Конечно-элементный анализ задач теории упругости с заданными скачками искомых функций в пакете ANSYS при использовании суперэлементного подхода
Автор: Терпугов Виктор Николаевич, Ошеров Данил Олегович
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Механика. Математическое моделирование
Статья в выпуске: 1 (9), 2012 года.
Бесплатный доступ
Расширение возможностей программы ANSYS внедрением в нее новых алгоритмов, пред- ставляется наиболее привлекательной формой использования данного пакета для исследова- тельских работ, поскольку означает изучение новых моделей, которые не реализованы в паке- те, одновременно используя привлекательные качества пакета: функциональный интерфейс и мощные решатели. В работе рассматривается внедрение в пакет ANSYS конечно-элементных алгоритмов решения задач теории упругости с заданными скачками искомых функций. По- добные задачи возникли в теории сейсмостойкости массивных сооружений, где такие поста- новки были получены путем математически строгих преобразований. Для необходимой мо- дификации матрицы жесткости используется реализация концепции суперэлементов в ANSYS, поскольку ANSYS предоставляет возможность работать с файлами суперэлементов.
Теория упругости, конечно-элементное моделирование, алгоритм
Короткий адрес: https://sciup.org/14729775
IDR: 14729775
Текст научной статьи Конечно-элементный анализ задач теории упругости с заданными скачками искомых функций в пакете ANSYS при использовании суперэлементного подхода
В работе рассматривается использование программы ANSYS для решения задач теории упругости с заданными скачками искомых функций. Подобные задачи возникли в теории сейсмостойкости массивных сооружений, где такие постановки были получены путем математически строгих преобразований [1–3].
Особенностью рассматриваемых задач является наличие внутренних контактных границ (линий, поверхностей), содержащих в условиях контакта заранее известные разрывы (скачки первого рода) искомых функций перемещений и усилий. Обсуждение реализации в ANSYS заданных скачков ограничено в настоящей работе рассмотрением статической постановки задачи, поскольку цель работы – показать принципиальную возможность внедрения подобных алгоритмов в пакет ANSYS. Заметим, что такое расширение данной программы представляется весьма привлекательной формой ее использования для исследовательских целей, т.к. при этом открывается возможность изучать новые модели, используя привычный функциональный интерфейс и мощные решатели пакета.
1. Постановка задачи
Рассмотрим статическую задачу теории упругости с заданными скачками искомых функций. Пусть исследуемая область V разделена достаточно гладкой поверхностью ю так, что V = V + V и д V = S , д V 2 = S 2, S И S2 = ю . Запишем дифференциальную постановку рассматриваемой задачи [3, 4] в матрично-векторных обозначениях:
(A) Ta + Y = 0 еV,
£' = Аи,
еV,
ст = Ds i ii
еV,
( AS, ) T & gs,
е Su, (i = 1,2) (1)
ui = us,
е S2 i ,
[ и ] = U
е ю,
-[(Аю ) T&] = P
е ю.
2. Конечно-элементная реализация
Квадратными скобками здесь обозначен скачок стоящей в скобках величины при переходе через границу контакта областей, например: t( А ш ) T & ] = ( А ш ) T & - ( A ) T & 2 ; матрица направляющих косинусов Аш берется с плюсом для области V . Описание остальных используемых обозначений можно найти в работе [5].
Вариационные постановки для исследуемых задач отличаются от обычных наличием интегралов по границе контакта областей ю [3, 4]. Например, если обозначить через П ( и ) сумму функционалов Лагранжа для областей V и V2 в задаче без скачков перемещений и усилий, а через Пс ( и ) - функционал Лагранжа в задаче со скачками, то
п ( и ) = П ( и ) - 2 j ( k и + k2 u 2) T P d a . (2) ω
В функционал (2) могут входить различные численные величины k , k , удовлетворяющие условию k + k2 = 1. Очевидно, что отвечающие этим функционалам уравнения Эйлера, равно как и решения самих задач со скачками, от k и k2 зависеть не будут. Функционал (2) определен на классе функций, удовлетворяющих кинематическим краевым условиям на S2;. и заданным кинематическим условиям контакта на границе контакта областей ю .
Конечно-элементная дискретизация выполняется обычным образом, за исключением некоторых специальных требований в связи с наличием поверхности ω . Чтобы иметь возможность реализовать негладкие условия контакта, узлы конечно-элементной сетки, принадлежащие границе ω , нумеруются дважды таким образом, чтобы один номер относился к области V , а другой - к V .
После обычной процедуры конечноэлементной дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений:
KU = F + F , (3)
где U - искомый вектор узловых перемещений, K - матрица жесткости, F - обычный вектор усилий, в который в соответствии с функционалом (2) входят узловые значения векторов объемных и поверхностных усилий, F - вектор узловых значений, отвечающий заданному значению скачка усилий на поверхности ω . Таким образом, учет значения скачка в усилиях реализуется аналогично обычным краевым условиям в усилиях. Однако общая конечно-элементная реализация скачка в усилиях включает еще преобразование матрицы жесткости и означает реализацию условия контакта в перемещениях на границе ю (со скачками или без скачков). В работе такое преобразование выполняется с помощью реализованного в пакете ANSYS суперэлементного подхода и обсуждается ниже.
