Об асимптотическом поведении решений стационарного уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях

DOI:

В исследованиях последних десятилетий нередко отмечалась сильная связь между классическими проблемами теории функций и теорией решений эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, например, уравнения Лапласа — Бельтра-ми и стационарного уравнения Шредингера. Данная проблематика нашла свое развитие в работах таких российских и зарубежных математиков, как М. Андерсон, А.А. Григорьян, А.Г. Лосев, В.М. Миклюков, М. Мурата, Н.С. Надирашвили, Д. Сулливан и ряда других авторов.

В современной математике изучение эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях охватывает достаточно весомую часть исследований, истоки которых восходят к классификационной теории некомпактных римановых поверхностей и многообразий, основанных на изучении некоторых функциональных классов на данных геометрических объектах. Достаточно полное представление об истории развития и современном состоянии данной научной области можно получить, например, из работы [14]. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространств ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии. Так, классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в Rⁿ функция является тождественной постоянной.

С другой стороны, как было показано в 80-х гг. прошлого века, есть достаточно обширный класс многообразий, на которых существуют нетривиальные ограниченные решения эллиптических дифференциальных уравнений. Так, например, М. Андерсон [13] и Д. Сулливан [20] доказали, что на односвязном римановом многообразии с отрицательной секционной кривизной, отделенной от нуля и бесконечности, существует бесконечномерное множество нетривиальных ограниченных гармонических функций и разрешима задача Дирихле о восстановлении гармонической на таком многообразии функции по непрерывным граничным данным на «бесконечности». В этой связи стоит заметить, что в данном и ряде других случаев геометрическая компактификация многообразия позволяет осуществить постановку краевых задач, в частности задачи Дирихле, так же, как и в ограниченных областях Rⁿ (см., например, [7-10; 17; 19]).

Однако постановка задачи Дирихле с граничными данными на «бесконечности» на произвольном некомпактном римановом многообразии М может оказаться проблематичной. В работе [11] был предложен подход, основанный на понятии классов эквивалентных функций. Данный подход позволил осуществить постановку краевых задач на многообразии при отсутствующей естественной геометрической компактификации. В дальнейшем этот подход был развит в работах [5; 12; 15; 18].

В исследованиях, посвященных разрешимости краевых задач, наряду с вопросом существования решения, часто параллельно исследуются вопросы: в каком смысле (в какой метрике) понимать близость решения к граничным данным (см.: [4; 6; 17]), с какой скоростью идет сближение. Так же вызывает интерес получение количественных характеристик, оценивающих скорость сближения решения и граничных данных.

Данная работа выполнена в указанном направлении. В частности, исследуются вопросы существования решения краевой задачи с заданной скоростью асимптотического приближения к граничным данным для стационарного уравнения Шредингера

Lu = Au — c(x)u = 0                              (1)

на произвольном гладком связном некомпактном римановом многообразии М без края. Здесь с(ж) G С ^0,a (Q) — неотрицательная функция, Q С М — произвольное предком-пактное подмножество, 0 <  a < 1 .

Доказательство основных результатов работы опирается на классические утверждения теории уравнений в частных производных: принцип максимума, теоремы сравнения и единственности для решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений. Их справедливость на предкомпактных подмножествах многообразия М доказывается так же, как и для ограниченных областей в Rⁿ (см., например, [2, с. 39-40]).

1.    Вспомогательные понятия и утверждения

Опишем сначала подход к постановке краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений на произвольных некомпактных римановых многообразиях из работы [11].

Пусть М — произвольное гладкое связное некомпактное риманово многообразие без края, В С М — произвольное компактное подмножество, дВ — гладкое подмногообразие, {В^}^=1 — исчерпание М, то есть последовательность предкомпактных непустых ∞ открытых подмножеств в М таких, что Вк С В^+1 и М = [J Вк.

к=1

Всюду далее предполагаем, что границы дВ _к являются гладкими подмногообразиями.

Определение 1 (см. также [11]). Непрерывные функции f1 и f2 будем называть эквивалентными на М и обозначать f1 ~ f2, если для некоторого исчерпания {Вк}^=1 многообразия М мы имеем lim sup |fi — f2| = 0.

