Рассматривается динамическая обратная задача для уравнения акустики. Для применения градиентного метода Ландвебера, разрабатываются вычислительные методы решения нелинейной обратной задачи акустики. Доказываем условную устойчивость решения системы нелинейных уравнений Вольтерра

[1] и определям константы устойчивости (постоянные Липшица).

Определение 1 (Класс решений обратной задачи). Будем говорить, что ст ( x ) gL ( l , M _ст , c 0 ,p ₀ , ст *) , если ст ( x ) удовлетворяет следующим условиям:

ст ( x ) g H 1 (0, l ), HI _H i ₍₀, l ) <  M _c , 0 <  ст * <  ст(x ), x G (0, l ), ст 0 = c 0 P o .

Определение 1 (Класс исходных данных). Будем говорить, что g g G ( l , в, Y ) , если g удовлетворяет следующим условиям: g g H '(0,2 l ), || g -||2     <  в , g ( + 0) = - Y ,

L ₂ (0,2 l )

Объекты и методы исследований:

Предположим, что для для g(1) , g(2) из класса        G(l, β,γ)        существуют ст(1),ст(2) eS(l,Mct,c0,Po,ст*), удовлетворяющие обратной задаче

u(j) (x, t) = u(j)(x, t) - (CT   )(x) u(j)(x, t), x > 0, t > 0,

tt                xx               σ(j) (x)     x для j = 1 и j = 2.

Учитывая, что

5 (j) ( x ) = - у^ст ^{( j )} ( x )/ ст ^{( j )} ( + 0), обозначим

u ⁽ j ^{)( x} , t )l t < 0 ^{- 0} , (2) u ( ^{j )} ( + 0, t ) = y5 ( t ), t >  0, (3) u^{(j )}( + 0, t ) = g ^{( j )}( t ), t >  0. (4)

⁽ j)(_xA-u^(j)(xt\   ^j )Сх)      ^{1 j} )^х) -Q-^ ^-^x )

q. (x, t) u (x, t), q, (x)           x, q 3( x) 2             .

^{1                  x                2}             s ^{( j )} ( x )                          s ^{( j )} ( x )

‘»

f 1^{( j ) (} x , t ) = ( g ^{( j} ) ) ⁽ t ⁺ x ) ^-( g ^{( j} ) ) ⁽ t ^- x ), f ,^{( j )} =—, f 3^{j )( x} ) = —^—2----, j = 1,2.

J          уу

Поскольку

CT ⁽ j ) G 2 ( l , M ct , c 0 , P 0 , CT * ), j = 1, 2, то в силу обозначений можно оценить

II q ⁾I L 2( l ) <  M q , j = ¹-²-                  (6)

где M q = M q ( l , M ct , у , в , ст * ). Пусть вектор-функция q = ( q 1 , q ₂, q ₃) T , удовлетворяет системе:

q ( x , t ) + Bq ( x , t ) = f ( x , t ), ( x , t ) g A ( l ).

Решение задачи Aq = f предполагается, но утверждается, что существует единственное устойчивое решение для данных из окрестности точно заданных, то есть накладывается ограничение на шум во входных данных.

Для условной корректности рассматриваемой задачи, в отличие от аналогичной теоремы в [2] в нижеприведенной теореме при выводе требуемой константы в основном

неравенстве использовалась не оценка вектора q, а оценки каждой из его компонент q ₁ , q ₂ , q ₃. В работе [2] в выкладках норма каждой компоненты оценивалась через норму вектора q, так как оценка нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной статье, как сказано выше, уже использовались непосредственно оценки каждой из его компонент q ₁ , q ₂ , q ₃.

ii2                     2 lM2 о      ii²         2 l       f lM 2 1 II II²

II q j L 2(A( l )) < ^{2 1} exp I        f ^в l q 21 L (0, l ) <  -T exp I -^ к Il q з1 L 2(0, l )

^- *                        ^Y l^ ^- * J

< ... - II » 1 (07, = 1? M- σ _*          σ _*

Теорема Предположим, что для f ^mg L 2 ( l ), j = 1,2, существуют решения

обратной задачи q ⁽ j ’ g L ₂ ( l ), j = 1,2

q ⁽ j ’ ( x , t ) + Bq ⁽ j ’ = f ⁽ j ’ ( x , t ), j = 1,2, ( x , t ) gA ( , ).                          (8)

