Математическое моделирование и прикладная математика. Рубрика в журнале - Информатика и автоматизация (Труды СПИИРАН)
О частичной устойчивости нелинейных дискретных систем с запаздыванием
Статья
Рассматривается система нелинейных дискретных (конечно-разностных) уравнений общего вида с ограниченным запаздыванием. Интерес к задачам устойчивости таких систем в последние годы значительно возрос; в частности, это связано с актуальными проблемами управления через сеть. В основном анализируется задача устойчивости по всем переменным нулевого положения равновесия, поскольку заменой переменных к такой задаче сводится задача устойчивости по всем переменным любого решения рассматриваемой системы. Одним из основных методов исследования является дискретно-функциональный вариант прямого метода Ляпунова, получивший существенное развитие в теоретическом и прикладном аспектах. В данной статье предполагается, что рассматриваемая система уравнений допускает «частичное» (нулевое) положение равновесия, и ставится задача устойчивости по отношению к части определяющих это положение равновесия переменных. Такая задача относится к более общим задачам частичной устойчивости, которые исследуются для нелинейных динамических систем различной формы математического описания. Предложенная постановка задачи частичной устойчивости дополняет круг указанных исследований применительно к классу рассматриваемых систем. Для решения поставленной задачи применяется метод функционалов Ляпунова – Красовского в пространстве дискретных функций при соответствующей конкретизации требований к функционалам. Ослабления таких требований можно добиться введением дополнительных дискретных функций, посредством которых: 1) проводится корректировка области функционального пространства, где строятся функционалы Ляпунова – Красовского; 2) находятся оценки функционалов и их разностей (приращений) в силу рассматриваемой системы. В результате используемые функционалы и их разности (приращения) могут быть знакопеременными в области функционального пространства, обычно рассматриваемой при анализе частичной устойчивости. На основе предложенного подхода получены достаточные условия частичной устойчивости (асимптотической устойчивости) указанного вида. Особенности подхода показаны на примере двух классов нелинейных систем заданной структуры, для которых частичная устойчивости анализируется в пространстве параметров. При этом обращается внимание на целесообразность использования семейства функционалов.
Бесплатно
Статья
Проанализированы предложенные ранее исследователями рекомендации по применению методов многомерного оценивания объектов. Отмечена слабая обоснованность этих рекомендаций, следующая из поверхностной систематизации методов многомерного оценивания. Рекомендации ориентированы не на классы задач многомерного оценивания объектов, а на различные области человеческой деятельности. Однако в каждой сфере человеческой деятельности имеет место широкий спектр задач оценивания объектов различной природы. В связи с этим признана актуальность более тщательной систематизации методов многомерного оценивания. Учитывая разноплановость методов многомерного оценивания, решено ограничиться систематизацией методов, применяющих оценочные функции, и на этой основе предложить общие рекомендации по их применению. Обзор методов многомерного оценивания с единой позиции потребовал уточнения применяемой в них терминологии. На основе формальной модели установлены отношения между понятиями «предпочтение», «критерий» и «показатель». Для выделения методов, применяющих оценочные функции, введено понятие целевого значения показателя. Относительно его расположения на шкале показателя введены понятия идеальной и реальной целей. Соответствующие этим целям критерии разделены на целевые и ограничительные. С применением предложенной терминологии проанализированы наиболее известные методы многомерного оценивания. Из них выделена группа методов, применяющих оценочные функции. Рассмотрены варианты оценочных функций, создаваемых на основе критерия и постулатов теории ценности и полезности. На основе сходства областей определения и значений различных оценочных функций установлена взаимосвязь между ними. Относительно целевого значения показателя они разделены на функции достижения цели и функции отклонения от цели. Показана взаимная дополнительность этих функций. Выделена группа функций отклонения от цели, которая позволяет упорядочивать объекты раздельно по штрафам и поощрениям относительно достижения реальной цели. Для отношения соответствия введено понятие нормы. На примере медицинских анализов показано практическое применение функций отклонения от нормы с применением как минимаксной, так и средневзвешенной обобщающей функции для установления рейтинга на множестве объектов. Выявленное в процессе исследования сходство и различие оценочных функций положено в основу классификации использующих их методов многомерного оценивания. Различие оценочных функций по трудоемкости их создания отражено в предложенной методике их применения.