^k^^ M \ B _k

Непрерывную функцию ω будем называть асимптотически неотрицательной , если на М существует непрерывная функция f >  0 такая, что ш ~ f .

Обозначим класс эквивалентных f функций через [f] .

Замечание 1. Это отношение эквивалентности характеризует поведение функций вне произвольного компактного подмножества В С М и обеспечивает асимптотическое приближение функций в равномерной норме. При этом, если изменить значения некоторой непрерывной функции f на компакте В , то вновь полученная функция будет эквивалентна исходной.

Далее обозначим через v _k решение уравнения (1) в В _к \ В , удовлетворяющее условиям v _k 1 эв = 1 , v _k 1 эв _к = 0. В [11] показано, что последовательность v _k равномерно ограничена на любом компактном подмножестве в М \ В , при к ^ то она монотонно возрастает и, следовательно, сходится на М \ В в классе дважды непрерывнодифференцируемых функций к функции v = lim v _k , которая удовлетворяет уравнению k >^

• (1) и условиям 0 < v <  1, v \ g_B = 1. Функция v не зависит от выбора исчерпания { В _к } k =1 и называется L -потенциалом компакта В относительно многообразия М (см. также [11]).

Если в уравнении (1) с(ж) = 0 , то предельная функция v есть не что иное, как емкостный потенциал компакта В относительно многообразия М .

Определение 2 (см. также [11]). Многообразие М будем называть L -строгим многообразием, если для некоторого компакта В с М существует L -потенциал v такой, что v Е [0] .

Сформулируем некоторые вспомогательные утверждения из работы [11].

Лемма 1. Пусть Lw <  0 на М \ В , w | д_В >  0 , w является асимптотически неотрицательной. Тогда w >  0 на М \ В .

Лемма 2. Пусть Lw <  0 на М , w является асимптотически неотрицательной. Тогда w >  0 на М .

Следствие 1. Пусть Lw <  Lu на М \ В , w I q _B >  u I q _B , w ~ и . Тогда w >  и на М \ В . Если же Lw = Lu на М \ В и w l g_B = u | g_B , w ~ и , то w = и на М \ В .

Следствие 2. Пусть Lw <  Lu на М и w ~ и . Тогда w >  и на М . Если же Lw = Lu на М и w ~ и , то w = и на М .

С помощью описанного подхода в [11] была установлена взаимосвязь между разрешимостью краевых задач и разрешимостью внешних краевых задач для стационарного уравнения Шредингера на некомпактном римановом многообразии. Этот подход был развит в дальнейшем в ряде работ. В частности, в работах [5; 15] было введено понятие слабой эквивалентности решений однородных эллиптических уравнений и получена некоторая оценка скорости асимптотической сходимости этих решений к граничным данным в терминах слабой эквивалентности. В работах [1; 16] было введено понятие Ф -эквивалентности (где ф > 0 — некоторая непрерывная на М функция, ф ~ 0 на М ) и исследовано асимптотическое поведение решений краевых и внешних краевых задач для уравнения Лапласа — Бельтрами в терминах φ -эквивалентности. Остановимся подробнее на этом понятии.

Заметим также, что из определения эквивалентных функций, условий ф ~ 0 , ф > 0 и непрерывности ф на М следует, что функция ф будет ограничена на М .

Определение 3 (см. также [1; 16]). Пусть В с М — как и выше, некоторое произвольное компактное подмножество с гладкой границей. Будем говорить, что непрерывные функции f 1 и f ₂ ф -эквивалентны на М и обозначать f 1 ~ / 2 , если существует константа С >  0 (не зависящая от В ) такая, что

|/1(ж) - /2(ж)| < С • ф(ж), для любого ж Е М\В.

Как и выше, данное отношение является отношением эквивалентности и разбивает множество всех непрерывных на М функций на классы эквивалентности. Обозначим класс ф -эквивалентных f функций через [/] _ф .

Замечание 2. Отношение φ -эквивалентности также как и отношение эквивалентности характеризует поведение функций вне произвольного компактного подмножества В С М , и если изменить значения функции / на компакте В , то вновь полученная функция будет ф -эквивалентна исходной. Ясно также, что если / 1 ~ / 2 , то / 1 ~ / 2 .

