Многоэлектронная ионизация статистического атома ультракороткими лазерными импульсами: расчет в рамках биноминальной модели

• 1.    Введение

  Современные методы генерации позволяют получать ультракороткие лазерные импульсы длительностью порядка одной атомной единицы времени (24 ас) в широком спектральном диапазоне, включая рентгеновский и экстремальный ультрафиолетовый [1]. При этом амплитуда импульсного электрического поля может достигать высоких значений вплоть до атомной единицы напряженности (соответствующая интенсивность лазерного излучения порядка 10¹⁶ Вт/см²) и выше. Такого рода импульсы дают возможность наблюдать многочастичные фотопроцессы, недоступные для менее интенсивных электромагнитных полей, такие как многоэлектронная фотоионизация атомов.

• (с) Astapenko V. A., Lisitsa V. S., Sakhno S. V., 2026

• (с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2026

Данная статья посвящена теоретическому исследованию многоэлектронной ионизации статистического атома под действием ультракоротких лазерных импульсов рентгеновского диапазона в рамках биноминальной модели для вычисления вероятности процесса. Рассмотрим многоэлектронную ионизацию статистического атома Томаса - Ферми гауссовским импульсом с несущей частотой u_c, длительностыо т и амплитудой Ео:

E(t) = Ео exp(—t2/2т2)cos(uct).(1)

В рамках биноминальной модели вероятность ионизации m электронов атома выражается через вероятность одноэлектронной ионизации в соответствии с выражением

Wm(ws,N) = CN(ws)m(1 - ws)N-m,(2)

N!          „, , здесь Сm = —г;-----tv ^ биноминальный коэффициент, N = Z - полное число электронов m!(N — m)!

в атоме, равное в рассматриваемом случае заряду ядра атома, w_s - усредненная по атомным электронам вероятность одноэлектронной ионизации.

Формула (2) для описания фотоионизации атомной подоболочки в модели независимых электронов атома Хартри интенсивными лазерными импульсами использовалась в статье [2]. В цитируемой статье была показана хорошая воспроизводимость экспериментальных данных в рамках предложенного подхода.

Отметим, что аналогичный подход применяется также для описания ударной ионизации атомов/ионов быстрыми ионами [3]. В цитированной статье для вычисления многократной ионизации наряду с вероятностью ионизации заданной оболочки атома использовалась также усредненная по электронным оболочкам вероятность ионизации. Такой метод используется и в настоящей работе, поскольку в статистической модели атома присутствует только одна оболочка, и вероятность w_s усредняется по всем атомным электронам.

Из выражения (2) следует, что максимум вероятности многоэлектронной фотоионизации достигается для значения wmax = m/N <  1, при этом

Wm^ax(N) = (2^m(1 — m/N ))^-1/2.                         (3)

Отсюда, в частности, следует, что отношение вероятностей (m + 1) и m - электронной ионизации для N >>  m равно R = у/ m/(m + 1), т.е. для m=l - R=0.7, для m=2 - R=0.8 и т. д.

Вероятность одноэлектронной ионизации лазерным импульсом за все время действия импульса дается формулой, полученной одним из авторов в статье [4] (пользуемся атомными единицами е = m_e = ^=1)

^Ws = 4^2 / du^p) ^|Е(w)|²,                        (4)

где I - потенциал ионизации атома. В данной работе a_ph(u) - сечение фотоионизации статистического атома в пересчете на один электрон.

В дальнейшем мы полагаем, что для статистического атома сечение фотоионизации совпадает с сечением фотопоглощения для частот u > 10 ат. ед., которые рассматриваются в данной работе, так что фактически при фотоионизации лазерным импульсом с несущей частотой (1) основной вклад в вероятность процесса дают частоты u > I.

Сечение фотопоглощения на статистическом атоме может быть вычислено в приближении локальной плазменной частоты [5] согласно равенству

^ph^(u) = ^⁴^^Ulm{ / ₂, .Up ( ) --- r^2dr^^,                     (б)

N с up ш—г) — u2 — ?0    J где up(r) = у/4лп(г) - локальная плазменная частота, зависящая от электронной плотности атома для заданного радиуса n(r).

