Методическая интеграция аналитических и цифровых инструментов при обучении решению геометрических задач

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 373.5.016:514:004                           

В условиях обновления предметного стандарта по математике и перехода к профильной дифференциации обучения существенно усиливается роль методов, ориентированных на аналитическое мышление, моделирование и использование цифровых инструментов. В профильных и предпрофильных классах акцент переносится с преимущественно синтетического изложения геометрии на интеграцию координатных, векторных и вычислительных методов, что соответствует современным требованиям к математической подготовке обучающихся. Особое внимание в старшей школе уделяется содержательной линии, связанной с методом координат, геометрическими преобразованиями и прикладным моделированием пространственных ситуаций. Это предполагает формирование у учащихся умений переводить геометрическую задачу в аналитическую форму, использовать алгебраический аппарат для исследования пространственных отношений, а также применять цифровые средства визуализации и проверки полученных результатов. В контексте разрабатываемой концепции профильных и предпрофильных классов возрастает необходимость демонстрации вариативности способов решения одной и той же задачи и осознанного выбора рациональной стратегии.

Актуальность темы обусловлена необходимостью формирования у обучающихся гибкости математического мышления, способности переходить от геометрической модели к аналитической и обратно, а также умения использовать современные цифровые инструменты для проверки и интерпретации результатов. Рассмотрим задачу из стереометрии на нахождение расстояние от точки до прямой. Для определения расстояния от точки до прямой обычно рассматривают треугольник, одной из вершин которого является заданная точка, а две другие лежат на заданной прямой. Искомое расстояние находят как высоту этого треугольника, для чего в большинстве случаев подсчитывают сначала стороны треугольника. Вычисление сторон треугольника и затем его высоты выполняют поэтапно-вычислительным способом. При этом в некоторых случаях бывает целесообразно ввести с этой целью прямоугольную систему координат.

Задача 1. На ребре куба AD ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка P так, что отношение АР:AD принимает значение 1:4. Опустим перпендикуляр из точки A 1 на прямую C 1 P. Считая ребро куба равным a, найти расстояния от вершины A 1 до прямой C 1 P.

I cпособ. Построим куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и искомый треугольник A 1 C 1 P, где вершина A 1 – данная в условии точка, а две другие лежат на заданной прямой C 1 P.

Для построения перпендикуляра A 1 H подсчитаем стороны ∆ A 1 C 1 P. Из прямоугольного ∆А 1 АP найдем сторону А 1 P (длины сторон нужны будут также для определения вида ∆ по углам).

А 1Р = ^АА2+Ар = Ja2+| = ^.

Из прямоугольного ДА 1 В 1 С 1 найдем сторону А 1 С 1 : А 1 С 1

J А 1 В ² + В 1 С _Т ² = V2a

Из прямоугольного Д РСС 1 найдем сторону РС 1 .

РС1 = J РС2 + СС12 = J( Р D2 +DC2) + СС 12 = J^a2+a2 + a2 = JE^2^ =

V41a

4    .

В ДА 1 С 1 Р: РС 1 ² < А 1 Р ² + А 1 С 1 ² так как, 410- <  170- + 2а ² = ⁴³|- . Следовательно, ZA 1 -острый. A 1 P ² < А 1 С 12 + РС 1 ² так как, Т^- <  “70- + 2а ² = ⁴ 80- . Следовательно, ^С 1 - острый. А 1 С 1 ² < А 1 Р ² + РС 1 ² так как, 2а ² <  “70- + ⁴ 10- = 580- . Следовательно, ZP - острый. Итак,

ДА 1 С 1 Р - остроугольный, поэтому основание перпендикуляра АН G отрезку РС 1 . Выразим

A 1 H ² двумя способами: A 1 H ² = A 1 P ² - PH ² , A 1 H ² = A 1 C 1 ² - HC 1 ² . Или A 1 P ² - PH ² =

A1C12-(PC1-PH)2 ; —a2 -PH2 = 2a2 -(—- 2 - —- a •PH + PH2);  — a2+ —-

16                        x 16         2                        16        16

2a ² = — • a • PH, откуда PH = ¹³⁰—7a- =

2           ,                     68    V4Th

4^41 .

С1Н    70  4V4T28

Тогда — = -;=--=;

ph   V4T  13013

C 1 H

с-н=уг-1=17-г=1=;й.

Теперь находим точку Н и строим высоту. Из прямоугольного ДА 1 НС 1 находим:

Ат h = JA-.P² - рн 2 = /“ЕЕ- ¹⁶⁹ * ! = /И ⁹ * ! = / ¹⁶'^зз'^{а2 11}             16   16-41  \ 16-41   у 16-41

— a .