В работе [18] показана независимость L -строгости многообразия от выбора компактного подмножества, то есть если В С М , В' С М различные компактные подмножества и v , v' — соответствующие L -потенциалы, то условия v ~ 0 и В ~ 0 эквивалентны. Покажем, что аналогичное свойство выполнено и для понятия φ -эквивалентности. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3. Если v Е [0] ф , то v' Е [0] ф .

Доказательство. Будем считать, что ЭВ ' — гладкое подмногообразие и В ' С В _к для всех к . По определению функции v ' как L -потенциала компакта В ' относительно многообразия М имеем v ' = 1ш1 _к ._х v' _k , где Lv' _k = 0 в В _к \ В ' , v _k = 1 на ЭВ ' и v _k = 0 на ЭВ _к .

Пусть сначала В С В’ С В _к для всех к , где { В _к } к=1 — произвольное исчерпание многообразия М c гладкими границами дВ _к . Так как v > 0 и v ~ 0 , то inf _м \ в v = 0 и для некоторой константы с > 0 выполнено с • v | _dB ‘ > 1 . Применяя принцип сравнения для любого к , мы имеем 0 <  v k < с • v на В _к \ В ' и поэтому 0 < v ' <  с • v . Так как v Е [0] ф , то и v ' Е [0] ф .

Далее положим В ' С В С В _к для всех к . Тогда v k 1 _9в <  1 = v l _9B , v k l _9Bk = 0 < <  v l _9Bk и по принципу максимума для всех к имеем v k <  v на В _к \ В и следовательно 0 < v ' <  v . Поскольку v Е [0] _ф , то и v ' Е [0] _ф .

Пусть теперь В и В ' — произвольные компактные подмножества многообразия М . Тогда рассмотрим произвольное компактное подмножество В" С М ( дВ " — гладкое подмногообразие) такое, что В U В ' С В" С В _к .В качестве В '' можно взять, например, В 1 , а в качестве исчерпания многообразия М взять последовательность множеств { В _к } £ =2 . Обозначим v " — L -потенциал компакта В " относительно многообразия М .

Тогда, как показано выше, v " Е [0] _ф , так как В С В " и v Е [0] _ф , следовательно, v ' Е [0] _ф , так как В ' С В " и v" Е [0] _ф . Лемма доказана.

Определение 4 (см. также [1; 16]). Будем говорить, что для уравнения (1) на М разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/] _ф , если на М существует решение и ( х ) уравнения (1) такое, что и Е [/] _ф .

Определение 5 (см. также [1; 16]). Будем говорить, что для уравнения (1) на М \ В разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/] _ф , если для любой непрерывной на дВ функции Ф(ж) на М \ В существует решение и ( х ) уравнения (1), непрерывное вплоть до границы дВ , и такое, что и Е [/] _ф и Ц_9в = = ^{ф |} дв .

Таким образом, понятие φ -эквивалентности, с одной стороны, обобщает понятия эквивалентности, а с другой стороны, позволяет более точно оценить скорость асимптотического приближения решения краевой задачи к граничным условиям.

Определение 6 (см. также [1; 16]). Будем говорить, что функция w является ф -асимптотически неотрицательной, если на М существует непрерывная функция / >  0 такая, что на | w — / 1 <  С • ф (ж) , где ф (ж) ~ 0.

Докажем утверждения, аналогичные леммам 1 и 2 и их следствиям в классе φ -эквивалентных функций для уравнения Шредингера (1).

Лемма 4. Пусть Lw <  0 на M \ В , w | эв >  0 , w является ф -асимптотически неотрицательной. Тогда w >  0 на M \ В .

Доказательство. Из определения 6 и замечания 2 следует, что функция w будет асимптотически неотрицательной. Тогда по лемме 1 получаем w >  0 . Лемма доказана.

Следствие 3. Пусть Lw <  Ln на M \ В , w | g_B >  u l g_B , w ~ и . Тогда w >  и на M \ В . Если же Lw = Ln на M \ В и w l d_B = u | d_B , w ~ и , то w = и на M \ В .

