Деление многочленов

Теория многочленов в определенном отношении похожа на теорию целых чисел, хотя эти две теории внешне ничего общего не имеют. Внутренняя же близость, схожесть этих теорий объясняется тем, что для многочленов, так же как и для целых чисел, можно определить деление и деление с остатком.

Делимость многочленов. Свойства делимости

Многочлен f(x) делится на многочлен g(x) Ф 0, если существует такой многочлен q(x), что выполняется равенство

f⁽x) = g⁽x) • q⁽x)                                                    (1)

Многочлен q(x) в равенстве (1) называется частным от деления f(x) на g(x), а g(x) - делителем.

Укажем основные свойства делимости многочленов:

• 1)    Если f(x) делится на g(x), а g(x) делится на h(x'), то f(x) будет делиться на h(x)

В самом деле, по условию f(x) = g(x) • ^(x) и g(x) = h(x) • ^(x), а поэтому f(x) = h(x) • [^(x) • ^(x)].

• 2)    Если f(x) и g(x) делятся на ^(x), то их сумма и разность также делятся на ^(x).

Из равенств f(x) = y(x) • ^x) и g(x) = ^(x) • ^(x), следует f⁽x) ± g⁽x) = ^{x) • [^(x) ± /(x^)].

• 3)    Если f(x) делится на y(x), то произведение f(x) на любой многочлен g(x) также будет делиться на ^(x).

Если f(x) = ^(x) • ^(x), то f(x) • g(x) = ^(x) • [^(x) • g(x)].

Из свойств 2 и 3 вытекает следующее свойство:

• 4)    Если каждый из многочленов f₁(x),f₂(x),^,f_n(x) делится на ^(x), то на ^(x) будет делиться и многочлен f₁(x) • g₁(x) + f₂(x) • g z (x) + — + f n (x) • g n (x), где g-^^W, ...,g n (x)  - произвольные

многочлены.

• 5)    Всякий многочлен f(x) делится на любой многочлен нулевой степени.

Если f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + —+ a_n, а с - произвольное число, не равное нулю, то есть произвольный многочлен нулевой степени, то f(x) = с (^xⁿ + ^x^n-1 + - + ^f).

• 6)    Если f (х) делится на ((х) то f (х~) делится и на с ((х) где с - произвольное число отличное от нуля.

Из равенства f(x') = ((х) • ^(х) следует f(x') = с • с^-1ф(х) • ^(х) = [^((х)] • ^[с^-1ф⁽х^)].

• 7)    Многочлены сf(x'), с Ф 0, и только они буду делителями многочлена f(x'), имеющими такую же степень, что и f(x).

Действительно, f^y) = с^-1[сf(x)]. То есть f(x} делится на сf(x).

Если f(x) делится на ((х) причем степени f(x') и р(х) совпадают, то степень частного от деления f(x') на р(х) должна быть равной нулю, то есть f(x') = Ьр(х), b Ф 0, откуда ((х) = b^-1f(x).

Из свойства 7 вытекает следующее свойство:

• 8)    Тогда и только тогда многочлены f(x'),g(x') одновременно делятся друг на друга, если д(х) = сf(x), с Ф 0.

Из свойств 1 и 8 вытекает свойство:

• 9)    Всякий делитель одного из двух многочленов f(x'),сf(x), где с Ф 0, будет делителем и для другого многочлена.

Свойства делимости многочленов могут быть применены для изучения делимости в множестве целых чисел.

Деление многочленов с остатком

Для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком.

Теорема о делении с остатком. Для любых двух многочленов f(x') и д(х} можно найти такие многочлены ц(х} и г(х), что f(x') = д(х} • д(х) + г(х), причем степень г(х) меньше степени д(х) или же г(х) = 0. Многочлены ц(х) и г(х),удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.

Если разности f(x') — г(х) и f(x) — г₁(х) обе делятся на д(х), то их разность 5(х) = г₁(х) — г(х) также делится на д(х~). Если бы многочлен

s(x) был ненулевым, то он имел бы степень меньшую, чем д(х) , и не мог бы тогда делится на д(х) . Следовательно, s(x) = 0, так что г₁(х) = г(х).

В практической деятельности для нахождения частного и остатка применяют способ вычисления, называемый «деление углом». Покажем его на примере.

Пример

Найти неполное частное и остаток от деления многочлена

f(x) = х⁴ + 5х 2 — 3х — 1 на д(х) = х — 2

Решение.

х4 + 5х2 — 3х — 1 х — 2

х4 — 2х3          х3 + 2х2 + 9х + 15

2х3 + 5х2

2х3 — 4х2

9х2 — 3х

9х2 — 18х

15х — 1

15х —30

Частным от деления f(x) на д(х) является многочлен х3 + 2х2 + 9х + 15, остатком число 29.