Задача Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре

Рассмотрим задачу Неймана для неоднородного полигармонического уравнения в единичном шаре S = { x ∈ ℝ ⁿ :| x | < 1}

∆ ^ku ( x ) = f ( x ), x ∈ S ;

∂ju                         v

= ϕ _j ( s ),   s ∈ ∂ S ,    j = 1, k ,

∂νj|∂S где ν – единичный вектор внешней нормали к ∂S . В работе [1] была рассмотрена более общая краевая задача, содержащая многочлены высокого порядка от нормальных производных в граничных условиях, а в работе [2] приводится решение задачи Дирихле для уравнения из (1). В работе [3] была исследована задача Неймана для неоднородного бигармонического уравнения в единичном шаре, а в [4] дается решение соответствующей задачи Дирихле. В работе [5] получены условия разрешимости задачи Неймана (1), а также дается способ нахождения ее решения.

n

Обозначим Λ u = ∑ x_iu_xi .

i = 1

Теорема 1. [5, теорема 8] Решение задачи Неймана (1) имеет вид

1 dt

u ( x ) = ∫ ₀ v ( tx ) _t + C ,

где v ( x ) – решение следующей задачи Дирихле

∆ ^kv ( x ) = ( Λ+ 2 k ) f ( x ), x ∈ S ;

∂ jv v|∂S =ϕ1(s),      j = jϕj (s) +ϕj+1(s), s∈ ∂S, j=1,k-1.

∂ ν ^j | ∂ S

Из приведенной теоремы следует, что условие разрешимости задачи Неймана (1) записывается в виде v (0) = 0 , где v ( x ) – решение задачи Дирихле (3). Рассмотрим частный случай задачи

(1), когда f ( x ) = 0 и обозначим f ₀ = ϕ ₁ , f_j = j ϕ _j + ϕ _{j + 1} при j = 1,…, k - 1 . Для нахождения значения v (0) решения задачи Дирихле с функциями f ₀,…, f_{k - 1} на границе воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 2. [6, теорема 2] Для всякой полигармонической в единичном шаре S ⊂ ℝ ⁿ функции v ∈ C^{k - 1} ( S ) справедливо равенство

v (0) = ¹     ( h ⁰ v + h ^{1 ∂ v} + ⋯ + h^{k - 1 ∂ k - 1 v} ) ds ,                         (4)

v( ) ωn ∫∂S kv+ k ∂ν+ + k ∂νk-1 sx, где числа hks являются коэффициентами разложения многочлена k-1

H k - 1 ( λ ) = ^{( 1)}    ( λ - 2)⋯( λ - 2 k + 2)                          (5)

(2 k _- 2)!!

Гулящих И.А.

Задача Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре

(здесь H ₀ ( 2 ) = 1) по факториальным степеням 2 ^{[ 5 ]} = 2 ( 2 - 1) — ( 2 - 5 + 1)

H k - 1 ( 2 ) = h k - 2 ^{k - 1]} + h^k k ^{- 2} 2 ^{[ k - 2]} + — + h 2 + h k .                    (6)

Учитывая соотношения f 0 = ^, fj = jфj + фj+1, где j = 1, ^, к -1, перепишем равенство (4) в ви- де i       k-1                                        i k

v ⁽⁰⁾ = —L £ h k ⁽ i ^ i ^{( 5} ) ⁺ ^ -+1 ^{( 5} )) ^ds x = —L £⁽ ih k ⁺ h k ¹ ) ^ ^{( 5} ) ^ds x , ® n ^{d S} S^                       to n ^{d S} S^

где надо учитывать, что h k = 0. Определим производную по правилу P ⁽¹⁾ ( 2 ) = P( 2 + 1) - P ( 2 ) [2].

Нетрудно видеть, что ( 2 ^{[ k ]} ) ⁽ m ) = k ^[ m ^] 2 ^{[ k -} m ^] , а поэтому из (6) находим h i =—( H_{k ч}) ^{( 1} ) (0), а значит, ^k i ! ^{k 1}

используя формулу (5), получим ihk + hk 1

-^( H_k ,) ⁽ i ) (0) + —1— ( H_k ,) ⁽ i ^{- 1)} (0) = —1—(( н_к ,) ⁽¹⁾ ( 2 ) + ( i - 1)!^{V k -U V 2} ( i - 1)!^{V k -U     V 2} ( i - 1)!^{V k -12 V 2}

+ H_k ]( 2 ) ) ⁽ i ^{- 1)} (0) = —1— ( H_k ]( 2 + 1) ) ⁽ i ^{- 1)} (0) = -(-¹— ( N_k а⁽ i ^{- 1)} (0), ^{k 1}                  ( i - 1)!^{V k -1V     27}            (2 k - 2)!!( i - 1)!    ^{k -12}

где обозначено N_k - 1 ( 2 ) = ( 2 - 1) — ( 2 - 2 k + 3). Значит, условие v (0) = 0 равносильно условию

k jdS £ nk'^ 5) d5x = 0, i=1

где числа n‘k являются коэффициентами разложения многочлена Nk-1(2) по факториальным степеням 2[i]. Вычислим числа nlk.

Лемма 1. Имеет место равенство

, k ^{- 1}     ./2 k - i - А

( 2 - 1) —( 2 - 2 k + 3) = ( - 1) ^{k - 1} £ ( - 1) i            I (2 k - 2 i - 3)!! 2 ^[ i ^] ,             (7)

i = 0       I i )

причем при k = 1 многочлен слева равен 1.

Доказательство. При k = 1 и k = 2 равенство верно. Пусть оно верно при k , докажем его верность и при k = k +1. Умножим (7) на 2 - 2 k +1. Учитывая, что 2[i] (2 - 2k +1) = 2[i+1] - (2k - i -1)2[i], справа будем иметь k-1    /2k-1- ?А

(-1)k-1 £(-1)i            I(2k-2i-3)!!(2[i+1] -(2k-i-1)2[i]) = (-1)k£(-1)i x i=0        x i /                                                                i=0

x

x

( 2 k - i - 1 _x i - 1

(2 k - 2 i - 1)!! +

( 2 k - i - 2)

I x i )

^

(2 k - 2 i - 3)!!(2 k - i - 1)

)

₂ [ i ] .

Выражение в круглых скобках имеет значение

(2k-2i-3Y.i.

(- k £^)- (2 k - i - 1) — (2 k - 2 i + 1)(2 k - 2 i - 1)( i + (2 k - 2 i )) = i !

(2 k - 2 i - 3)!! i !

(2 k - i - 1) — (2 k - 2 i + 1)(2 k - 2 i - 1)(2 k - i ) = (2 k - 2 i - 1)!!

2 k - i _г I, x i )

а значит выражение в круглых скобках равно

. A                2kk -Л

( - 1) ^k £ ( - 1) i (2 k - 2 i - 1)!!     .     1 2 ^[ i ^] .

i = 1                           x i )

Это означает, что формула (7) верна при k = k + 1. Лемма доказана.

Из леммы 1 следует, что

2 k _ i _ nk-1 = (-1)i-1      . 1 I(2k - 2i -1)!!,

X i - ¹ )

а значит, условие разрешимости однородной задачи Неймана имеет вид

Краткие сообщения

k fd a 2(-1)

i = 1

' 2 k - i - 1 ^ <  i ^{- 1} )

(2 k - 2 i - 1)!! ϕ _i ( s ) ds_x = 0.

Полученное условие согласуется с найденным в [5].