Методика формирования умений работы с математическими моделями на уроках геометрии в общеобразовательной школе

Процесс моделирования широко используется во всех сферах деятельности человека и позволяет широко и глубоко исследовать реальные процессы. Люди моделируют ситуации, объекты, системы объектов, наделяя модели качествами, характеризующими своих прототипов. Поэтому процесс моделирования вызывает заслуженный интерес ученых. В школе одним из основных предметов, изучающих различные модели из реальной жизни, является математика.

Большое внимание исследователи уделяют математическим моделям, изучаемым в курсе алгебры (Ложкина Е.М. [5], Айвазян С.А., И. С. Енюков, Л. Д. Ме-шалкин [4], Ю.А. Виноградова, О.К. Иванова, Е.А. Яновская [4], В. С. Абатурова [1] и другие). Процесс математического моделирования для будущих математиков, физиков, инженеров в профильной школе рассматривается в работах Л.А. Мамыкиной [6], С.В. Щербатых [8], Нахмана [9], О.С. Бабанской [5] и других.

Отметим, что несмотря на интерес исследователей к обозначенной проблеме, математические модели, изучаемые в школьном курсе геометрии, не вызывают должного интереса у ученых, в основном они исследуются рамках профессионального образования.

В общем, модель понимается как подобие или копия первоначального объекта, с допустимым искажением, не существенных для изучения параметров. Айвазян С.А. определяет математическую модель как «абстракцию реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими объектами». Математические модели – это представление объектов реального мира математическим (формальным) языком в виде математических терминов, формул, функций, графиков, схем, таблиц, геометрических фигур. Под геометрической математической моделью будем понимать результат математического отражения некоторого реального или мыслительного объекта в формальном (формулы, функции, описание) графическом (изображение) виде или в виде объемной конструкции. Модель включает в себя содержательный и описательный компонент. Будем рассматривать моделирование геометрических фигур на плоскости и в пространстве в рамках школьного курсы геометрии.

Современные федеральные образовательные стандарты основного общего [11] и среднего общего образования [12] определяют требования к результатам освоения обучающимися образовательных программ, среди них: личностные, метафизические и предметные. Моделирование – это важный способ познания реальных объектов и систем, требующий сложных мыслительных операций, например, абстрактного мышления, синтеза и анализа. Однако для многих детей формирование абстрактного мышления, умения грамотно анализировать – долгий и сложный процесс, требующий реализации основных этапов формирования:

– обязательный опыт визуального и сенсорного восприятия различных геометрических объектов,

– мелко моторная деятельность в раннем возрасте,

– самостоятельное создание геометрических моделей с усложнени-

Методика формирования умений работы с математическими моделями на уроках геометрии в общеобразовательной школе

Е.А. Омельченко, П.В. Соков

ем, а также переходом от простых конструкций к более сложным,

– изучение свойств этих фигур и взаимного расположения их элементов на плоскости и в пространстве, их значимые и второстепенные признаки и свойства.

Эти этапы формируют целостное представление о геометрических объектах реального мира.

В современном образовательном информационном пространстве представлено множество изображений, видеороликов о формах, основных свойствах, взаимном расположении пространственных фигур, прямых, плоскостей. Готовые информационные продукты предоставляют школьникам возможность наблюдать, анализировать, изучать свойства, особенности, взаимное расположение геометрических объектов, поворота и вращения фигур, при этом без затрачивания усилий и времени на их изготовление. Однако такие продукты не дают возможности самостоятельного анализа свойств фигуры, абстрактного представления его формы, качеств, то есть в полной мере не отвечают поставленным образовательным задачам. Часто при заинтересованном изучении ребенок теряется в информационном потоке, представляющем обилие всплывающих предложений игр и картинок, которые отвлекают внимание ребенка или вовсе уводят от поставленной цели. Получается достаточно закрытая система. В большей степени такая форма изучения фигур подходит только для ознакомления обучающих со стереометрическими объектами или уточнения полученных ранее знаний о них.

Как показывает проведенный нами опрос, в средней школе всего от 10% до 20% обучающихся проявляют повышенный интерес к математике и самостоятельно изучают ее, используя дополнительные ресурсы. Эти обучающиеся в дальнейшем, как правило, идут в профильные математические классы и выбирают соответствующие экономические, инженерные или технические профессии.

Остальные дети довольствуются только тем материалом, который получили на уроке от учителя. Такие обучающиеся не рассматривают математику в качестве основного инструмента в своей будущей профессии и не уделяют должного внимания подробному изучению математических моделей. Тем не менее, изучение современных профессиональных требований к профессиям, связанным с дизайном, декорированием, мерчендайзингом, кулинарией, строительством, образовательными технологиями, анимацией и т.д. показывает, что для устойчивой конкурентоспособности немаловажным становится умение конструировать и строить геометрические модели с учетом их свойств: плотности, устойчивости, пропорциональности, наглядности, надежности, гибкости. Следовательно, к задачам школы нужно отнести работу со школьниками, не выбравшими математику в качестве основного предмета, по предоставлению возможности и доступности математического моделирования вне профильных классов.

Анализ уровня выполнения школьниками заданий из курса планиметрии и стереометрии показывает, что более половины школьников испытывают затруднение с представлением и построением геометрических фигур и их составляющих. Около 7,1% детей с трудом строят фигуры в трехмерной и даже двумерной системе координат и при этом не представляют, как будет выглядеть фигура при повороте, какой ракурс изображения фигуры будет более наглядным и удобным для поиска решения. Некоторые не соотносят изображение фигур на плоскости с их пространственным представлением. Особые затруднения вызывают задачи, связанные с определением взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Ежегодная статистика единого государственного экзамена по математике профильного уровня показывает, что одной из самых сложных является стереометрическая задача. Решение этого типа задач сводится к построению геометрической модели фигуры, ее сечений, определению и доказательству параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей, нахождению заданных величин данной модели.