Отметим, что в пределе длинных квазимонохроматических импульсов (Дшт >> 1, Дш -спектральная ширина сечения фотоионизации) равенство (4) для гауссовского импульса (1) можно переписать в виде ws

С 22

---/= -^Л--------- Т.

8Щ    шс

т.е. вероятность одноэлектронной ионизации линейно растет с ростом длительности импульса. Отметим, что в случае фотоионизации спектральная ширина сечения порядка потенциала ионизации, поэтому нелинейная по т вероятность процесса имеет место только в аттосекундном диапазоне [6].

В модели атома Томаса - Ферми для распределения электронной плотности имеем [7]:

П тр (г) = Z ²f_TF (х = r/r_TF ),fTF (^) = уДзГ ^^ У ,              (⁷)

4дЬ3 \ х где rTF = b/3Z - радиус Томаса - Ферми, b = 0.8853. Для функции у(х) используем следующую аппроксимацию, справедливую для нейтрального атома [8]:

Х| '(х)   (1+ Z (хЩ/2 ’ х    ^2

где z(x) = (-у=44^ , Ai = (j л/73) 2, Л2 =

(—7 + \/7з)/2. Отметим, что аппроксимация (8)

описывает точную функцию Томаса - Ферми с точностью до 10%.

На рисунке 1 представлена зависимость нормированного на один электрон сечения поглощения излучения атомом Томаса - Ферми, вычисленного в приближении локальной плазменной частоты (5), для различного числа атомных электронов (или заряда ядра) для частот ш ^ 20 ат. ед. Мы полагаем, что в этом частотном диапазоне сечение фотопоглощения описывает фотоионизацию. Численный анализ показывает, что в рассматриваемом спектральном диапазоне сечение поглощения/ионизации на атоме Томаса - Ферми убывает с частотой как a_ph (ш) к ш^-“, где а ~ 1.3 Т 1.5.

Рис. 1. Спектральная зависимость сечения поглощения излучения на атоме Томаса - Ферми, нормированная на число электронов, для различных зарядов ядра: сплошная кривая - Z = 30, пунктир - Z = 54; штриховая кривая - нормированное на. число электронов сечение фотоионизации 4d подоболочки атома ксенона, рассчитанное в приближении случайных фаз с обменом

Для сравнения на рис. 1 приведено нормированное на число электронов сечение фотоионизации 4d подоболочки атома ксенона, рассчитанное в рамках последовательного квантово-механического подхода в приближении случайных фаз с обменом [9]. Эта подоболочка дает основной вклад в сечение фотоионизации в рассматриваемом спектралвном диапазоне. Видно, что используемый нами приближенный подход дает удовлетворительное соответствие с точным результатом с точностью порядка 20%.

Результаты расчета вероятности многократной ионизации атома Томаса - Ферми с зарядом ядра Z = 60 лазерными импульсами с различными параметрами представлены на рис. 2-6 и для амплитуды напряженности электрического поля в импульсе Ео = 1 ат. ед. На рисунках 2, 3, 5 для сравнения показана также вероятность одноэлектронной фотоионизации (4).

Заметим, что в рассмотренной области значений параметров, когда вероятность процесса не мала, выполняется условие квазимонохроматичности импульса и справедливо выражение (6).

На рисунках 2 и 3 показана зависимость вероятности фотоионизации от несущей частоты лазерного импульса для различного числа ионизированных электронов и длительностей импульса. Видно, что в отличие от одноэлектронной ионизации, эти зависимости имеют максимум, который смещается в область меньших несущих частот с увеличением кратности ионизации, при этом вероятность в максимуме уменьшается в соответствии с равенством (3).