Бесплатно
Оптимизация размера ансамбля регрессоров
Статья
Алгоритмы обучения ансамблей, такие как bagging, часто генерируют неоправданно большие композиции, которые, помимо потребления вычислительных ресурсов, могут ухудшить обобщающую способность. Обрезка (pruning) потенциально может уменьшить размер ансамбля и повысить точность; однако большинство исследований сегодня сосредоточены на использовании этого подхода при решении задачи классификации, а не регрессии. Это связано с тем, что в общем случае обрезка ансамблей основывается на двух метриках: разнообразии и точности. Многие метрики разнообразия разработаны для задач, связанных с конечным набором классов, определяемых дискретными метками. Поэтому большинство работ по обрезке ансамблей сосредоточено на таких проблемах: классификация, кластеризация и выбор оптимального подмножества признаков. Для проблемы регрессии гораздо сложнее ввести метрику разнообразия. Фактически, единственной известной на сегодняшний день такой метрикой является корреляционная матрица, построенная на предсказаниях регрессоров. Данное исследование направлено на устранение этого пробела. Предложено условие, позволяющее проверить, включает ли регрессионный ансамбль избыточные модели, т. е. модели, удаление которых улучшает производительность. На базе этого условия предложен новый алгоритм обрезки, который основан на декомпозиции ошибки ансамбля регрессоров на сумму индивидуальных ошибок регрессоров и их рассогласованность. Предложенный метод сравнивается с двумя подходами, которые напрямую минимизируют ошибку путем последовательного включения и исключения регрессоров, а также с алгоритмом упорядоченного агрегирования (Ordered Aggregation). Эксперименты подтверждают, что предложенный метод позволяет уменьшить размер ансамбля регрессоров с одновременным улучшением его производительности и превосходит все сравниваемые методы.
Бесплатно
Статья
Предложен способ обнаружения спасательных плотов и шлюпок в акватории морей и океанов после кораблекрушений, основанный на распознавании аномалий на обрабатываемых изображениях, что увеличивает вероятность распознавания объектов мониторинга. Обоснован подход к решению такой задачи. Представлена постановка задачи распознавания объектов с позиций бинарной классификации при обнаружении аномалий. Получено аналитическое выражение для алгоритма принятия решения. Рассмотрена возможность формализации матриц изображений в виде гистограмм распределений интенсивности цветности (яркости). Оценена контрастность признакового пространства на их основе. Предложено повысить контрастность признаковых пространств за счет вторичной обработки гистограмм распределений в базисе кратномасштабной вейвлет-декомпозиции. Рассмотрена возможность реализации вейвлет-преобразований на основе функций Хаара и вейвлетов Гаусса 1-го и 2-го порядков. Обоснован механизм формирования вторичных векторов признаков из трехмерных вейвлет-преобразований, путем усреднения их коэффициентов по оси временного сдвига. Показано, что при одинаковой размерности гистограмм распределения яркости с вновь формируемыми векторами признаков, последние обеспечивают более высокую контрастность признаковых пространств. Рекомендовано для формализации изображений в формате jpeg использовать вейвлет Гаусса 2-го порядка, обеспечивающий при прочих равных условиях большую величину различий для изображений, содержащих аномалии. Разработан подход к вероятностной оценке алгоритма автоматического распознавания изображений. Получено аналитическое выражение и обоснованы его составляющие элементы. Приведены графические зависимости вероятности правильного обнаружения (распознавания) аномалий, в зависимости от размеров по отношению к общей площади кадра и дисперсии подстилающего фона. Представлены результаты эксперимента по распознаванию изображений со спасательной шлюпкой в акватории океана. Определены направления дальнейших исследований.