Доказательство. Положим п = w — и . Следовательно, Ln = Lw — Lu <  0 , n | э_B = = w | d_B — u | d_B >  0. Также w — и ~ 0 , из этого следует п ~ 0, то есть п является ф -асимптотически неотрицательной. По лемме 4 получаем, что п = w — и >  0 на M \ В .

Для доказательства второго утверждения достаточно рассмотреть одновременно функции п = w — и и — п = и — w , затем показать, что п >  0 и — п >  0 на M \ В .

Аналогичным образом получаются следующие утверждения.

Лемма 5. Пусть Lw <  0 на M , w является ф -асимптотически неотрицательной. Тогда w >  0 на M .

Следствие 4. Пусть Lw <  Lu на M и w ~ и . Тогда w >  и на M . Если же Lw = Lu на M и w ~ и , то w = и на M .

Замечание 3. Следствия 3 и 4 непосредственно влекут за собой выполнение теоремы единственности для решений краевой и внешней краевой задач для уравнения (1) с граничными условиями из класса [f] _ф .

Аналогичные утверждения для класса φ -эквивалентных гармонических функций были доказаны в [16], в частности, получен принцип сравнения и теорема единственности для решений краевых и внешних краевых задач для уравнения Лапласа — Бельтра-ми с граничными данными из класса [f] _ф .

2.    Разрешимость краевых задач для стационарного уравнения Шредингера в классе φ-эквивалентных функций

Пусть как и выше M — произвольное гладкое связное некомпактное риманово многообразие, В С M — произвольное компактное подмножество с гладкой границей, f — непрерывная ограниченная на M функция. Сформулируем и докажем основные результаты работы.

Теорема 1. Если на M \ В для уравнения (1) разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [f] _ф , то на M для уравнения (1) разрешима и краевая задача с граничными условиями из класса [f ] _ф .

Доказательство. Обозначим через и ₀ Е [f] _ф решение внешней краевой задачи для уравнения (1) на M \ В , удовлетворяющее условию u ₀ | g_B = 0 . Так как f ограниченная на M функция, то и и ₀ является ограниченным решением на M \ В .

Рассмотрим последовательность функций фВ являющихся решением такой задачи

( Lф _i = 0 в В . , I ^ф » ^l 8B_i = ^U 0 | dB _i .

Используем принцип максимума, для всех г имеем

| ф г | <  SUp | ф г | = SUp | ф г | = SUp | и о | <  SUp | U q | . B i          8B i         8B i          M

Отсюда следует равномерная ограниченность семейства функций { ф _г }^ 1 на М .

Учитывая равномерную ограниченность, также как и в [11], получаем компактность семейства функций { ф _г } в классе С 2 (G) для произвольного компактного подмножества G С М . В свою очередь, компактность семейства { ф _г }^ 1 влечет существование предельной функции и = lim ф _г , которая является решением уравнения (1) на М . г ^^

Докажем, что и(ж) Е [/] _ф . Действительно, в силу непрерывности функции и(ж)

существует

^u i = min н^|, дВ

U 2 = max | и(ж) | .

Тогда U 1 <  и | э_B <  U 2 и, следовательно, при достаточно больших г выполнены неравенства

^U 1 ^{— 1} <  ^ф г | дВ <  ^U 2 + ¹

Определим А 1 = min { 0, U 1 — 1 } и А 2 = max { 0, U 2 + 1 } . Учитывая, что и ₀ | д_В = 0 , имеем А 1 <  и ₀ | д_В <  А 2 и А 1 <  ф _г | д_В <  А 2 для больших г .

Согласно условию теоремы на М \ В существуют решения и 1 (ж) Е [/] _ф и и ₂ (ж) Е Е [/] _ф уравнения Ln = 0 , удовлетворяющие условиям

^и 1 | дВ = ^А 1 , ^U 2 ^| 8B = ^А 2 ^.

Так как Lu2 = Lu0 = Lu1 на М\В,  А1 = и1|дВ < и0|дВ < и2|дВ = А2 и и2 ~ и0 ~ и1, то по лемме 4 на М\В получаем, что и1 < и0 < и2.

Тогда для достаточно больших г с учетом (2) и (3) выполнены соотношения u1|дBi < фг |QBi = и0|дBi < и2|дBi, и1|8B < фг |дВ < и2|8B.