Рис. 2. Вероятность многократной ионизации атома Томаса - Ферми лазерным импульсом в зависимости от несущей частоты для различного числа иопизироваппых электронов: сплошная кривая - m = 2, пунктир - m = 6, штриховая кривая - т = 10, штрих-пунктир - вероятность одиоэлек-трошюй ионизации w_s; Z = 60, т = 7.2 фс

Для более длинных импульсов (рис. 3) спектральные максимумы сдвигаются в область более высоких несущих частот, при этом значения вероятности процесса в максимуме не изменяются. Действительно, в максимуме w^ax = m/N = const и а_рь(ш_с)/ш_с - убывающая функция, то из (6) следует вышеуказанный спектральный сдвиг.

Расчет показывает, что с увеличением заряда ядра атома и, соответственно, числа атомных электронов максимумы в спектре вероятности процесса смещаются в область более высоких несущих частот и ширина их увеличивается. Данное обстоятельство связано с тем, что с ростом Z усредненное сечение фотоионизации атома Томаса - Ферми увеличивается, как это видно из рис. 1.

Рис. 3. То же, что на рис. 1 для большей длительности импульса: т = 19.2 фс

Зависимость вероятности многоэлектронной ионизации от длительности импульса представлена на рис. 4 и 5. Из рис. 4, в частности, следует, что в данном случае ^т=4(^ = 60) = 0.2 в соответствии с формулой (3).

Рис. 4. Зависимость вероятности ионизации атома Томаса - Ферми от длительности импульса для различных несущих частот: сплошная кривая - ш_с = 30 а.е., пунктир - ш_с = 40 а.е., штриховая кривая - ш_с = 50 а.е.; Z = 60, m = 4, E q = 1 а.е.

Из рисунка 5 видно, что вероятность одноэлектронной фотоионизации (4) в рассматриваемом случае линейна по длительности импульса в соответствии с выполнением условия квазимонохроматичности. Вероятность многоэлектронной фотоионизации имеет максимум, положение которого определяется равенством: w_s(T_max) = m/N, а величина - формулой (3).

Рис. 5. Зависимость вероятности многоэлектронной фотоионизации атома Томаса - Ферми от длительности импульса для различного числа ионизированных электронов: сплошная кривая - т = 2, пунктир - т = 6, штриховая кривая - т = 10, штрих-пунктир - вероятность одноэлектронной ионизации w_s', Z = 60, ш_с = 40 а.е., Ео = 1 а.е.

На рисунке 6 представлена зависимость вероятности многоэлектронной ионизации атома Томаса - Ферми от числа ионизированных электронов для различных длительностей лазерного импульса. Видно, что с ростом длительности импульса в данных зависимостях появляется максимум, смещающийся в область больших значений т. Это соответствует формулам (3), (6) и равенству wmmax = m/N.

Рис. 6. Зависимость вероятности многоэлектронной ионизации атома Томаса - Ферми от числа ионизированных электронов для различных длительностей лазерного импульса: сплошная кривая - т = 2.4 фс, пунктир - г = 12 фс, штриховая кривая - г = 24 фс, штрих-пунктир - т = 36 фс; Z = 60. Шс = 50 а.е.. Ео = 1 а.е.

Отметим, что в статье [2] приведена зависимость вероятности многоэлектронной ионизации атома ксенона от числа ионизированных электронов для лазерных частот, отвечающих многофотонной ионизации 5р-подоболочки, рассчитанная в рамках биноминальной модели, а также экспериментальные данные из работы [10] для трех значений интенсивности лазерного излучения: 1015, 1016 и 1017 Вт/см2. Для большего значения интенсивности в указанной зависимости имелся максимум при m = 2 (теория) и m = 3 (эксперимент). Случай, изображенный на рис. 6, отличается большими величинами одноэлектронной вероятности (4), (6), поскольку мы рассматриваем однофотонный процесс в поле рентгеновских импульсов, который имеет большее сечение, чем многофотонный аналог. Поэтому максимумы вероятности достигаются при больших значениях числа ионизированных электронов, чем при многофотонной ионизации лазерными импульсами вакуумного ультрафиолетового диапазона [10].

Анализ показывает, что использование электронной плотности статистического атома по Ленцу - Йенсену [8] приводит к близким результатам. Отличие состоит в незначительном сдвиге максимумов вышеприведенных зависимостей, при этом имеется полное подобие соответствующих кривых.