Тогда

I q ¹ - q 12  <  C ilf¹’ - f ' 2'| 12

II                              II L 2( , )                 II                                 II ! 2 ( ) )

Здесь

Ci =

15 +

v

50 M _σ ² γ ² σ _* ²

5 lM

⁺ —2 σ _*

1+ v

5 M 2 ) ,2

/ ^— * у

exp ।

lM σ ² 2 σ _* ²

AJ

x expIl 3l + 5в +

25 ) j M²

-- —- + 2        2

Y J - *

Г l ²    25 l²M²

+

V Y    2y - *

10 ,e) +J

expI

lM σ ²

2 σ _* ²

+ 10 eiMf + 51в +

V      ^- *

702 j

Y J

exp ।

2 lM ^ 1

- *²

+ 55 l ² вМ^ γ ² σ _* ²

expI

5 lM σ ² 2 σ _* ²

Доказательство. Введем

~( x , t ) = ( ~ 1 ( x , t ) ~ 2 ( x ) ~ з ( x ) ) = q ⁽¹⁾ ( x , t ) - q ^<2) ( x , t ), f ( x , t ) = ( f ( x , t ) f , ( x ^f 3 ( x ) ) = f ⁽¹⁾ ( x , t ) - f ⁽²⁾ ( x , t ),

‘(f) (x) = (f ">)(x)-(f)(x).

Тогда из (8) следует

~( x , t ) = Bq ⁽¹⁾( x , t ) - Bq ^<2)( x , t ) = f ( x , t ), ( x , t ) g A ( l ).

Оценим первую компоненту q ~₁ :

I ~ 1 ⁽ x , t )| = | f ⁽ x , t )| + 2 1 |~з] ⁽ x )

x

J q I¹) ^ , t ^{- x} + 2 )|² ^2

+ 21 q 3²⁾ii⁽ x )

xx

J f* ¹) ^ ; , ! + x - 2 ) d2 + J f^C ^ , ! - x + 2) d2 00

Учитывая, что

n

z

V i = 1

^ ² ai

n

< n Z a

V i = 1      7

для a i >  0 , получим

| ~ 1 ( ^x , t )| 2 < 5| / . ( ^x , t )| + 51 Ы|2^{( x} ) ^x j q ⁽1^{) ( 5 ,} t + ^{x —} 5 )1 2 + q (1^{) ( 5 ,} t ^{— x} + 5 )1 2   d^

x

⁺ 1 l ^q 3²⁾ l^{( x} )f [~^{2 ( 5 ,} t ^{+ x — 5 ) +} ~^{2 ( 5} , t ^—

Имеем x 2l-5

ξ

0 ξ

2 ξ

x||q32)|| (5)Д~2К',т + 5 — 5’) + ~2(5',t

x

—

5 + 5 ' ) ^5 ' * dTd5

, t — 5 + 5 ')| 2 d5

Оценим вторую компоненту:

xx

5 j| q (²⁾||² ( 5 )|.~ , |'< i , 5 ) d5.

Следовательно,

II ~ ¹ x ) < 2

x

| q 3"||2 ( 5 )||~ 2||² ( 5 ) +| |~з|²' 5 )| q 2²⁾||2 ( 5 ) ) d5.

Оценим q ³ :

|~ 3 ^{( x} )| < I f ! ^{( x} )| ^{( 1 +} r|^B 2 q ⁽²⁾ I ^{) +} Z ® J ^{( x} ),

j = 1

где

^ 1 ( x ) = /| ( f ,⁽¹⁾ )( X )| B 2 q ⁽¹⁾ — B 2 q ⁽²⁾^ ^ 2 ( x ) = 2| B 4 q ⁽¹⁾ — B 4 q⁽²⁾^ to ₃( x ) = B ₂ q ⁽¹⁾| y« ₂ ( x ), to ₄( x ) = 2| B ₄ q ⁽²⁾| B ₂ q ⁽¹⁾ — B ₂ q⁽²⁾^ Во-первых, мы имеем

® 1 ^{( x} ) <  2 1( f^{(1) )( x} )| ⁽ q 3¹) ||( ^x )||~ 2 1( ^x ) +1 1~ 3 1( ^x )| qq 2²⁾ ||( ^x )].