Бесплатно
Подход к локализации источника эпидемии COVID-19 в России на основе математического моделирования
Статья
В статье описаны результаты обработки статистических данных из открытых источников по развитию эпидемии COVID-19 и выполненного исследования по определению места и времени начала ее в России. В интересах предлагаемого исследования дан обзор существующих моделей процессов развития эпидемии и методов решения прямых и обратных задач его анализа. Предложена модель развития эпидемии COVID-19 в сети из девяти городов России: Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Ростов-на-Дону, Краснодар, Екатеринбург, Новосибирск, Хабаровск, Владивосток. Города выбраны как по географическому положению, так и по количеству населения в них. Модель состоит из двадцати семи дифференциальных уравнений. Разработан алгоритм обратного анализа модели эпидемии. В качестве исходных данных для решения задачи выступали сведения по численности населения городов, интенсивности переходов процесса из одних состояний в другие, а также данные по инфицированности населения на заданные моменты времени. В статье также приводятся результаты детального анализа подходов решения к моделированию развития эпидемий по видам моделей (базовая модель SEIR, модель SIRD, адаптивная поведенческая модель, модифицированные SEIR-модели), и по странам (в Польше, во Франции, Испании, Греции и других), а также обзор прикладных задач, которые можно решить, используя моделирование распространения эпидемий. Рассматриваются дополнительные параметры среды, которые влияют на моделирование распространения эпидемий и могут учитываться для повышения точности результатов. По результатам моделирования установлены наиболее вероятные города-источники начала эпидемии в России, а также момент ее начала. Достоверность полученных оценок во многом определяется достоверностью использованных статистических данных по развитию COVID-19, находящихся в открытом доступе.
Бесплатно
Статья
Современное состояние решения задачи комплексного планирования выполнения пакетов заданий в многостадийных системах характеризуется отсутствием универсальных способов формирования решений по составам пакетов, наличием ограничений на размерность задачи и невозможностью гарантированного получения эффективных решений при различных значениях ее входных параметров, а также невозможностью учета условия формирования комплектов из результатов. В статье авторами реализовано решение задачи планирования выполнения пакетов заданий в многостадийных системах при формировании комплектов результатов в заданные для них директивные сроки. Для решения задачи планирования выполнена декомпозиция обобщенной функции системы на совокупность иерархически взаимосвязанных подфункций. Применение декомпозиции позволило использовать иерархический подход для планирования выполнения пакетов заданий в многостадийных системах, предусматривающий определение решений по составам пакетов на верхнем уровне иерархии и построение расписаний выполнения пакетов на нижнем уровне иерархии. Для оптимизации решений по составам пакетов и расписаниям их выполнения в соответствии с иерархическим подходом применена теория иерархических игр. Построена математическая модель иерархической игры для определения эффективных составов пакетов заданий и расписаний их выполнения, представляющая собой систему критериев на уровнях принятия решений. Оценка эффективности решений по составам пакетов на верхнем уровне иерархии обеспечивается распределением результатов выполнения заданий по комплектам в соответствии с сформированным расписанием. Для оценки эффективности решений по составам пакетов сформулирован метод упорядочивания идентификаторов типов комплектов с учетом директивных сроков и метод распределения результатов выполнения заданий по комплектам, реализующий вычисление моментов времени окончания формирования комплектов и запаздываний с их формированием относительно заданных директивных сроков. Выполнены исследования планирования процесса выполнения пакетов заданий в многостадийных системах при условии формирования комплектов в заданные директивные сроки. На их основе сформулированы выводы, касающиеся зависимости эффективности планирования от входных параметров задачи.
Бесплатно
Прогнозирование на фондовых рынках с использованием формализма статистической механики
Статья
Аналитически исследована возможность и целесообразность прогнозирования на фондовых рынках с помощью методов и подходов статистической механики. Аппарат статистической механики применен для анализа и прогноза одного из важнейших показателей рынка – распределения логарифмической доходности. В качестве исходной модели использована модель Лотки-Вольтерра, применяемая в экологии для описания систем типа «хищник-жертва». Она адекватно аппроксимирует динамику рынка. В статье использована ее гамильтоновость, позволяющая применить аппарат статистической механики. Аппарат статистической механики (с использованием принципа максимальной энтропии) позволяет реализовать вероятностный подход, который адаптирован к условиям неопределенности фондового рынка. Канонические переменные гамильтониана представлены в виде логарифмов цен акций и облигаций, совместная функция распределения вероятности цен акций и облигаций получена в виде распределения Гиббса. Больцмановский фактор, входящий в распределение Гиббса, позволяет оценить вероятность появления тех или иных цен на акции и облигации и получить аналитическое выражение для вычисления логарифмической доходности, дающее более точные результаты, чем широко используемое нормальное (Гауссово) распределение. По своим характеристикам полученное распределение напоминает распределение Лапласа. Вычислены основные характеристики полученного распределения – среднее значение, дисперсия, асимметрия, эксцесс. Математические результаты представлены графически. Дано объяснение причинно-следственного механизма, вызывающего изменение доходности рынка. Для этого развита идея Теодора Модиса о конкуренции между акциями и облигациями за внимание и деньги инвесторов (по аналогии с оборотом биомассы в моделях типа «хищник-жертва» в биологии). Результаты исследования представляют интерес для инвесторов, теоретиков и практиков фондового рынка. Они позволяют принимать продуманные и взвешенные решения по инвестированию за счет более реального представления об ожидаемой доходности и более адекватной оценки инвестиционного риска.
