Задача Майлза для аналитических функций бесконечного порядка на полуплоскости, определяемых модельной функцией

Метод рядов Фурье для изучения свойств целых и мероморфных функций из работ [1] , [2] , [3 , 4] в статье К. Г. Малютина [5] в 2001 г. был распространен на дельта-субгармонические функции на полуплоскости.

Используя этот метод, Дж. Б. Майлз доказал, что если целая функция бесконечного порядка имеет нули, распределенные на конечной системе лучей, то её нижний порядок также равен бесконечности. В совместной работе К. Г. Малютина, М. В. Кабанко и Т. В. Шевцовой [7] результат из работы [6] был распространен на истинно аналитические функции бесконечного порядка относительно классической функции роста на верхней полуплоскости.

Настоящая статья является продолжением исследований, начатых в работе [8] . Мы распространяем результат из работы [7] на истинно аналитические функции на полуплоскости, рост которых определяется модельной функцией. Понятие модельной функции роста M , введенное Б. Н. Хабибуллиным [9] (см. также [10] ), охватывает широкий класс функций. В частности, функции, определяемые модельной, могут иметь бесконечный порядок, а также нулевой порядок в классическом смысле.

В дальнейшем будем предполагать, что функция M для всех r >  0 удовлетворяет соотношению:

M (2 r ) <  KM ( r ) (1)

при некотором K >  0 , не зависящем от г .

Для доказательства наших утверждений мы использовали метод рядов Фурье дельта-субгармонических функций на полуплоскости, разработанный К. Г. Малютиным [5] .

1 Предварительные сведения

Мы будем использовать терминологию и определения из ра бот [8] , [5] и [11] . У нас C ( a, r ) = {z : | a — z | < r } , B ( a,r ) = C (a, r) , ( G — это замыкание множества G ), x + неотрицательная часть вещественного числа x , C ₊ = {z : Im z > 0 } , Q ₊ = Q П C ₊ , для 0 < r i < r 2 множество.

Через AK обозначаем пространство аналитических функций f в C ₊ , таких, что In | f | имеет положительную гармоническую мажоранту в каждой ограниченной подобласти C ₊ , JA — пространство истинно аналитических функций на С ₊ . Относительно свойств функций из пространств AK и JA отсылаем читателя к статье [11] .

Пуст ь f — мероморфная функция на замкнутой верхней полуплоскости C + , r n е^г ^ ^п — полюса f с учетом их кратности, n Е N ,

А. А. Неф¨едова. Задача Майлза для аналитических функций бесконечного порядка на полуплоскости ...

c(r, f) = E sin фп- В 1925 г. Р- Неванлинна [12] ввёл для функций 1≤rn≤r f следующие характеристические функции:

r

A ( r,f ) = 1 / Q -      (^{ln +} I f (t) l ^{+ ln +} I f ( - t) l ) dt,

π t ²     r ²

π

B ( r,f ) = — [ ln ⁺ I f (re i^ ) l sin ^d^, πr

r

C(r, f) = 2 I f+      c(t, f) dt, t2    r2

S ( r, f ) = A ( r, f ) + B ( r, f ) + C ( r, f ).

Пусть f G JM , A — её полная мера, A = A + — A - — разложение Жордана меры λ . Обозначим

π

m⁽r^,f ) ^:= - / ln ^{+ |f} (re i^ )¹ sin ^d^ = ^nB(r,^f ) ,r >  1, r 2

r

N ( r, f ) := I ^A-^ dt = П ( А ( г, f ) + C(r, f ) + O(1)),

T ( r, f ) := m ( r, f ) + N ( r, f ) + m(1,1/f) = ^ПS(r, f ) + O(1) ,

A - (t) = A - (B(0,t)).

Определение 1. Порядком и нижним порядком функции f ∈ JM относительно модельной функции M называются величины:

Я                ^ln(rT^(r,f ))                 Г   ^ln(rT ^(r,f ))

.

