Философия: «Математические объекты, структуры и доказательства». Рубрика в журнале - Вестник Пермского университета. Философия. Психология. Социология
Исчисление задач А.Н. Колмогорова и гомотопическая теория типов
Статья научная
А.Н. Колмогоров в 1932 г. предложил оригинальный вариант математического интуиционизма Л. Бауэра, в котором центральную роль играет различие задач и теорем, отличающихся по своему содержанию от интуиционизма А. Гейтинга и других последователей. У современных историков и логиков существуют разные мнения по вопросу о том, следует ли считать различие между задачами и теоремами у А.Н. Колмогорова логическим или же в интуиционистской интерпретации высказываний можно считать «проблемы» А.Н. Колмогорова просто альтернативным термином для теорем. В популярной ВНК-интерпретации интуиционистской логики, названной так по именам Л. Брауэра, А. Гейтинга и А.Н. Колмогорова, предлагается синтез подходов этих трех авторов, в котором различие между задачами выносится за пределы логики и трактуется как контекстуальное или чисто лингвистическое. В статье показывается, что различие между задачами и теоремами играет ключевую роль в подходе А.Н. Колмогорова, и приводится логическая интерпретация этого различия с использованием гомотопической теории типов (ГТТ). Используемое в этой теории понятие гомотопического уровня позволяет вслед за А.Н. Колмогоровым различать задачи, которые сводятся к доказательству утверждений, и задачи на реализацию конструкций более высоких уровней. Таким образом, ГТТ соотносится с точкой зрения А.Н. Колмогорова в его полемике с А. Гейтингом. В то же время в ГТТ не решается поставленная А.Н. Колмогоровым задача поиска конструктивного понятия отрицания, применимого к задачам общего вида, которая на сегодняшний день остается по-прежнему открытой.
Бесплатно
Математические объекты, структуры и доказательства (введение к тематическому выпуску)
Статья научная
Статья служит введением к проблематике, обсуждаемой в следующих статьях. Рассматривается гипотеза интеграции, предполагающая, что адекватное решение философской проблемы должно одновременно давать ответ и на онтологические, и на эпистемологические вопросы. Указанная проблема описывается спекулятивно, а также путем обращения к дилемме П. Бенацеррафа, кроме того, иллюстрируется на примере сравнения классической и интуиционистской математик и интерпретации понятия компьютерного доказательства. Демонстрируется, что адекватная философия математики должна одновременно учитывать онтологические и эпистемологические аспекты математики и математической практики.
Бесплатно
Модальный структурализм и проблема интеграции
Статья научная
Модальный структурализм представляет собой попытку преодоления проблем платонизма в философии математики. Продемонстрирована аргументация П. Бенацеррафа против платонизма и теоретико-множественного редукционистского реализма как одна из предпосылок возникновения модального структурализма. В качестве другой предпосылки возникновения модального структурализма описан подход Х. Патнэма. Представлен обзор основных положений модального структурализма, среди которых особое внимание уделено переформулировке положений математики с использованием модальностей как способу ухода от теоретико-множественного фундирования утверждений математики. Такая переформулировка наталкивается на проблему потенциального круга в объяснении, т.к. возможные миры как стандартный способ интерпретации модальностей сами являются теоретико-множественными. Для успешного решения этой проблемы используется предложение Дж. Хэллмана, которое заключается в том, что модальности нужно понимать как примитивы. При этом использование модальностей как примитивов создает дополнительные сложности: возможные структуры, о которых делает утверждения математика, обладают непроясненным метафизическим статусом, а объяснение наличия эпистемического доступа к таким структурам представляется крайне затруднительным. Для ухода от этих сложностей предлагается совместить модальный структурализм и модальный нормативизм. Согласно модальному нормативизму, утверждения с модальностями не являются высказываниями об объектах или фактах, они являются утверждениями о правилах языка, на котором они сформулированы. Принятие такой позиции лишает возможные структуры метафизического статуса, а проблема эпистемического доступа к ним трансформируется в проблему знания пользователем языка семантических правил этого языка. Также указывается, что модальный нормативизм может помочь решить проблемы структурализма, не связанные с модальностями, например идею зависимости «объектов» структурализма от структур.
Бесплатно
Произвольные объекты, видовые структуры: метафизический математический структурализм
Статья научная
В рамках неэлиминативного структурализма, например в версии С. Шапиро, происходят столкновения с так называемой проблемой неполноты математических объектов, а также с проблемой перестановки. В статье анализируется разрабатываемая Л. Хорстеном концепция родового математического структурализма, претендующая при соблюдении неэлиминативистских, реалистских позиций на решение указанных проблем. Представлены ключевые характеристики концепции видового математического структурализма, основанной на понятии произвольного объекта K. Fine, и идеи родовых структур. Согласно этой концепции, с каждым произвольным объектом ассоциирована область индивидуальных объектов - его значений. Так, с каждым произвольным числом ассоциирована область индивидуальных чисел; с каждым произвольным человеком - область индивидуальных людей. Произвольный объект обладает свойствами, общими для индивидуальных объектов ассоциированной области. Родовой структурализм трактует математические структуры как родовые структуры, а математические объекты - как произвольные. Сами родовые структуры определяются отношением инстанциации, т.е. отношением нахождения в состоянии. Являясь версией неэлиминативного структурализма, концепция родового структурализма избегает трудностей, с которыми сталкиваются другие формулировки этой позиции. Наравне с этим интересной особенностью концепции является смещение внимания с онтологической проблематики к метафизической, игравшей второстепенную роль в дебатах о математическом структурализме. В силу этого одной из важных проблем мы считаем проблему независимости и определенности произвольных объектов, на которую указывал еще K. Fine. Применительно к файновской концепции произвольных объектов уже получены интересные результаты посредством применения независимо-дружественной логики, концептуальный аппарат которой, на наш взгляд, позволит получить важные для структуралистской философии математики метафизические результаты. Обозначены преимущества анализируемой концепции и охарактеризованы направления ее дальнейшего развития.
Бесплатно
Три отсутствующих факта математического структурализма
Статья научная
Математический структурализм М. Резника является вариантом ответа на поставленные П. Бенацеррафом затруднения для всякой адекватной философии математики. Кратко излагается эпистемологическая часть концепции и показывается, каким образом, согласно М. Резнику, происходит познание математических объектов на основе абстрагирования от данных восприятия. Также рассматривается онтологическая часть, в соответствии с которой в качестве критерия существования берется непротиворечивость. Для понимания позиций М. Резник использует метафору геометрической точки. Так, позиции не могут сравниваться друг с другом, если они принадлежат разным структурам, подобно тому, как точки не могут быть индивидуированы, если они не принадлежат одной и той же плоскости. Математические структуры могут находиться в отношениях конгруэнтности, встречаемости (включенности), эквивалентности, но среди этих отношений нет отношения тождества, т.к. позиции структур не обязательно совпадают. Кроме того, сравнивается концепция структурной относительности М. Резника с онтологической относительностью У.В.О. Куайна. Из концепции структурной относительности естественным образом вытекает то, что может быть названо доктриной трех типов отсутствующих фактов. Каждый тип отсутствующих фактов поясняется отдельно, затем демонстрируется, что некоторые интерпретации проблемы отождествления П. Бенацеррафа являются некорректными.
Бесплатно