Далее, применяя принцип сравнения к функциям ф _г , и 1 , и ₂ в В _г \ В для достаточно больших г на множестве В _г \ В , имеем и 1 <  ф _г <  и ₂ . Переходя к пределу при г ^ то , на М \ В получим и 1 <  и <  и ₂ . Учитывая, что и 1 ~ и ₀ ~ и ₂ , приходим к эквивалентности и ~ и ₀ и, следовательно, и Е [/] _ф . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть многообразие М является L -строгим и L -потенциал некоторого компакта В С М удовлетворяет условию v Е [0] _ф . Если на М для уравнения (1) разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/] _ф , то на М \ В для уравнения (1) разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/] _ф .

Доказательство. Докажем сначала, что на М \ В для любой непрерывной на дВ функции Ф(ж) существует решение ш уравнения (1) такое, что w | э_B = Ф , w Е [0] _ф . Рассмотрим последовательность функций W k , являющихся решением следующих краевых задач:

' Lw k = 0 в В к \ В, < ^wk ^| дB = ^Ф(ж), . ^Wk ^| дв _k = ^0.

Учитывая принцип максимума, для любого к имеем

1^к |< sup \ш | = sup |Ф|, д(Вк\B)          дВ то есть последовательность {wk 1^1 равномерно ограничена на М \В и, следовательно, компактна в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций на любом компактном подмножестве в М \ В. Компактность влечет за собой существование предельной функции w = lim wk, которая является решением уравнения (1) на М\В. Ясно, к^^

что w | _дВ = Ф(ж).

Далее покажем, что w Е [0] _ф , то есть для некоторой константы С >  0 выполнено | w(x) | <  С • ф (х) , для любого ж Е М \ В .

Пусть U = max d_B | Ф | . Очевидно, что

— ( U + 1) <  Ф <  U + 1,   - (U + 1) <  w | dB <  U + 1

и для любого к

• ^{-( U} + 1) <  ^w k | dB <  ^U + 1.

В условиях теоремы существует функция и , которая является L -потенциалом компакта В относительно многообразия М и и Е [0] _ф . Иначе говоря, существует решение уравнения (1) такое, что для некоторой константы С >  0 на М \ В выполнено

0 <и <  1, и | д_В = 1, | и(ж) | <  С • ф (ж).

Рассмотрим на М \ В функции и 1 = — (U + 1) • и и и ₂ = (U + 1) • и . Функции и 1 и и ₂ являются решениями уравнения (1) и удовлетворяют условиям

^U 1 ^| дB = ^{—( U} + 1),    ^{—( U} + 1) <  ^U i <  ⁰, ^и 1 ^{Е [0]} Ф ,

^U 2 ^| дB = ^U + 1,   ⁰ <  ^и 2 <  ^U + 1, ^и 2 ^{Е [0]} ф .

Тогда на М \ В выполнено и 1 <  и ₂ и с учетом принципа сравнения для всех к на множестве В _к \ В

U i < W k <  U 2 .

Переходя к пределу при к ^ то , получаем и 1 <  w <  u ₂ . Учитывая, что U 1 ~ 0 и и ₂ ~ 0, имеем ш Е [0] _ф .

Далее возьмем и Е [/] _ф — решение краевой задачи для уравнения (1) на М и рассмотрим непрерывную на дВ функцию Ф * = и — Ф , где Ф — произвольная непрерывная на дВ функция из определения краевой задачи. Как доказано выше, на М \ В существует решение w уравнения (1) такое, что w | d_B = Ф * и w Е [0] _ф . Тогда функция и ₀ = и — w будет искомым решением внешней краевой задачи на М \ В с граничными условиями из класса [/] _ф . Действительно,

L ( u — w) = 0, (и — w) | dB = u | dB — (и — Ф) | дв = Ф.

Кроме того, на М \ В выполнено неравенство

|ио — /| = |и — w — /| < |и — /| + |w| < (С + С*) • ф, где С и С * — некоторые положительные константы. Следовательно, по определению и0 Е [/]ф. Теорема доказана.

Замечание 4. Результаты теорем 1 и 2 обобщают для стационарного уравнения Шредингера результаты работ [1] и [16].