О приближении функций двух переменных некоторыми интегралами фурье

DOI:

Через L _p ( R² ) (1 <  р < то) обозначим пространство измеримых функций /(x, y) , для которых

НУ ^(ж,У) ^ ь _р

∞∞ j j |/(x,y)lPdxdy

1 р

< то,

1 <  р <  то,

-∞ -∞

НУ(x,y)^L^ = vroisupl/(x,y)| < то, ж,у и ряд

∞∞

EE ^^^(x,y), к=0 / =0

является рядом Фурье функции / (x,y) Е L _p , (1 <  р < то) , где

Ay (x, y) = Ofc,/ cos kx cos ly + bk,i sin kx cos ly + c^,/ cos kx sin ly + dy sin kx sin ly, ay, by, cy, dy — коэффициенты Фурье функции /(x,y), a

A _fc, o (x,y) = 2(а ^, о cos kx+b _k^ sin kx), A o,/ (x,y) = 2(« o ,i cos ly+c o ,/ sin ly), A o , o = 4O o , o .

Пусть почти всюду существует преобразование Фурье

∞

∞

F(t,z) = — j j /(u, v) exp(- i(tu + zv^^dudv,

-

∞

-

∞

где

^{F(t,z) Е L} q ^(R2'⁾ ,   —I— = 1.

р q

Для всякого n > 0 рассмотрим

σ

σ

S_c,_c(/ ;x,y) = j j F(t,z )exp(i(tx + zy))dtdz =

σ

σ

n и              и                и               и

= У < У A(t,u)dt + У A(t, -u)dt + У A(u,z)dz + У A(-u,z)dz

du =

— и

— и

— и

σ

= j S :„. (/;x,y)du.                                (1)

Основные результаты

В работе нами исследуются поведения отклонений функций двух переменных /(ж, у) , заданных на всем двумерном пространстве от интегральных средних их преобразований Фурье в метрике пространства L _p (R ² ) , 1 <  р < то , то есть будем изучать порядок поведения величины

R-,r(/) Lp = ||/(ж,у) - Ua-r(/; x,y)^Lp, где

^U -,r ^(/; ^ж,у)

σ

= j (1 - -:} S *,_u ^(/ ;x,у ^)d u. о

Теорема 1. Если / (ж, у) Е L _p (R²) (1 < р < 2) , то справедлива оценка

R-,r(/)Lp < с„       '; 1)Lp + + (/; 1)Lpl, где

r

П- СГХ)/(ж + vM)

v =0

^L p

r

Ema/ (ж, у + v K)

v =0

L p

+■' ^(/ ^L p = sup || A^^/ || L p = sup

| h |< u                     | h |< n

+^{2 (/} ;u ⁾ L p = ^suP lA y ^/II L p = ^suP | ^ |< n                       | ^ |< W

C _p,_r — константа, зависящая лишь от р и г.

Теорема 2. В предположениях теоремы 1 при 1 < р < 2 имеет место следующая оценка

/; -)Lp

Из теоремы 1 и 2 вытекает, что в предложениях теоремы 1 в случае, когда 1 < р< < 2, при любом натуральном г справедливо следующее порядковое равенство

1                                 1

R-,r (/)Lp X _PtoU;-)Lp +^!²⁾(/; -)Lp .

Заметим, что при р = то и г = 1 аналогичная задача рассматривалась в работе [3], для случая периодических функций в работе [5].

В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть функция /(ж,у) Е L_p(R²) (1 <р < то) имеет преобразование Фурье

F(ж,у) ELq(R2),   1 + 1 = 1, р q а Аа,а(/) — наилучшее приближение функции /(ж, у) целыми функциями QG,G(/;ж, у) степени не выше σ, то есть нижняя грань

^А-,-^(/)Lp = inf ^^(ж,у) ^{- Q}-,-^(/;^ж,У^)|Lp.

(V СТ, СТ

Тогда справедлива следующая оценка

σσ

^/(х’^У - 2n 11F(n, v) exp(i(ux + vy))dudv

< Cp^Ac,_c^(/)Lp.

^Lp

-σ -σ

Доказательство. Пусть Q_c,_c(/;x,y) E L_p(R²) есть целая функция степени не выше ст, осуществляющая наилучшее приближение порядка с функции /(x, y) в метрике пространства L_p(R²), 1 < р< то, то есть

II/ ^(х,У^ - ^Qac^(/; X,y)^Lp = ^Аа,а^(/) Lp.

При 1 < р< 2, Q_c,_c(/;x,y) E L₂(R²') и по теореме Винера — Пели (см. [1, c. 179])

σσ

Qc,c(/; x,y) = 2П 11 g(n, v) exp(i(nx + vy))dndv,

-σ -σ где g(n,v) — преобразование Фурье функции Qc,c(/;x,y).

Известна оценка (см. [6, c. 771])

11^а,а^(/;^х,у)К< B_py(x,y)^_Lp.