Во-вторых,

® 2 < x ) <  ² j|~ 3 ( 5 ) q'l ’ t&ix — 5 ) + q 3²⁾ ( 5 ) ~ 1 ( 5 .2 x ■ 5 ) d5

γ ₀

< Y[|*1Кx

В-третьих,

x

x

x

® з ^{( x} ) <  B 2 q ^{(1) y} ^ 2 ^{( x} ) <  ^Yg)i ^{( x} )f | q 3¹) ^{( 5 )} q 2¹) ^{( 5} )| d⁵ <  ^Y^ 2

2 0                      2

В-четвертых,

ω ₄

n ² n

Принимая во внимание

2 Ы <  n 2 k J²,

V i = 1      7          i = 1

получим ~ 3² ( x ) <  10 / ;² ( x )(1 + Y²B 2 q ^<2)| )

⁺ 5y к к ^{( x} )| ² V q 3⁽¹⁾ ||² 1 1~ 2 Г ^{( x} ) ⁺ I q 2²⁾ ||²1 |~ 3 Г ^{( x} ) ⁷

+ 20 ||~з||2(x)jq1(1)(5,2x-5)2d5 + |q(2)||2jq(2)(5,2x-5)2d5 x 1 + Y|q/flq21)! Y V о                              о                    7 k 4

^{+ 1} 01 q 3 ²⁾ Г j k^{2) ( 5 ,2 x - 5 ) 2} d⁵ ( l q 31) ГI^ ^ 2 Г ^{( x} ) ⁺ 1 q 2²⁾ ||²1 q . Г ^{( x} ) ) .

Таким образом, имеем

II~3|2(x)

+ ^Yj|/5)|²(Iq/lq.l'f-) + |q!²⁾||²|q |'<5)7d5

+ 221 j|q.| <5)J:-■ (-.2.-Z)|²dZd5 +1 q;²’||²||~1||²(I,x>)xf1+Y²1q<"||²|q!"||²

Y k 00            2         k 4

+ ‘0| q (²⁾|Г j (Iq 3'T fell²(5)+| q 2²⁾||²| |~з|Г(5) 7+ j qjp*Z^25 - z )|²dZd5.

Для удобства обозначим

P1(^x) = ||~1||^2(l,^x), Pj^(x) = ||~j|P^(x), ^j = ^{2,3 x} G ^(0,1^).

Введем обозначения

«= 10+5Y|q32)|||q22)|| , ^2 =| 1^2+5q3l)||2|qИ2 к32)ll2, k 2             7      kY   2

^3(4) = 5Y²1/■"'-)| qЗЦ²+10|q3²⁾|p|q3'’||²jql²’(4,25 -Z)|²dZ,

M,(Z) = 5Y²1/.("(-I q2^2l||² +[²⁰+5q3"||²|q2"||²7jqf"(4,25-Z)|²dZ

2                   v y7

ξ

+10 q32)||2 |q22l|| 2j qiP^ZIZ - ZfdZ,(18)

Введем функцию

P (x) = (5 + A + 5^2 )|/||2 +jx 2 к,(5)Р,(5) d5,(19)

0 j=1

Следовательно, [3]

P'(x )

P(x)

<]2 kxx), j=1

и, применяя неравенство Гронуолла, получим

P⁽x) < P⁽x) < P(0) exp< J £ kj ⁵)d⁵ >.

„ о j⁼¹

С другой стороны, учитывая равенство

x ⁵                                   , x (²x5'                 ^Л

JJ ~Ц252§ — 5) ^d§d5 = - J J №, Z) dZ ^d5'=

²        ‘

0 к 5'

имеем

ki<

5Mσ²

2σ_*²

к

¹+ —+ γ²

5lMσ² γ²σ_*²

exp <

—°' 2°2

x24

Jk2(5)d5<|l + 5в|-г + 10el-f exp<

0           к 2     7 °*          °*

2lM²

*

x

"Г ⁽I +^{10 в} )exp< γ²

Таким образом, получаем

2            (

I~|| = P⁽x) < ^{15 +}

x exp<

5zm ;⁽

2σ_*²

к

к

¹'