Для решения сформулированной проблемы нами в рамках урочной и внеурочной деятельности, помимо усиленной подготовки профильных групп по математике, ведется работа с обучающимися «нематематических» классов.

Знакомство с математическим моделированием геометрических объектов происходит в рамках проектной деятельности и проводимых в школе мастер-классов и лабораторий на образовательных интенсивах [11; 12]. Проекты рассчитаны на обучающихся 4-11 классов. Уход от возрастных ограничений дает возможность обмена опытом между детьми, повышает интерес к математике, способствует формированию учебной мотивации.

На начальных занятиях перед школьниками ставятся определенные задачи: ознакомиться с предлагаемыми геометрическими фигурами, изучить их развертки, сконструировать модели по готовым схемам и предлагаемым материалам. На этом этапе школьники развивают навыки познавательной деятельности, учатся определять общие и отличительные характеристики геометрических объектов, действовать по аналогии, создавать подобные конструкции, анализировать получившиеся модели и выявлять их отличия и сходство.

После освоения первого этапа для моделирования обучающимся предлагается использовать максимально разнообразные материалы. На этом этапе школьники получают опыт удачных и неудачных попыток построения моделей из мягких, жестких и тянущихся материалов и способов крепления отдельных деталей. Дети анализируют свойства устойчивости, симметрии геометрических фигур, соизмеримости размеров и жесткости конструкции при работе с одним и тем же материалом, выбирают самые надеж- ные материалы и способы соединения, с учетом наглядности и презентабельности моделей. Процесс выбора качества материала (цвет, прозрачность, прочность, упругость, гибкость, твердость) определяет результат анализа и синтеза условий задачи математического моделирования. Для построения сложных моделей школьники разрабатывают новые развертки и чертежи.

Задачи математического моделирования в геометрии могут быть следующими:

– разработать геометрическую модель для украшения интерьера;

– создать наглядную геометрическую модель к задаче из курса стереометрии;

– построить самую высокую башню из элементарных геометрических фигур (треугольника, прямоугольника, отрезка);

– сконструировать геометрическую модель для украшения костюма;

– построить с помощью программного обеспечения геометрическую модель для ее наглядного представления на уроках геометрии;

– качественно сфотографировать имеющиеся геометрические модели для иллюстрации геометрических задач школьного курса;

– сконструировать математическую модель предметов искусства.

Задачи формируются исходя из интересов школьников, не требуют особой подготовки по геометрии. Дети могут работать в группах и отдельно.

Перед реализацией проекта обучающиеся формулируют цели, задачи математического моделирования, определяют сферу деятельности, в которой данный проект имеет актуальность. Особо поощряется поиск заказчиков проектов, ими могут быть студенты, преподаватели, родители, учителя. Все этапы моделирования реализуются школьниками самостоятельно, при необходимости их консультируют руководители проектов или

Методика формирования умений работы с математическими моделями на уроках геометрии в общеобразовательной школе

Е.А. Омельченко, П.В. Соков

заказчики. По завершении математического моделирования обучающиеся презентуют свои модели, описывают процесс моделирования и делают выводы.

Некоторые результаты такого моделирования представляются на уроках геометрии в качестве наглядного пособия к задачам. Часть моделей становиться объектами ежегодной новогодней ярмарки, в качестве новогодних подарков и украшений. Часть моделей становится дизайнерскими объектами интерьера школы и дома. Таким образом, у обучающиеся в рамках математического моделирования усиливается интерес к математике, формируется понятие о геометрических моделях и их свойствах, приобретается навык аккуратной работы с множеством материалов и умение выбирать наглядный ракурс математической модели.

На занятиях удается успешно сочетать учебную и воспитательную деятельность, тем самым формировать у обучающихся личностные результаты освоения образовательных программ, соответствующие современным образовательным стандартам. Обучающиеся приобретают устойчивые навыки совместной деятельности, определяют социально-значимые задачи, учатся их реализовывать, основываясь на духовно-нравственных принципах. Большое внимание уделяется эстетическому и трудовому воспитанию обучающихся, что способствует профессиональному самоопределению. Выбор материалов, их рациональное использование и повторная переработка формирует экологическую культуру детей. Процесс математического моделирования обеспечивает адаптацию обучающихся к изменяющимся условиям социальной и природной среды, способствует овладению универсальными учебными коммуникативными и регулятивными действиями и метапредметными результами освоения образовательных программ. Наряду с базовыми предметными умениями обучающие приобретают умение свободно оперировать свойствами геометрических фигур, классифицировать геометрические объекты, решать исследовательские задачи, формулировать гипотезу и выстраивать логический ряд её доказательства или опровержения.

Такого рода подход к математическому моделированию снижает уровень напряженности при изучении планиметрии и стереометрии в школе, дает возможность более глубоко изучать свойства геометрических фигур, строить и изучать геометрические модели, конструировать их в собственных проектах по другим дисциплинам и направлениям. Данный подход формирует устойчивое умение самостоятельно исследовать, конструировать геометрические модели, а не просто владение математическим понятийным аппаратом в рамках геометрии. Таким образом, данные принципы изучения математических моделей делают изучение геометрии боле эффективным и дают качественный фундамент для формирования в будущем профессиональных компетенций, связанных с созданием и применением геометрических объектов.