Отсюда, применяя неравенство Минковского, в силу (4) получим

σσ

II/(x,y) - 2П J J F(u,v)exp(i(ux + xy))dudx\Lp<

-σ -σ

< II/^(х,У) - ^Qa,a^(/;X,y)^Lp +

σσ

— 11[g(n, v) — F(u, v)] exp(i(nx + vy))dudv

-σ -σ

Lp

≤

< ^Bp\U ⁽X,y) - ^Q_Ca^(/; X,y)^Lp = ^Bp^Aa,a^(/) Lp , где B_p — константа, зависящая от р.

Если же 2 < р < то, то для любого e > 0 функция

Ge(/; x,y) = Q_a,_a(/^^yyfsin^

·

sin Ey

------ ^{E L}2, Ey

и, следовательно, она представима интегралом c+e c+e

Ge(/;ж,у) = 2П / J gE(n,x) exp(i(nx + xy))dudx,

-σ-ε -σ-ε где gE(u, v) — преобразование Фурье функции GE(f; x,y). Поэтому c+e c+e

^/(x,^{y) —}2П I I F(u, v) exp(i(ux + vy))dudv

Lp

≤

-σ-ε -σ-ε с+е

с+е

+

< /(^Ж,у) - Q^Af; ^Ж,у)

sin ЕЖ

с+е

·

sin Еу

ЕЖ

^Еу

^Lp

с+е

j j F(и, v) exp(i(uж + vy)) dudv — У У

σ

ε

σ-

ε

σ

ε

σ-

ε

+

д_Е(и, v) exp(i(uж + vy))dudv

^Lp

≤

< f ^(ж,у) - ^Qc,c^(/; ^ж,у)

sin ЕЖ

·

sin Еу

≤

ЕЖ

ЕУ

Lp

< НУ^(Ж,У) - ^Qc,c^(/;^Ж,у)\К + ^Qc,c^(/;^Ж,у) - ^Q_cA.f;^Ж,у)

sin ЕЖ

·

sin Еу

•

ЕЖ

Еу

Lp

Выбрав ε достаточно малым и пользуясь теоремой Фату (см. [2, с. 38]), можно

обес-

печить, чтобы второе слагаемое в правой части последнего неравенства стало меньше

первого. Тогда получим, что

с+е

с+е

^{/ (}Ж,у)

-

— У У F(и, v) exp(i(uж + vy))dиdv

σ-

ε

σ-

ε

Lp

Отсюда следует неравенство (3) и лемма доказана.

< В_РА_СД/)_Lp.

Доказательство основных результатов

Доказательство теоремы 1. Пусть

σ

σ

σ

и

s_c,_c^(/;^Ж,у) = У У F(t, ж) exp(г(tж + zy')')dtdz = У ^ У F(t, и) exp(i(tж + иy))dt > du.

σ

σ

о

-

и

Тогда в силу (1) будем иметь

σ

σ

σ

д^дЖ"5_с,_с(/;Ж,у) = УУ F (t,z^fi^rexp(гtж) exp(гzy)dtdz

σ

σ

и

и

= У У F(t,u)t^r exp(гtж) exp(гuy)dt + У F(t, —u^t¹" exp(itж) exp(—iuy)dt+

о

-

и

-

и

и

и

+ У F(u,z)u^r ехр(гиЖ) exp(гzy)dz + У F(

-

и, ж)и" ехр(-гиЖ) exp(izy)dz du •

-

и

-

и

Аналогично по переменному у получим

σ

и

ду:³с,с(/;Ж,у) = У У F(t,u)u^r exp(гtж) exp(гuy)dt +

о

-

и

и

и

+ j F(t, —u)u^rexp(itx) exp(-iuy)dt + j F(u,z)z^r exp(iux) exp(izy)dz +

—u

—u

и

+ j F(—u,z)z^r exp(—iux)exp(izy)dz du .

—u

Так как в силу доказанной леммы справедливо

II/(x,y) -^U;x,y)\Lp < CpA^,^(/)Lp (1

^R_c,r^(/)Lp^—У^(x,y)^{- U}.,r^(/;^x,y)\Lp < У^(x,y)^{- S}_G,_G^(/;^x,y)\Lp+

+ ■X.J/;^x,y) - U_c,_r^(/;x,y)^Lp

<С_РA_c,_c(/ )_Lp + R_c,r (S^. (5)

Очевидно, что

R.,r(S^K — \\S_C,_C(/;x,y) — U(/;x,y)^Lp —

σ

и

^J JaA(t,u)dt +

—u

и

У t^rA(t, —u)dt +

—и

и

σ

У j ^{иГ s}U,u^(/;^x,y)^du

и

—   (6)

Lp

j z^r A(u,z)dz + У z^rA(—u,z)dz du

—u

—u

Lp

.

Определим функцию A(t, z) следующим образом

1—.

A(t,z)— t^y, t t^rZ-z^r,^t

>

≤

^z;

z.

Тогда соотношение (6) принимает следующий вид

σ

и

и

^Rc,r ^(Sa,a)Lp —

_r j j A(t,u)(t^r + u^r)A(t,u)dt + j A(t,u)(t^r + u^r)A(t, -u)dt +

—u

—u

и

и

+ j X(u,z)(u^r + A)A(u,z)dz + j A(u,z)(u^r + A)A(

-

u, z)dz du

.