в : = в[f] = lim   , un  , а := a[f] = hm   , ч г^ж  ln M(r)                г^ж  ln M(r)

Если в = ж, то f — функция бесконечного порядка, в противном случае функция f имеет конечный порядок.

∂G ∂τ

полукруга C + (0, R)

Для функции f справедливо следующее представление в C + (0, R) [13] :

^и|=-f a if d^{x(z )}

C + (0 ,R )

π

+ R Г OG ^ z^Be^ ) _ln | f (R _ei^ | d—, _z g c ₊ (o ,r ) . (2) 2n J дт

Определим меру λk равенством dAk(те^) = s'" k—тk-1 dA(Tei^), Ak(r) = AkB(0, r), к G N. sin —

В точках — = 0 , п , отношение —-- — доопределяется по непрерывности.

sin —

Нам понадобится обобщенная формула Карлемана из [13] :

πr rk у ln|f (rei^1 sin k—d— =y ^

0                                   r o

^dt+к r ₀ ^k

π

I ln If (r o e i^ ) | 0

sin к— d—, k G N,

которая при k = 1 принимает вид:

π r У In |f (reim 0

r sin — d— = У —^d dt ro

π

+ — A ln | f (r o e ^iip ) | sin — d—. (3) r 0

А. А. Неф¨едова. Задача Майлза для аналитических функций бесконечного порядка на полуплоскости ...

Отсюда

C k ( r,f )= a k r k +         [[ sink?T k. . ) + r k         n- dA_K)

nkr ^ k       Im Z           nk т k Im Z

C + (0 ,r ₀ )                            D + ( r o ,r )

- Ц smk?T k ^dA(Z) ,Z = re- (5)

C + (0 ,r )

Кроме того, имеет место неравенство:

| c k ( r,f ) |< 2П у | In | f (re i* ) || sin ?d?, k G N. 0

Из последнего неравенства и (4) следует:

rm ( r,f ) >    | c _fc ( r,f ) | , k G N .                       (6)

4k

Действительно неравенство (6) следует из соотношений:

π

|c к ( r,f ) | <  ¹ / (ln ⁺ | f(re i^ ) | +ln ⁺ | 1/f(re i^ ) | )sin xdx

2 kr            r J

< m ( r, f ) + m(r, 1/f) <  2 m ( r, f ), k G N.

Далее нам понадобится следующая лемма [7] .

Лемма 1. Если g G JM и A g = 0, то In | g(z) | = Im F (z), где F (z) — целая вещественная функция.

Следующая лемма [6 , Лемма 1.1] используется в доказательстве основной теоремы.

Лемма 2. Пусть 0 1 ,0 2 ,... ,0 N _O — различные точки полуинтервала [0, 2п). Для вещественных x символом х * обозначается единственное число из [ — п,п), сравнимое с х по модулю 2 п. Тогда существует возрастающая последовательность I = {n i } натуральных чисел, такая, что I имеет положительную плотность и

⁽n l ⁰ j ) * ^G(^-П,П)^, j = ^1,...^,N o , n i ^G I.              (7)

\ 6 6 /

3 Основной результат

Сформулируем и докажем основную теорему нашей работы.

Теорема 1. Пусть полная мера истинно аналитической функции f бесконечного порядка относительно модельной функции M распределена на конечной системе лучей

L k

πpk z G C : arg z = Uk = --- > qk k = 1,..., No; Pk,qk, No G N; Pk < qk. Тогда ее нижний порядок также равен бесконечности.

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что носитель полной меры λ f функции f не нагружает некоторую окрестность нуля, т. е. C (O,r o ) G supp А при некотором r o >  0 .

Используя формулы (5) , получаем:

c n ^(r,f )

N 0

= a n r ⁿ + £ k =1

r ⁿ sin(U k n ) nnr 2 n

r 0

J t ^{n- 1} dx ( t )+ o

+ X . ^U .           t - X      ...     Г           n G N.

nn J tn+1  ^ rnnnJ k=1             ro          k=10

Из последнего равенства получаем:

C n ( r,f )= a n rⁿ + X ^{Sin( U k n )} ( ¹ ( r j - A t \   dA ( t ) ,n G N.