Бесплатно
Статья
Работа посвящена прогнозированию развития эпидемии COVID-19 с помощью нового метода рандомизированного машинного обучения. Основу метода составляет идея оценивания распределений вероятностей параметров модели по реальным данным вместе с распределением вероятностей измерительных шумов. Энтропийно-оптимальные распределения соответствуют состоянию максимальной неопределенности, что позволяет использовать получаемые в итоге прогнозы, как прогнозы наиболее ``негативного'' сценария исследуемого процесса. Полученные оценки параметров и шумов, которые представляют собой распределения вероятностей, необходимо генерировать, получая таким образом ансамбль траекторий, который требуется анализировать статистическими методами. Для целей такого анализа проводится вычисление средней и медианной по ансамблю траектории, а также траектории, соответствующей средним по распределению значениям параметров модели. Предлагаемый подход используется для прогнозирования общего количества инфицированных с помощью трехпараметрической логистической модели роста. Проведенный эксперимент основан на реальных данных о распространении COVID-19 в нескольких странах Европейского союза. Основной целью эксперимента является демонстрация энтропийно-рандомизированного подхода для прогнозирования эпидемического процесса на основе реальных данных вблизи пика. Существенная неопределенность, содержащаяся в доступных реальных данных моделируется аддитивным шумом в пределах 30%, который используется как на этапе обучения модели, так и при прогнозировании. Для настройки гиперпараметров модели используется схема их настройки по тестовой выборке с последующим переобучением. Показано, что при одинаковых наборах данных, предлагаемый подход позволяет более эффективно прогнозировать развитие эпидемии по сравнению со стандартным подходом, основанным на методе наименьших квадратов.
Бесплатно
Статья
Многие приложения цифровой обработки сигналов (DSP) и электронные гаджеты сегодня требуют цифровой фильтрации. Для получения быстрых и улучшенных результатов использовались различные алгоритмы оптимизации. Некоторые исследователи использовали Enhanced Slime Mold Algorithm для разработки 2D БИХ-фильтра. Однако было замечено, что данный алгоритм не обеспечил лучшей структуры решения и имел более низкую скорость сходимости. Чтобы решить эту проблему, для разработки 2D БИХ-фильтра используется алгоритм оптимизации Fused ESMA-Pelican Optimization Algorithm (FEPOA), который объединяет Pelican Optimization Algorithm с Enhanced Slime Mould Algorithm (ESMA). Сначала для инициализации популяции используется хаотический подход, который обеспечивает высококачественную популяцию с превосходным разнообразием, после чего позиция членов популяции заключается в идентификации и корректировке особи в граничной области поиска. После этого с помощью тактического подхода пеликана (Pelican Tactical Approach) изучается пространство поиска и исследовательской мощности FEPOA, потом случайным образом вычисляется пригодность, и обновляется лучшее решение, а затем оно перемещается к итерациям. Фазы FEPOA повторяются до тех пор, пока не завершится выполнение. Далее лучшее решение дает оптимальное решение, которое повышает скорость сходимости, точность сходимости и производительность FEPOA. Затем FEPOA реализуется в БИХ-фильтре для улучшения общей конструкции фильтра. Результаты, предоставленные FEPOA, достигают необходимой пригодности и наилучшего решения для 200 итераций, а амплитудная характеристика достигает максимального значения для = 2,4,8, а также время выполнения 3,0158 с, что намного быстрее, чем другие генетические алгоритмы, часто используемые для 2D БИХ-фильтров.
