Адаптация цен товаров в розничной торговле

Одним из путей повышения эффективности торговых предприятий является адаптация цен реализуемых товаров к сложившейся экономической ситуации.

Рассмотрим задачу выбора цены реализации на товары. Очевидно, что результативность торговли некоторым конкретным товаром определяется величиной прибыли, которую мы получим, реализовав некоторую партию этого товара. Низкая цена реализации может быть убыточной. Завышенная цена реализации приведет к уходу покупателей этого товара либо в конкурирующую торговую организацию, либо на товары-заменители. Следовательно, существует некоторая цена, дающая максимально возможную прибыль. Эта цена может варьироваться с изменением экономической ситуации. Полагаем, что процессы изменения экономической ситуации медленные, поэтому в первом приближении наилучшую цену можно считать квазипостоянной. Целью торгового предприятия является поддержание цены реализации в окрестности этой оптимальной цены. Поскольку рассчитать оптимальную цену исходя из априорной информации невозможно, единственный способ определения оптимальной цены - экспериментальный. Торговля при различных ценах реализует партии товаров, оценивает прибыль, полученную от реализации. Тем самым может быть получена табличная зависимость прибыли от цены реализации. Прибыль оценивается с некоторой погрешностью. Процесс торговли отчасти носит элементы случайности. Целью управления ценой в таком подходе является не просто определение оптимальной цены, которая в течение времени может меняться, но наибыстрейшее определение этой цены. В качестве меры оптимальности процесса управления ценой естественно принять суммарное значение прибыли или, что эквивалентно, минимизация отклонения максимально возможной прибыли, соответствующей наилучшей цене, от фактической прибыли. В идеальном случае, когда точно известна оптимальная цена, такое отклонение равно нулю. Во всех остальных случаях такое от клонение заведомо положительно. Формализуем задачу.

Пусть pt - цена в /-эксперименте; q(p,) - зависимость прибыли от цены. Должна рассматриваться прибыль на единицу продукции.

Зависимость q(p) на некотором продолжительном интервале времени считается неизменной и представляется в параметризованном виде:

Ч = У₄ФккрУ^ак^ С¹) к=1

где г - размерность базиса; ^(р)- известные базисные функции; а_к - неизвестные параметры зависимости q(p).

Рекомендации на выбор базиса: базисные функции ф_к (р) на типичном интервале цен должны быть ортогональными или близкими к этому. Это уменьшает влияние погрешности на точность оценивания параметров. Параметры зависимости неизвестны и должны оцениваться по результатам эксперимента (торговли). Пусть а* - неизвестные параметры зависимости (1). Тогда мерой качества процесса управления ценой является суммарное отклонение.

б^^/)-^?,)), (2) 1=1

где N- длительность процесса управления.

В зависимости от интерпретации факторов неопределенности возможны три постановки задачи.

• 1.    Стохастический подход, требующий назначение распределений всем неопределенным факторам задачи. Эти факторы - неизвестные параметры объекта и ошибки измерения результатов эксперимента:

• 2.    Минимаксный подход, в котором все параметры неопределенности считаются принадлежащими некоторому ограниченному множеству возможных значений. Целью управления является минимизация максимально возможного отклонения - гарантированный результат.

• 3    .Возможен смешанный подход. Часть параметров представляется в виде информационных множеств допустимых значений (параметры а_кУ часть факторов неопределенности задается вероятностным распределением. Например, р - ошибки измерения.

у, = q(Pt) + Еь (3) где е₁ - ошибка измерения.

В этом случае мерой качества процесса управления обычно принимается среднее значение M^QY Оптимальное управление должно отыски-

Маркетинг ваться в классе функций с обратной связью -функций, зависящих от всей полученной к моменту выбора управления информации (измерений у,).

Во всех случаях управление есть функция всей поступившей информации по каналу обратной связи. Параметры а_к являются характеристиками в каждой отдельной торговой точке.

Далее рассмотрим подробнее приведенные выше подходы.

Стохастический подход. В стохастическом подходе требуется задание распределений вероятностей неизвестных параметров объектов а_к и ошибок измерений £,. Считаем, что вектор параметров а = (а₁,а₂,...а_г) имеет нормальное распределение с априорным средним значением т₀ и матрицей ковариации D ₀ . Ошибки измерений £, считаем также нормальными с нулевым средним значением и дисперсией ст² :

Ra^N^D^ J^ = N^Y

Целью управления, как было сказано выше, является минимизация среднего значения отклонения

Q = M^(q(p*)-q(Pi)^.

1=1

Поскольку первое слагаемое в сумме не зависит от р_;, то данная задача эквивалентна задаче максимизации функционала:

F=M^p^, i=i где р; -есть функция всей поступившей информации,

Pi=Pi^yi,--yi-iY

Эта задача решается методом динамического программирования. Уравнение Белмана, описывающее оптимальное управление:

Q« (^тп-1 , О_п^ = тах(^^г (р„) • т_пА + Рп^Р

+M{Q_nA (т„ ,D„)/ <т_пА ,D_n__x^,   (3)

где тп = М{а/(ух,у2....уп)}-, /)„ =соу(а/у]у2..ун);

QA^mn-\A-\> max М ^ф\р i^m_n__x,D_n__x^.