γ²

+ -^-( l +10 в )exp<

γ

= ^{15 +} к

lM²' 2°*²

5lM²

—^exp<

5lM²

H---

γ²σ_*²

lM²' 2°*²

50M²5lM

------H

γ **

251 к M,

>+^5le(1+Y^{2 )exp}<

—° 2°*²

exp<

(15 25lM,

>+    +

lM

к^Y

2) к

22 γ²σ_*²

σ

2σ_*²

7 A

> + 51в 1 + —

¹+ к

( l2

2lM²

2 *

exp<

55l²βM²

⁺--F^°^exp<

γ²_*²

—°

2°,

A

3 A

M^ ° * у

5lM²

2 _*²

к

5 M2 J ^y о * у

xexp< 3l + 5в +— ^+ — + к          Y 7 °*   к Y

+ (10 el-^ + 5 le + 70le к     °*          Y 7

Получим оценку для ⁽¹⁾

2lM²

2 *

+ (l + 5в) -° +10 в!-г exp<

2           _{*              *}

55l²βM²

+----3 3 exp <

γ² *²

exp<

Y 7

' lM.

exp<

21-²1 ° *²

° 1)

2σ_*²

5lM²

2 _*²

251²M4 + 2γ²_*⁴

1°^)

^Y 7

exp<

lMσ² 2σ_*²

exp<

2lM²

*2

55l²βM²

+----3 3 exp<

γ²_*²

5lM²

2 _*²

—

H¹(0,l)

.

По лемме Гронуолла имеем

II~ .<0,) < 3t(^^,2'<+⁰))²+M 1 ~з|С,(0,)

В итоге получаем

II~'lII2(0,l) < 3[⁽°^{(2)(+0))2 + lM2} l^exp<

21-²1 ° *²

>C1||f   — f<²⁾]²< C2||g⁽¹⁾

—

^{g(2) 2}H1(0.2l)^{,    (20)}

где

C2 = з[с02 p0 +1-; ]

exp<

2^l-21 °.2

к^l + Y^T J C1.

Учитывая, что °⁽¹⁾(+0) = °⁽²⁾(+0), получим

L2(0,l)

||~‘||2

L2 (0,l)

< lC1||g'"

—

_g(2) ²

H¹(0,2l)

.

Складывая оценки, получим

<«,) ^    -^L,„, где C = C2 (l +1).

Результаты и их обсуждение

Теорема 1.5. Пусть для g⁽¹⁾ , g⁽²⁾из класса        G(l, β,γ)        существуют

7⁽¹⁾,7^<2) е£(l,—₇,c₀,р₀,7*) как решения обратной задачи (1)–(4) соответственно.

Тогда

17"’—7^<2,ii;.₁0, )^ Cg”)

—

где

^{( j)}                   ( j)            ( j)           ( j)

f   = (f. , f2 , f3 ),

(j)                   1          (i)                               (i)

^f.  ⁽x. t)=2 ⁽g  )⁽t⁺x)^—Ig )⁽t^—x). f2

• ⁽j) =— 1. f,⁽j)(xx) = — 2^(g‘j)) ⁽2'x). j = 1.2. γ            γ

  C = 3(l +1) l + -y [c0 P0²+1—„■ ]expl

  
  

  2 l—7 1

  
  

  50—7

  ^{х 15+}^T⁷⁺

  V Y 7 *

  
  

  V

  5lM

  2 σ_*

  
  

  Y)

  
  

  2 σ_*

  
  

  σ

  
  

  ¹+

  V

  
  

  5 ^—7)

  
  

  γ²σ

  
  

  25lI —

  
  

  * 7

  
  

  exp<

  
  

  im 7' 27*2

  
  
  
  

  ( l²

  
  

  х exp^ 3l + 5в + —--7 + — +

  
  

  (V

  (

  + 10 el—7 + 5le +

  V     ⁷ *

  
  

  Y ) ⁷*

  
  

  70^е I

  Y7

  
  

  exp<

  
  

  V Y

  2 —71

  7 *²

  
  

  25l²M⁴

  24 2γσ

  
  

  10 leI

  
  

  γ²

  
  

  exp*

  
  

  +

  
  

  55l²βM _σ²

  
  

  ^γ

  
  

  22 σ_*

  
  

  exp <

  
  

  5lMσ² 2σ_*²

  
  

  l—7' 27*2

  
  

  .

  
  

Заключение, выводы

Для доказательства условной корректности рассматриваемой задачи, доказана теорема, где в отличие от аналогичной теоремы в [3] в вышеприведенной теореме при выводе требуемой константы в основном неравенстве использовалась не оценка вектора q, а оценки каждой из его компонент q₁ ,q₂,q₃ . В работе [3] в выкладках норма каждой компоненты оценивалась через норму вектора q, так как оценка нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной работе, как сказано, выше, уже использовались непосредственно оценки каждой компоненты.