Бесплатно
Решение задач перебора путей в сложных графах
Статья
Моделирование различных систем связано с перебором значений параметров элементов структуры и учетом всех характеристик функционирования и взаимодействия компонентов для нахождения определенного набора решений, определяющих конфигурацию системы. Такие задачи относятся к задачам переборного типа и подразумевают, что некоторое количество очередных решений из этого набора получается из предыдущего решения в определенном порядке. Известно, что достаточно большое количество задач переборного типа решается только методами полного перебора и других методов для их точного решения пока не существует. В статье представлен новый метод перебора путей в графе – метод трансформации узлов-графов. По предварительной оценке, предложенный метод, в отличие от существующих, позволяет значительно быстрее осуществлять поиск всех простых путей в ориентированном графе произвольной структуры. В известных методах перебора в графе (Breadth First Search и Depth First Search) объектом перебора является путь. Всё количество таких путей в графе определяет размер пространства перебора. Основная идея метода трансформации узлов-графов заключается в значительном уменьшении размера пространства перебора за счет укрупнения объектов перебора. Укрупнение объектов перебора осуществляется кластеризацией путей в комбинаторные объекты, объединяющие по определенному регламенту некоторое множество путей одинаковой длины. Такие комбинаторные объекты названы узлами-графами. Узел-граф относится к центрально-периферическим комбинаторным объектам и для перебора всех путей в графе разработаны специфические операции преобразования узлов-графов, которые позволяют найти следующие пути на основе предыдущих. Метод может использоваться как базовый инструментарий для уменьшения размерности пространства поиска решений NP-полных задач, сохраняя универсальность и точность перебора.
Бесплатно
Статья
Статья посвящена исследованию одноканальной системы массового обслуживания. На вход системы подаются два стационарных пуассоновских потока заявок. Первый из них обладает абсолютным приоритетом по отношению ко второму. Емкость системы ограничена k заявками. В системе присутствует вероятностный выталкивающий механизм: если подошедшая высокоприоритетная заявка застает все места в накопителе занятыми, то она с заданной вероятностью выталкивания a может вытеснить из накопителя одну низкоприоритетную заявку, если таковые в нем имеются. Все заявки обслуживаются по одному и тому же показательному закону. Заявки, не сумевшие попасть в систему из-за ограниченности объема накопителя, а также вытесненные из накопителя при срабатывании выталкивающего механизма, не теряются сразу безвозвратно, а направляются в особую часть системы, называемую орбитой и предназначенную для сохранения повторных заявок. На орбите формируются две отдельные неограниченные очереди, состоящие, соответственно, из низкоприоритетных и высокоприоритетных повторных заявок. При отсутствии свободного места в накопителе вновь подошедшие заявки с заданной вероятностью настойчивости q присоединяются к соответствующей орбитальной очереди. Время пребывания повторных заявок на орбите распределено по показательному закону, параметр этого закона различается для разных типов требований. После ожидания на орбите вторичные заявки вновь направляются в систему. Вероятностные характеристики описанной системы рассчитываются методом производящих функций, ранее предложенным авторами для расчета аналогичных систем без повторных требований. Детально исследуется зависимость вероятностей потери обоих типов заявок от параметров системы, прежде всего от вероятности выталкивания a, емкости системы k и вероятности повторного обращения (вероятности настойчивости) q. Показано, что ранее выявленные в аналогичных задачах без повторных обращений эффект запирания системы и эффект линейности закона потерь сохраняют свою силу и при наличии вторичных заявок. Теоретические результаты подкрепляются численными расчетами. Построены области запирания системы и области действия линейного закона потерь. Исследуется влияние вероятности повторного обращения q на форму этих областей, а также на кривые зависимости вероятностей потери обоих типов заявок от вероятности выталкивания a.
Бесплатно
Статья
В качестве маркера, характеризующего загрязнение воздуха в приземном слое атмосферы современных городов, часто используется уровень концентрации твердых частиц диаметром 2.5 микрона и меньше (Particulate Matter, PM2.5). В работе обсуждается практика применения для измерения концентрации PM2.5 в условиях городской среды относительно дешевого оптического датчика, входящего в состав станции CityAir. В статье предложена статистически обоснованная корректировка получаемых станциями CityAir первичных данных о значениях концентрации взвешенных частиц PM2.5 в приземном слое атмосферы г. Красноярска. Для построения регрессионных моделей эталонными считались измерения, получаемые от анализаторов E-BAM, расположенных на тех же постах наблюдения, что и корректируемые датчики. Для анализа использовались первичные данные 1) с 9 автоматизированных постов наблюдения краевой ведомственной информационно-аналитической системы данных о состоянии окружающей среды Красноярского края (КВИАС); 2) с 21-й станции CityAir системы мониторинга Красноярского научного центра СО РАН. В работе продемонстрировано, что при корректировке показаний датчиков необходимо учитывать метеорологические показатели. Кроме того, показано, что коэффициенты регрессии существенно зависят от сезона. Проведено сравнение методов обучения с учителем для решения задачи корректировки показаний недорогих датчиков. Дополнительная информация по результатам анализа данных, не вошедшая в текст статьи, размещена на электронном ресурсе https://asm.krasn.ru/.