—и

—u

Lp

Пусть

t^r

Ai (t, z) —--------,

1^V , ’ t^r + z^r

zr

^X2^(t,z) ^—t^r + z^r

.

Тогда

дAi(t, z) 9t д A2(t,z) dt

r(tz)^r . t(t^r + z^r)², r(tz)^r

^—t(tr + zr)²,

dAi(t, z) dz = д Л2 (t,z) dz

r(tz)r    _

z(t^r + z'^r)2 ;

r(tz)r    _

z(A + z^r)2 ’

д %(t,z) dtdz

d 2^2(t,Z ) dtdz

r²(tz)^r(t - z) tz(t^r + z^r )³

r²(tz)^r(z^r- t^r) tz(t^r + z^r )³

, (0 < г < t);

, (0 < t< z).

Далее очевидно, что и

9 X1^(t,z) dt

< ™ш

д ^1(t,z)

Z dz

9²X1^(t,z)

^Zdtdz

< ^12,

1,

9 X2^(t,z) dt

< ^21,

9 2^2^(t,z )

^Zdtdz

< М2.

д Л2 (t,z) ^zdz

< №22

Поэтому, применяя известную теорему о мультипликаторах в непериодическом случае (см. [2, с. 69]), получим

σ

и

и

Ra,r ⁽S_g,_g⁾L_p —

C / /(t^r+ u^r)A(t,u)dt + l^rr+ u^r)A(t, -u)dt +

— и

—и

+j^(u

+ z^r)A(u, z)dz + ^(u^r+ z^r)A(-u, z)dz

du

—и

—и

Lp

Следовательно, при 1 < p < то будем иметь

R„,(s„,„)lp<    [

9 д’ d^rscA/;х,у)

Lp

9т

⁺дУТ⁸"^

(/;^,^)       .

^Lp J

После применения оценки С.М. Никольского для норм частных производных целой функции при 0 < h < о^--1(см. [4, с. 232]), находим, что

R„(S„,„)Lp < ^<l(|)^r[ВД^,„8-,-(/;^,y)»Lp + l|AX,„S,ZJ;®-y)«Lp] .       (7)

Так как при 1 < p < то

1А;,ж8о,о(/;x,y)lLp < МР1А;,Ж/(X,y)lLp, то из (7) получим

R.,r(S„)l,< Cr,„ [y(1)(/; о 1)L, + 4²4f; о-x].                (8)

Отсюда из соотношений (5), (8) и неравенства (см. [4, с. 294])

Ео,о^(/)Lp< ^Cr [^r^1)(/; °^—1)Lp + ^r^2)(/; °^—1)Lp] получим утверждение теоремы 1.

Доказательство теоремы 2. Докажем первую часть теоремы, то есть справедливость оценки сверху модуля непрерывности равномерно по -у величиной (2)

^(f; :К < мр,гR-,r(f)Lp, где

σ

^R:,r^(f)Lp = \^{f (x,}y) — U^^(f; x/y^^Lp = -7 У H^rs:,_u^(f; x,y)du.

Пусть 0 < h< -. Tогда

IKJ(x,y)R = ^AV(x,y) - A^U-,(f;x,y) + N^_xU_G,_T(f^K<

< \\^f(x,y)^{- u}-7^(f‘A^U + H^A^^U-,r^(f;^x,y)^Lp.              ⁽¹¹⁾

Принимая во внимание (2) и (10), при 1 < р < то имеем

IlA^U:, (f; x,y)BLp < h |;'    . (f ;x,y)|L, =

σ

= h^T

-

_u^r

:.) ^urs:,_u^(f;^x,y^)du

σ

Lp

= M_P

< Mp

“ :r

σ

σ

J У ^--.) ^ur8*.Л; ^x,y^)du

I (1 ^--.) s;,„(/; ^x,y^)du - I (1 - -.) s;,„(/; ^x,y^)du 00

= ^Mp\\^U:,r ^(f; ^x,y)^{- U}:r ^[U:,r ^(f;^x,y^)]|Lp •

-

^Lp

Lp

Отсюда l|Ah,$U:,r (f ;x,y)\Lp < Cp L:,T\\f (x,y) — u-. (f ;x,y)^Lp, где

^ ^

σ

L:,_T

= И*J 0 -)(■

■ _cosutsinuz _+cosuz s“' '

—^ —^

] du dtdz.

Интегрируя по частям, получим

L:,r

^ ^

=//

sin :t • sin :z

4------------ tz

dtdz < то.

—^ —^

Тогда llAh,^U:,r(f;x,y)\Lp < Cp,r\f(x,y) - U-,r(f;x,y)^Lp.

Благодаря (11) получим оценку (9).

Аналогично устанавливается вторая часть теоремы.

Полученные результаты устанавливают в терминах модулей гладкости точный порядок стремления к нулю рассматриваемых отклонений.

В заключение заметим, что теоремы 1 и 2 ранее без доказательства приведены в работе автора [7].