Формирование у будущих учителей математики представлений о моделях средствами учебной дисциплины «Числовые системы»

Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского

Формирование у будущих учителей математики представлений о моделях средствами учебной дисциплины «Числовые системы»

Прошла почти одна четвертая часть XXI века. Раздававшиеся в начале этого века голоса о том, что в науке все уже открыто и поэтому фундаментальные науки, в том числе и фундаментальная математика, не нужны, затихли. В 2019 году с трибуны ЮНЕСКО о важности математики и необходимости прикладной математики для жизнедеятельности всего человечества было заявлено следующее: «Учитывая, что повышение осве- домленности о математических науках и углубленное образование в данной области на глобальном уровне играют ключевую роль в решении задач в таких сферах, как искусственный интеллект, изменение климата, энергетика и устойчивое развитие, а также в повышении качества жизни людей как в развитых, так и в развивающихся странах, подчеркивая, что прикладное применение математических наук имеет важное значение для достижения прогресса во всех отраслях инженерии и информатики, удовлетворяя в то же время растущую потребность в автоматизации и обеспечивая доступ к информации через интернет (всемирную сеть) в интересах общества <…>, ЮНЕСКО провозглашает 14 марта каждого года Международным днем математики» [1, с. 36].

В 2013 году правительством России была утверждена Концепция математического образования, в которой записано: «Форсированное развитие математического образования и науки, обеспечивающее прорыв в таких емких стратегических направлениях, как информационные технологии, моделирование в машиностроении, энергетике и экономике, прогнозирование природных и техногенных катастроф, биомедицина, будет способствовать улучшению положения и повышению престижа России в мире» [5, с. 2–3]. Приведенные цитаты о значении математики из двух важнейших документов показывают,что одной из главных целей современного математического образования является формирование знаний по основам математического моделирования у обучающихся. Это связано с тем, что математические модели позволяют решать сложные научно-технические и социальные задачи и часто становятся единствен-

ФОРМИРОВАНИЕ У БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О МОДЕЛЯХ СРЕДСТВАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»

ПУТИЛОВ СЕРГЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

Российская Федерация, город Брянск

SERGEY V. PUTILOV

Bryansk, Russian Federation

ЕЛОВИКОВА ЮЛИЯ АЛЕКСАНДРОВНА

Российская Федерация, город Брянск

YULIYA A. ELOVIKOVA

Bryansk, Russian Federation

СОРОКИНА МАРИНА МИХАЙЛОВНА

Российская Федерация, город Брянск

MARINA M. SOROKINA

Bryansk, Russian Federation

ным эффективным способом получения ответов на возникающие вопросы.

Целью данной статьи является описание подхода к формированию у студентов педагогических направлений бакалавриата представлений о математических моделях, разработанного авторами в рамках преподавания учебной дисциплины «Числовые системы».

Согласно С.В. Звонареву, математическая модель – это «совокупность уравнений или других математических соотношений, отражающих основные свойства изучаемого объекта или явления в рамках принятой умозрительной физической модели и особенности его взаимодействия с окружающей средой на пространственно-временных границах области его локализации» [3, с. 22]. Таким образом, математическую модель можно рассматривать как субъективное представление математиком-прикладником объективно существующего или возможного ожидаемого в будущем объекта внешнего мира, события, производственного процесса, природного явления, которые он описывает на основании специальных знаний в терминах математической теории с учетом принятых соглашений. Интеллектуальную деятельность по созданию модели некоторой системы с целью исследования ее основных частей, необходимых для понимания ее настоящего или будущего внутреннего и внешнего состояния, называют моделированием .