Бесплатно
Сходимость по норме динамики коллективного поведения в рефлексивной модели олигополии с лидерами
Статья
Рассматривается модель олигополии с произвольным числом рациональных агентов, рефлексирующих по Курно или Штакельбергу, в условиях неполной информации для классического случая линейных функций издержек и спроса. Исследуется проблема достижения равновесия на основе математического моделирования процессов принятия агентами решений. Работы в этом направлении являются актуальными ввиду значимости понимания процессов, происходящих на реальных рынках, и сближения с ними теоретических моделей. В рамках динамической модели рефлексивного коллективного поведения каждый агент в каждый момент времени корректирует свой объем выпуска, делая шаг в направлении выпуска, максимизирующего его прибыль при ожидаемом выборе конкурентов. Допустимая величина шага задается диапазоном. В данной статье ставится и решается задача поиска диапазонов допустимых шагов агентов, которые формулируются как условия, гарантирующие сходимость динамики к равновесию. Новизну исследования определяет использование в качестве критерия сходимости динамики нормы матрицы перехода погрешностей от t-го к (t+1)-му моменту времени. Показано, что динамика сходится, если норма меньше единицы, начиная с некоторого момента времени, и невыполнение этого критерия особенно проявляет себя при разнонаправленном выборе, когда одни агенты выбирают «большие» шаги движения к своим текущим целям, другие, наоборот, – «малые» шаги. Невыполнение критерия также усиливается с ростом рынка. Установлены общие условия на диапазоны сходимости динамики для произвольного числа агентов и предложен метод построения максимальных таких диапазонов, что также составляет новизну исследования. Представлены результаты решения указанных задач для частных случаев олигополии, которые являются наиболее широко распространенными на практике.
Бесплатно
Численное решение задачи фильтрации оценок информационного воздействия на электорат
Статья
В статье предложены постановка и численная схема решения задачи фильтрации оценок информационного воздействия средств масс-медиа на электорат, позволяющие с высокой степенью точности на заданном интервале наблюдения определить число индивидов в обществе, отдающих предпочтение определенному политическому субъекту (мнению). Основу постановки задачи составляет математическая модель оценки информационного воздействия на электорат при проведении выборных кампаний, которая сводится к решению стохастического дифференциального уравнения – уравнения состояния. Его исследование при составлении модели фильтрации оценок информационного воздействия предложено свести к численному решению уравнения Дункана–Мортенсена–Закаи при введении дополнительного уравнения наблюдения, которое получается из уравнения состояния при оценке его стохастических компонент (наблюдаемые интенсивности агитации от разнородных средств масс-медиа) методами полиспектрального анализа. Решение уравнения Дункана–Мортенсена–Закаи выполнено в проекционной постановке метода Галёркина при сведении к системе линейных дифференциальных уравнений и получении ее решения при дискретизации интервала анализа на подинтервалы и использования метода матричной экспоненты. Для уточнения особенностей алгоритмической реализации составленной численной схемы сформирована рекурсивная процедура численной фильтрации оценок информационного воздействия, представленная в виде псевдокода. Для наглядного сравнения результативности сформированного численного решения задачи нелинейной фильтрации оценок информационного воздействия средств масс-медиа на электорат проведены расчеты на тестовых выборках большого объема для различных значений количества политических субъектов (мнений) и числа подгрупп, на которые разделяется разнородный социум (электорат). Под результативностью решения понимается апостериорно вычисленная зависимость вероятности принятия ошибочного решения о победе политического субъекта-лидера от дисперсионных параметров нестационарных негауссовских шумов наблюдаемых интенсивностей агитации. Зависимости результативности предложенного решения сравнены с результатами непосредственного численного решения систем уравнений состояния и наблюдения.
Бесплатно
