Замена информации по эквивалентности при решении нестандартных задач по математике

Воспитание творческой активности учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных задач, стоящих перед учителями старшей школы. Основным средством такого воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи.

Умением решать задачи характеризуется в первую очередь состояние математической подготовки учащихся, глубина усвоения учебного материала. Не случайно известный современный методист и математик Д.Пойа пишет: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности». Решение нестандартных задач способствует пробуждению и развитию у них устойчивого интереса к математике[3,14].

В зависимости от степени детализации общих указаний и способов группировки частных приемов рассуждений можно по-разному формулировать общие способы решения задач. Под общими способами решения задач здесь подразумеваются способы получения из данной задачи стандартной.

Замена информации по эквивалентности

Если в задаче какую-либо часть информации заменить другой, равносильной ей, то получится некоторая новая вспомогательная задача. При подходящем выборе способа замены новая задача может быть решена легче исходной. Отсюда, используя равносильность, нетрудно получить решение данной задачи.

Примерами такой замены являются вывод формулы для решения квадратного уравнения, решение задач на построение алгебраическим методом, решение геометрических задач на вычисление с помощью векторов и т.п.

Если при применении этого метода рассуждений вспомогательная задача оказалась опять нестандартной, то для отыскания способа её решения придется применить еще какие-либо методы рассуждений, в частности, снова заменить какую-либо информацию в ней другой, равносильной ей. Поэтому методы рассуждений при поисках способа решения задачи обычно применяются не по отдельности, а в каком-либо сочетании.

Для замены информации из задачи эквивалентной ей могут быть использованы различные сведения и средства. К ним относятся, например:

• 1)    известные учащимся сведения о равносильности отдельных предложений или видов предложений (равносильность систем линейных уравнений, равносильность параллельности и равенства противоположных сторон четырехугольника и т.п.)

• 2)    выражение одной и той же информации с помощью различных средств, например: словесная, символическая, изобразительная, координатная и другие формы выражения геометрической информации.

• 3)    взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств (например, замена умножения положительных чисел сложением их логарифмов).

• 4)    математическое моделирование практических ситуаций, то есть выражение в математической форме информации о пространственных формах и количественных отношениях, имеющих место в некоторой практической ситуации.

Примечание. При решении конкретных задач замена информации на равносильную ей не всегда четко выделяется. Для ускорения усвоения этого метода рекомендуется после решения каждой из данных задач продумать, какая информация была заменена в процессе работы.

Примеры решения задач:

• 1)    Существуют ли действительные числа a, b, c (a^0) такие, что все действительные корни уравнения :т\" - lw — с = 0 будут корнями уравнения ;:(.y² - 1) - ^(v² - 1) - ; = О

Ответ: Да, существует. Пусть заданное квадратное уравнение имеет вид , тогда все его корни должны быть корнями уравнения

■'.'•’- - 1 - / г == 0. Оно будет эквивалентно таким уравнениям :   /: - ;:    ■    1 : = 0    ^   :    ;: : = 0, если /:    ■    1) = 0.

i+Vs Следовательно, a=1, b=-2 /., е=/.-, где /. = " / ".

• 2)    Можно ли в клетчатом прямоугольнике размером 501x18 покрасить 2005 клеток таким образом, чтобы не существовало ни одной пары соседних выкрашенных клеточек, ни одной невыкрашенной клеточки, которая бы имела по крайней мере две выкрашенные соседние клеточки? (соседними считаются клеточки, которые имеют общую сторону.)

Ответ: Нет, невозможно. Предположим обратное. Разобьем наш прямоугольник на 1002 квадрата размером 3×3. В соответствии с принципом Дирихле, хотя бы в одном из этих квадратов должны быть выкрашены по крайней мере три клеточки. Далее несложным перебором надо убедиться, что или найдется пара соседних выкрашенных клеточек, или – невыкрашенная клеточка, которая имеет по меньшей мере две выкрашенные соседние клеточки.

• 3)    Решить неравенство: max{.\- - 2.y - 2: - \ - - 2 т - 6) < 6. Ответ: x (|0;4]^{-2[.    Неравенство эквивалентно системе неравенств:

( %2 — 2х — 2 < 6,

I к2 — 2х + 6<6.

Решая каждое из неравенств, получаем ответ.

• 4)    В клетчатом квадрате размером (2 n +1)х( 2 n +1) ( n - натуральное число) произвольным образом закрасили 2?г - 3:; — 2 клеточки. Всегда ли при этом будет закрашена хотя бы одна трехклеточная фигура вида

(в любом расположении)?

• 5)    Пусть числа a , b, c такие, что a + b +0, b + c +0, a + c+0. Докажите, что iii

числа —, --, -- в указанном порядке являются последовательными

£? + С С+Д а + £?                         ± членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда числа г" — ::‘3’ - д'.:\" - ;l"C"— f.3" - дт- - :" в указанном порядке также являются последовательными членами (но уже - другой) арифметической прогрессии.

• 6)    Проверить правильность равенства: 17 5" - 2 88- = 3 37-не вычисляя квадратов чисел.

Геометрия

• 7)    Координатная плоскость разбита на единичные квадраты прямыми вида я = a или У - b . Сколько имеется таких единичных квадратов, через внутренние точки которых проходит график функции у = 0,8%² приО <%< 12

• 8)    Докажите, что во всяком треугольнике ABC Аа + ВЬ > аВ + ЬА.

• 9)    На координатной плоскости XOY построен прямоугольник ABCD так, что его стороны параллельны осям координат, а вершины A и C лежат на графике функции У = ^ . Докажите, что точки O,B,D лежат на одной прямой.

• 10)    Зная длины ребер правильной треугольной пирамиды найдите объем каждой части, на которые она делится плоскостью, проведенной через середины четырех ребер.

• 11)    Ребро куба равно 2 дм. Найдите расстояние между диагональю основания и неперсекающей её диагональю куба.