является связной компонентой пересечения области G(D) с вещественным пространством R3: {lmx = lmy = lmz = 0}, вложенным в С3. Очевидно, что область H(D) содержится в прямом произведении области Do и оси Oz. Каждой точке границы области Do соответствует точка t границы области D1 либо точка т = t границы области P2, а функция f = (t - ^)-1 (соответственно f = (т - п)-1) голоморфна в D, удовлетворяет уравнению Лапласа и на прямой x + iy = t (соответственно x - iy = т) имеет особенность. Функция f в формуле (2) голоморфна всюду там, где голоморфны гипергеометрические функции, входящие в формулу (2), а особенности этих функций лежат на поверхностях z2 + (t - ^)(т - п) = 0. (3)

Следовательно, в H(D) не должна попасть ни одна точка, лежащая на этих поверхностях.

Пусть t = a + ib, т = а + ip, тогда пересечение соответствующей поверхности (3) с пространством R3 вещественных переменных x, y, z задается уравнением z2 + [x - a + i(y - b)][x - a - i(y - в)] = 0, которое эквива- лентно двум вещественным уравнениям

(X - a+a)2 + (у -     )2 + z = (a-a)2 + ( ^b-H)2,

a-a b-β

⁽b+р)(х —2—) -⁽a - a^)(у —2™) =⁰"                     ⁽⁴⁾

Система (4) представляет окружность K, лежащую в плоскости, параллельной оси Oz и проходящую через точки (a, b, 0) и (а, в, 0).

Для каждой точки t еГ, построим поверхность S(t), заполняемую окружностями (4), следующим образом. Рассмотрим область D2, симмет ричную области D2 относительно оси Ох. Каждую точку т* границы Г2 области D2 соединим отрезком прямой с точкой t. На этом отрезке, как на диаметре в плоскости, перпендикулярной плоскости хОу, построим ок ружность К(т*).

Множество S(t) = UK(т*) будем называть сопутствующей поверхно- т *еГ

*

стью точки t. Так как Г является кусочно-гладкой кривой, S(t) с выброшенной точкой t - кусочно-гладкая поверхность. Поверхность S(t) замкнута и разбивает пространство R3 на две части. Ту часть пространства R³, в которой содержится множество D2, обозначим ^ (t) и будем называть ее присоединенной областью точки t.

Аналогично строится сопутствующая поверхность и присоединенная область для любой точки т еГ₂, только теперь вместо области D2 рассматривается область D*, симметричная области D1 относительно оси Ох. Очевидно, что та часть пересечения всех присоединенных областей, в которой содержится множество D₀, и является областью H(D).

Из структуры области H(D) вытекает простой способ ее построения в некоторых специальных случаях. Пусть области D1 и D2 совпадают и область D1 симметрична относительно оси Ох. Рассмотрим точку P е D1 и предположим, что D1 ограничивается простой замкнутой линией Г1, т.е. D1 односвязна. Через точку Р проведем хорду L(P) кривой Г1. На этой хорде, как на диаметре в плоскости, параллельной оси Оz, построим полуокружность в полупространстве z > 0. Эта полуокружность лежит на сопутствующих поверхностях концов хорды , а полукруг, ограничиваемый хордой и этой полуокружностью, принадлежит присоединенным областям концов хорды. Длина содержащегося в построенном выше полукруге отрезка прямой, параллельной оси Oz и проходящей через точку Р, равна произведению длин отрезков хорды кривой Г1, на которые она делится точкой P. Если рассмотреть всевозможные хорды кривой Г1, проходящие через точку Р, и построить на каждой из этих хорд, как на диаметре, полукруг, лежащий в плоскости, параллельной оси Oz, в полупространстве z > 0, то пересечение области H(D) с полупрямой Т(Р), параллельной оси Oz и выходящей из точки Р, лежащей в полупространстве z > 0, совпадет с пересечением всех построенных выше полукругов. Отсюда следует простой способ вычисления длины отрезка T(P)IH(D). Через точку Р проведем всевозможные хорды кривой Г1 и рассмотрим произведение длин отрезков хорды, на которые делит ее точка Р. Минимум этого произведения и есть длина отрезка T(P)IH(D).

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 2. Пусть начальные данные задачи Коши для уравнения Лапласа голоморфны в бицилиндрической области D=D₁⋅D₁^', где D1 – односвязная с кусочно-гладкой границей Г1, симметричная относительно оси lmξ = 0 область из плоскости переменного ξ, а D₁^'– та же область D1, лежащая в плоскости переменного η. Тогда граница области H(D) задается уравнением z²=Q_m(P), P∈D, где функция Qm определяется следующим образом: плоскости ξ и η совмещаются с плоскостью хОу пространства R³, через каждую точку P∈D₁проводятся всевозможные хорды кривой Г1, рассматриваются произведения длин отрезков хорды, на которые ее делит точка Р, а затем берется минимум этого произведения по всем хордам, проходящим через точку Р.

Заключение

Итак, в данной работе получено решение задачи Коши в целом для некоторого класса уравнений за счет того, что уравнение рассматривается в комплексной области.

При выводе формулы (2) использовалось представление начальных данных задачи Коши интегральной формулой Коши. Если вместо интегральной формулы Коши воспользоваться формулой Бохнера-Мартинелли, то полученные результаты можно обобщить.