πn t t r t=1                  L\ J k 1

Дважды интегрируя по частям в правой части равенства (8) , получаем:

2 No           / cn(r, f) = anrn + - ^ sin(Ukn) I N(r) + r

^П k =1         \

r

~

n

+ -

-

1 N o

r

π k=1

r 0

n f^ dt

J tn+1    I r0

t ⁿ

-     N (t) dt, n G N, (9)

r где N(r) = У -^dt.

r 0

А. А. Нефедова . Задача Майлза для аналитических функций бесконечного порядка на полуплоскости ...

По лемме 2 существует последовательность I = {n i } такая, что ( n i 0 j ) * G ^-П,П^ . Имеем

N 0            N 0                  π N

^sin(0 k n i ) = ^sin(0 k n i ) * >  N o sin 6 = -2 0 .

k =1              k =1

Из (9) при n = n i , l G N , получаем:

r

® + I ^ dt ) -M .n G N.   (10)

r 0

Предположим, что порядок функции N ( r ) бесконечный. Тогда интеграл в правой части последнего неравенства неограничен при r → ∞ , поскольку

∞

Nt) dt > NA, n g N.

J t ⁿ⁺¹       nr ⁿ

r

Используя это рассуждение, (6) и (10) , получаем требуемое утверждение.

В противном случае, т. е. если порядок функции N ( r ) конечный, то для всех r >  0 N ( r ) < KM ^p ( r ) при некоторых K >  0 и р >  0 . Причем ρ — нецелое число. Тогда из (1) получаем:

2 r                       2 r

KW >  N(2r) > / ® dt >  A(r) [ dt = i£),

J t2                        2r rr при некотором Ki > 0, т. е.

X ( r ) <  2 K 1 r ^p+1 .

Тогда из работы [15, Теорема 3] следует, что существует функция g i G J A порядка р с полной мерой А . Имеем g = f/g i G J A и X g = 0 .

По лемме 1 | g(z) | = exp(Im F (z)) . Здесь F(z) — целая вещественная функция:

∞

F ( z ) = X a _n zⁿ . n =o

Тот факт, что a _n ∈ R , для всех n ∈ N , доказывается почленным дифференцированием ряда Тейлора функции F ( z) в точке z = 0 .

Если только конечное число a _n = 0 , то F ( z ) — многочлен, следовательно, g и f имеют конечный порядок, что противоречит условию.

Далее

C k ( r,g ) = a k r k , k ё N .

Отсюда и из (6) получаем:

rm ( r,g ) >  П\c k( _r,g )\ = l^^kL, k _E n .

Поскольку k — любое фиксированное натуральное число, то функция g ( z) имеет бесконечный нижний порядок.

Для b >  1 имеет место неравенство (ln(ab)) ₊ >  (ln a ) + — (ln b) ₊ , используя которое получаем:

rm ( r, g) <   rm ( r, f ) + rm ( r, g i ) .

Далее из соотношений lim rm(r, g) < lim rm(r,f) + lim rm(r,gi) r→∞        r→∞

r →∞

и lim rm(r, g) = r→∞ от, lim rm(r, g1) < p < от , r→∞

следует, что lim rm(r, f) = от .

r →∞

Теорема 1 доказана.

Заключение

Экстремальные задачи на открытой полуплоскости, в отличие от комплексной плоскости, имеют свои особенности, связанные с наличием границы — вещественной оси. В частности, этим определяется различие экстремальных задач в классах мероморфных функций порядка больше единицы и порядка меньше или равного единицы. В настоящей работе мы рассматриваем классы мероморфных функций на полуплоскости бесконечного порядка. Формулировка основного результата не отличается от формулировки результата Майлза для мероморфных функций на плоскости, однако, для его доказательства используются совершенно другие определения и вспомогательные сведения, которые вводятся для мероморфных функций на открытой полуплоскости.

А. А. Нефедова . Задача Майлза для аналитических функций бесконечного порядка на полуплоскости ...