К системе (3) следует добавить два уравнения, обусловленных кинематическими граничными условиями - заданными перемещениями на границах S и заданным скачком вектора перемещений на границе ю :
U, = и е S 2,, ( i = 1,2) i S i 2 i
[ U ] = u a е Ю .
Техника реализации скачка в перемещениях хотя и похожа на реализацию кинематических граничных условий, так как в некоторой степени означает исключение соответствующих неизвестных из результирующей СЛАУ, однако может быть выполнена по-разному. В работе предложен способ, сохраняющий размерность и симметричность матрицы СЛАУ.
3. Решение модельной задачи в пакете ANSYS
Для реализации заданных скачков было рассмотрено несколько способов программного взаимодействия с пакетом ANSYS, и был выбран суперэлементный подход. Суперэлемент в пакете ANSYS определяется как группа конечных элементов, которые рассматриваются как один элемент с выбранными главными степенями свободы, причем он полностью определяется своим бинарным файлом, в ко- тором хранится вся необходимая информация, включая матрицу жесткости и вектор узловых нагрузок [6]. Поскольку ANSYS предоставляет функции для программного создания, чтения и модификации бинарных файлов суперэлементов [7], взаимодействие с пакетом ANSYS через бинарные файлы суперэлементов было выбрано для необходимой модификации матрицы жесткости.
В качестве модельной задачи рассмотрена задача определения напряженно-деформированного состояния плоской упругой области, протяженной в горизонтальном направлении и содержащей границу а, которая делит ее на две части (левая часть – V , а правая – V ), возможно, имеющие разные механические характеристики (рис. 1). На границе контакта областей а были заданы скач- ки в усилиях и перемещениях.
Однородные краевые условия на границе расчетной области и скачок задаются таким образом, чтобы в задаче была симметрия относительно горизонтальной осевой линии. В этом случае решение модельной задачи от- носительно x -овых компонент решения с хорошей степенью точности может быть аппроксимировано решением соответствующей одномерной задачи:
U = c (x -12), CTj = cE, Cj u2 = c2x, o2 = CE, c2
UE2 + Pl, E 2( l i - 1 2 ) - E i I/ UE' + P (4 - 1 2) E 2 ( l i - 1 2 ) - E i l i .
Здесь u, , сг; - перемещения и напряжения в области V ; E – модуль упругости в области V ( i = 1,2); U , P - заданные скачки перемещений и усилий на границе а ; 4 , l2 -длина левой части области и протяженность всей области соответственно.

Рис. 1. Расчетная область с заданными скачками на границе контакта а
При моделировании расчетной области в пакете ANSYS выполнено условие двойной нумерации узлов, принадлежащих границе а .
В качестве суперэлемента выбраны два слоя конечных элементов, аппроксимирующих границу а , - один слой элементов принадлежит области V , а другой – V .
После стандартной процедуры создания суперэлемента и записи его бинарного файла последний модифицируется необходимым образом с помощью разработанной программы, которая считывает из бинарного файла матрицу жесткости и вектор нагрузок суперэлемента, преобразует их с учетом скачка в перемещениях и записывает обратно в файл. Модифицированный суперэлемент, в котором уже учтен скачок в перемещениях, используется для решения исходной задачи. После выполненного преобразования этап решения не отличается от решения стандартной задачи, содержащей суперэлемент как часть расчетной модели.
Расчеты производились при следующих данных: 4 = 4 м , l 2 = 10 м ,
E = E 2 = 1.09 - 1010 Па , U = 10 - 4 м , P = 10 5 Па .
Результаты решения в пакете ANSYS поставленной задачи хорошо согласуются с аналитическим решением (рис. 2).

Рис. 2. Графики искомых функций перемещений (сплошной линией обозначено аналитическое решение, пунктирной – решение в пакете ANSYS)
Список литературы Конечно-элементный анализ задач теории упругости с заданными скачками искомых функций в пакете ANSYS при использовании суперэлементного подхода
- Ломбардо В.Н. Задание сейсмологической информации при расчетах сейсмостойкости массивных сооружений//Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. Л.: Энергия, 1973. №103. С. 164-170.
- Dytlovitscky L.I., Turov V.P. Stress-strain analysis method for dam under seismic actions//Proc. V WCEE, Rome. 1973. Vol.1. P.957-966.
- Терпугов В.Н. Вариационные постановки задачи о расчете гидротехнических сооружений на сейсмические воздействия//Труды научно-техн. конф. гидротехн. ф-та/ЛПИ. Л., 1982.Ч. 2. С.213-218. (Рук. деп. в ВИНИТИ 12.10.82, №5137-82ДЕП).
- Розин Л.А., Терпугов В.Н. Вариационные постановки задач упругого равновесия с заданными скачками напряжений и перемещений//Научно-технические ведомости СПб ГПУ. Наука и образование. 2009. 1(74). С.65-72.
- Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: ЛГУ, 1978.
- Release 11.0 Documentation for ANSYS.
- Programmer's Manual for ANSYS. January 2007.