В работе М.В. Егуповой проведен анализ нормативных документов в сфере общего образования России, США, Германии и Сингапура с целью сравнения их разделов, посвященных обучению прикладной математике. Оказалось, что в упомянутых источниках рекомендовано обучать учащихся математическому моделированию, как методу исследовательской деятельности. Школьное математическое образование в указанных иностранных государствах нацелено на обучение математическому моделированию, выделены специальные умения школьников в соответствии с этапами математического моделирования, приведены примеры реальных ситуаций, к которым может быть применен этот метод. Овладение обучающимися методом математического моделирования в этих странах вынесено в планируемые результаты освоения образовательных программ и является одной из важных задач образования [2].

В российском федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования математическое моделирование представлено, в первую очередь, как средство достижения образовательных результатов в обучении математике. На наш взгляд, овладение обучающимися методом математического моделирования в школах России целесообразно также вынести в планируемые результаты освоения образовательных программ. В этой связи у будущих учителей математики необходимо заложить знания по основам математического моделирования, чтобы они могли эффективно работать в соответствующем направлении в рамках профессиональной деятельности.

В учебном плане направления 44.03.01 «Педагогическое образование» (профиль «Математика») подготовки бакалавров нет дисциплин, специально направленных на получение студентами знаний об основах математического моделирования. Учитывая мировые тенденции, можно предположить, что такие учебные курсы будут введены в учебные планы подготовки учителя математики. Мы считаем, что уже сейчас при изучении математических дисциплин имеются возможности формирования у обучающихся знаний по основам математического моделирования. Успешно данная задача решается средствами учебной дисциплины «Числовые системы».

В Брянском государственном университете имени академика И.Г. Петровского (далее – БГУ) дисциплина «Числовые системы» изучается студентами указанного направления на четвертом, завершающем обучение, курсе. К этому времени обучающиеся уже освоили содержание базовых математических и методических дисциплин, прошли педагогическую практику в школе и готовы не только к получению новых знаний, но и к анализу изучаемого материала с позиции учителя математики. В качестве основного источника студентам рекомендуется учебное пособие «Числовые системы» [4], в котором дано подробное описание построения моделей N – всех натуральных, Z – всех целых, Q – всех рациональных, R – всех действительных и С – всех комплексных чисел. В указанном порядке каждое множество чисел включается в следующее за ним. В таком же порядке построение моделей данных множеств и их изучение определяется рабочей программой дисциплины «Числовые системы», разработанной на кафедре математического анализа, алгебры и геометрии БГУ.

Первое занятие по дисциплине «Числовые системы» мы проводим в форме лекции-дискуссии с использованием интерактивной технологии «обучение в сотрудничестве на основе опыта».Она заключается в коллективном обсуждении нового теоретического материала на базе изученных вопросов. Студенты знают из курса алгебры, что числовое множество считается замкнутым относительно операции, заданной на его элементах, если результатом операции является число из этого же множества. Поэтому среди адресованных им вопросов будет и такой: «Относительно каких арифметических действий множество N не замкнуто?». Так как 2 – 4 = – 2, то делаем вывод, что N не замкнуто относительно вычитания. Ставим проблему: «Какое числовое

ФОРМИРОВАНИЕ У БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О МОДЕЛЯХ СРЕДСТВАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»

множество замкнуто относительно вычитания?». Предполагается, что это будет Z . Возникает новая проблема – это построение модели Z .

За время изучения дисциплины «Числовые системы» студенты узнают, что каждое следующее множество из указанных выше, является расширением предыдущего. При этом в новом множестве сохраняются все свойства операций предыдущего множества и появляются новые операции, относительно которых это множество замкнуто. Так, Z замкнуто относительно операции вычитания и является расширением N . Множество Q замкнуто относительно операции деления на отличные от нуля числа и получено путем расширения Z . Множество R равно объединению Q с множеством всех иррациональных чисел и является расширением Q . В R становится возможным извлечение, например, корня квадратного из любого положительного числа. Однако, в R вычисление корня квадратного из отрицательного числа смысла не имеет. Поэтому, не все уравнения второй степени разрешимы в R . Расширение R с помощью мнимой единицы, равной корню квадратному из минус единицы, приводит к C . Это определяет новое замечательное свойство комплексных чисел, заключающееся в том, что в С любое уравнение второй степени имеет непустое множество решений.