II cпособ. Введем в пространство прямоугольную систему координат. Пусть вершину А расположим в начало координат (0,0,0) и направим оси вдоль ребер куба.

Ось Ох - вдоль АБ, Ось Оу - вдоль AD, ось Oz - вдоль АА 1 . При ребре куба, равный a, координаты точек будут следующими А(0,0,0), Б(a, 0,0), D (0, a, 0), C (a, a, 0), А_Т(0,0, a), Б₁(a, 0, a), C 1 (a, a, a), D 1 (0, a, a). Определим координаты точки P. Точка P лежит

,     . „              АР на ребре AD , причем —

Т . Так как AD = a, то AP = * . Следовательно, р(о, 7 ,о).

Определим направляющий вектор прямой  C 1 P  . П = C 1 P = (0 - a; ** - a; 0 - a) =

3a

(-a;—— ;-a) . Для удобства вычислений возьмем вектор s сонаправленный с C 1 P, s =

(4; 3; 4). Определим вектор A1C1.    A1C1 = (a - 0; a - 0; a - a) = (a, a, 0).

Вычислим расстояние от точки до прямой через векторное произведение d

Hi C i Xs| ^1

>                   i

Найдем векторное произведение A 1 C 1 X s = а

а

к

0 = i(а • 4

— 0'3) — j(0 • 4 — 4 •

а) + к (а • 4 — а • 3) = (4а; -4а; а)

Найдем модули векторов: A1C1 X s| = ^(4а)2 + (—4а')2 + а2 = 716а2 + 16а2 + а2 =

У33а2 = а7з3. |s| = У42 + 32 + 42 = 716 + 9 + 16 = 741

аУзз 741 ^.

Подставим получившиеся значения в формулу d

III cпоcоб проверки ответа с помощью программы GeoGebra.

Для построения чертежа и проверки решения в строку ввода введем следующие команды: Создаем основы куба и параметры: a=4; A=(0,0,0) ; B=(a,0,0); куб1=куб(A,B) (система построит самостоятельно нужные вершины C₁,D,A₁,B₁,C,D₁. Построение точки и отрезков, P=(0, a/4, 0) точка на ребре AD , f=Отрезок(С_1, P) – основание на которое упадет перпендикуляр, T=Многоугольник(А_1, С_1, P) – треугольник в котором мы ищем высоту.

Построение высоты g=Прямая(С_1, P); H=Проекция(А_1, g) эта команда найдет точку основание перпендикуляра. Высота=Отрезок(А_1, H) отрезок длину которого мы искали.

Для получения ответа откроем меню CAS и введем следующие команды. Точка_А1 := (0,0,a), Точка_С1 := (a, a, a), Точка_P := (0, a/4, 0). Линия := Прямая(Точка_С1, Точка_P), d := Расстояние (Точка_А1, Линия), Проверка := sqrt(33/44)*a. После введения полной программы на панели можем наблюдать появление точного решения, а так же чертеж. Рассмотрение стереометрической задачи тремя различными способами показало, что каждый из них обладает собственной дидактической ценностью. Традиционный вычислительный метод позволяет сохранить геометрическую наглядность и опору на классические свойства фигур. Координатновекторный способ обеспечивает универсальность и алгоритмичность решения, что особенно важно в профильных классах, где усиливается роль аналитических методов. Использование среды GeoGebra создаёт условия для визуализации пространственных отношений, экспериментальной проверки гипотез и развития исследовательской культуры учащихся. Сопоставление различных методов способствует формированию у обучающихся умения выбирать рациональную стратегию решения в зависимости от структуры задачи, что является одним из ключевых требований обновлённого предметного стандарта.

Именно вариативность подходов обеспечивает более глубокое понимание математического содержания и развивает способность к обобщению и переносу знаний. Особое значение данный подход приобретает в системе подготовки будущих учителей математики. В рамках дисциплины «Практикум по решению математических задач» целесообразно уделять повышенное внимание анализу задач с позиций различных методов решения, их сравнительной эффективности и методической целесообразности применения в школьном курсе. Формирование у студентов навыка методического выбора и рационализации решения является важным условием подготовки учителя STEM-ориентации, способного реализовывать профильное обучение и интегрировать цифровые инструменты в образовательный процесс. Таким образом, представленный подход отвечает современным требованиям профильного математического образования и может рассматриваться как эффективное средство развития аналитической и профессиональной компетентности обучающихся.