Р nPn-W'PN i=n

Достаточные статистики тп и Dn вычисляются по реккурентному методу (РМНК или фильтр Калмана):

тп_ = тп_х + °« -^А ^ _фТ^Рп).тп Х), n        Dn-l'9(Pn>^T(Pn)'Dn-l

• л-1      2 Т г ч                 \ ’

СТ

n__v

Точного решения уравнения Белмана не существует.

Асимптотически оптимальное решение задачи получено в [1] и имеет вид:

Рп = arg max(pr <рп) • mnA + ^—^ Sp фп -А„)), Рп где 4 = V2a(n т(рЧа))-а).

Физический смысл полученного алгоритма управления прозрачен. Очередная цена выбирается из условия максимизации слагаемых: первое слагаемое представляет из себя меру отклонения от экстремума текущей модели объекта измерений. Второе слагаемое, как показано в [1], является мерой неопределенности положения экстремума как функции выбора цены р_п , т. е. очередное ценовое управление максимизирует прибыль и одновременно минимизирует неопределенность положения экстремума. Первое слагаемое есть результат действия. Второе слагаемое - изучающая добавка, уменьшение которой позволяет более точно определить параметры объекта.

Вес изучающей добавки, как видно из (3) уменьшается с уменьшением длительности оставшегося процесса управления.

Вероятностный подход не в полной мере соответствует реальной задаче. Более приемлемым является минимаксный подход, в котором распределение неопределенных факторов заменяется информационными множествами, что, по-видимому, эквивалентно заданию равномерных распределений.

В работе [2] строится управление экстремальным объектом в предположении, что все неопределенные факторы принадлежат заданным информационным множествам. При отсутствии распределений целью управления является минимизация максимально возможного ущерба по всем точкам информационного множества - гарантированное управление.

Модель объекта имеет вид q, =ф"'(Р/)а, yt = q, + £,, где q, - выход объекта (прибыль), р, - управляющее воздействие (цена), ^(р^ - вектор базисных функций, а - вектор неизвестных коэффициентов объекта, а принадлежит множеству Ао - априорному информационному множеству; у, - результат измерения выхода q, объекта; £, - ошибка измерения, |£i|<=A, А - заданная предельная ошибка измерения.

Неформальной целью управления является поддержание состояния q, возможно ближе к точке экстремума (для определенности - минимума). Предполагается, что существует р* на множестве

Алексеева Е.Ю., Беседин А.А.

Р допустимых управлений, для которой q(p*)<= Я^Р) для ^всех Р ^из Р- Тогда в качестве критерия оптимальности управления принимается минимизация максимально возможной суммы отклонений q(p_n) - q(p*) на всем интервале управления

Q = min max ^ ^Р_пVd^P ))■

Управление отыскивается в классе функций с обратной связью -

Рп=Рп(Уо,У1, -Уп-О-

Очевидно, что гарантированное значение функционала определяется множеством А_о. В работе рассматривается управление объектом второго порядка (параболическим) с одним входом. Поскольку точное решение построить, видимо, невозможно, в работе строится субоптимальный алгоритм управления.

По мере поступления наблюдений информационное множество для параметров может сужаться, и, очевидно, оптимальная стратегия управления должна в пределе точно определять положение экстремума. Первой задачей, которую необходимо решать в процессе управления, является задача уточнения информационного множества - множества возможных значений вектора параметров после получения измерений. Множество А_п строится как пересечение А_п__х и множества решений неравенства [у„ - ф^т(р,)а |<= А.

Вначале строится решение одношаговой задачи. Оно совпадает с центром интервала неопределенности р*. Для решения двухшаговой задачи фиксируем некоторое управление р_х и строим оценку второго слагаемого функционала в зависимости от выбранного управления р_х.

Для решения задачи при произвольном числе шагов процесса управления используем подход, примененный в [1] - метод замкнуто-разомкнутого управления. Считаем, что после получения у_х система размыкается и дальнейшие измерения не поступают в устройство управления (что, естествен-

Адаптация цен товаров в розничной торговле но, завышает оценку хвоста функционала по сравнению с точным значением). В этом случае выбор всех последующих управлений повторяет одношаговый случай, и все слагаемые в функционале оцениваются в виде функции от рх также, как и в двухшаговой задаче. В итоге строится субоптимальное управление, вычисляемое из условия минимума суммы первого слагаемого и оценки всех последующих:

Pi =arg_min(max((A- -р ) \Pi~P ) ) +----5---)•

• р.                                          Pi

На последующих шагах процесса управления построение оценки хвоста функционала и вычисление рп повторяется после уточнения информационного множества. Численное моделирование предлагаемых алгоритмов управления показало их приемлемую эффективность.

Сравнивая алгоритмы управления в стохастическом и минимаксном подходах, мы видим общность их структуры.

Более того, в минимаксном подходе мерой неопределенности (точности определения) параметров объекта является размер информационного множества, содержащего параметры, что более соответствует физическому смыслу задачи. Проведенные численные эксперименты на модельных задачах показали приемлемость обоих методов.