На каждом из следующих занятий происходит конструирование определенной модели числового множества. В частности, студенты узнают, что построение моделей числовых множеств происходило на протяжении более двух тысяч лет и представляло довольно сложную задачу. Описание полного построения с доказательствами модели каждого из указанных числовых множеств занимает большой объем. Рассмотрим для примера подход к построению модели N. На основе информации, полученной на первом лекционном занятии, подводим обучающихся к тому,что не имея модели множества N, мы не сможем построить модели остальных числовых множеств. Итак, проблема о модели множества N поставлена. Надо искать пути ее разрешения. Сообщаем студентам, что созданию любой математической модели предшествует детальное изучение моделируемого объекта, процесса или явления для составления вопросов в словесной форме о его сущности. Естественно, первым вопросом будет: «Что взять за основу построения модели множества N?».

Гениальным изобретением в этом направлении было то, что в основание построения математической теории закладывались проверенные временем факты, впоследствии названные аксиомами. Итальянский математик Джузеппе Пеано (1858–1932) построил аксиоматическую теорию множества N . В качестве исходных положений он взял свойства натурального ряда чисел. Первое – в N существует число единица, которое не является следующим ни за каким натуральным числом. Второе – для любого числа из N в N существует единственное число следующее за ним. Третье – любое число из N является следующим не более, чем для одного числа в N . Четвертое – каждое подмножество М из N совпадает с N , если М содержит единицу, а также с каждым своим числом содержит и следующее за ним число.

На практическом занятии по теме «Система натуральных чисел» обсуждаем с обучающимися тот факт, что из четвертой аксиомы Пеано следует универсальный метод доказательства, названный методом математической индукции. Он применяется при доказательстве истинности утверждений для любого натурального числа n. Для формирования умения применять метод математической индукции предлагается решить задачи различного содержания.

Таким образом приводим студентов к мысли о том,что уже на первоначальном этапе создания модели множества N идея Пеано оказалась плодотворной. Далее сообщаем,что в основу определения арифметических действий сложения и умножения над числами из N положено отношение «следующее за», а также то, что существование и единственность этих операций доказывается методом математической индукции. Затем формулируем и доказываем свойства этих операций.Од-новременно возникает проблема сравнения двух чисел из N. Она решается с помощью операции сложения. Число а из N считают больше числа b из N, если существует число k из N такое, что a = b + k. Теперь формулируем и доказываем свойства отношения «больше».В итоге вместе с обучающимися получаем интерпретацию аксиоматической теории натуральных чисел в виде ее модели – полукольца натуральных чисел с единицей,которое является вполне упорядоченным множеством. При этом доказываем, что любые две модели N идентичны (изоморфны), то есть аксиоматическая теория натуральных чисел категорична [4]. Таким образом, студенты узнают, что моделями аксиоматической теории являются алгебраические системы – множества с заданными на них отношениями и алгебраическими операциями.

На занятиях по дисциплине «Числовые системы» обучающиеся знакомятся с аксиоматическими и конструктивными моделями числовых множеств и получают при этом первоначальные сведения о математической модели. Также они приобретают навыки работы с арифметическими действиями над числами в той последовательности, в которой эти числа возникали и интерпретировались исторически. Таким образом реализуется «генетический подход в математической деятельности» [6], который заключается в том, что «обучение должно сле- довать путем происхождения знания» [6, с. 9].

Таким образом, в результате изучения дисциплины «Числовые системы» студенты получают пред- ставление о моделях числовых множеств как о соответствующих им алгебраических системах. Моделирование числовых систем способствует формированию у четверокурсников знаний по основам математического моделирования, являющихся составной частью профессиональных компетенций учителя на современном этапе развития общества.