Обучение будущих учителей математики построению систем задач методом ключевой

Обучение студентов математических факультетов педагогических университетов конструированию систем задач нацелено на решение проблемы становления профессиональных умений будущих учителей математики.

Овладение такими методами конструирования систем задач, как варьирование задачи, методы ключевой и целевой задач, «снежного кома», является неотъемлемой частью методической подготовки будущего учителя математики, способного осуществлять эффективную профессиональную деятельность в новых условиях.

Метод составления системы задач, построенной по принципу: каждая задача системы использует результат решения другой какой-либо задачи - будем называть методом ключевой задачи , а эту задачу, соответственно, - ключевой.

Выделим два подхода к понятию ключевой задачи. Первый из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта , результат решения которой может быть использован при решении каждой из задач системы. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Приведем пример.

Ключевая задача . Если в трехгранном угле два плоских угла равны, то проекция их общего ребра на плоскость третьего плоского угла является его биссектрисой.

Дано: Z ВАМ = Z ВАК , ВО 1 ( АМК) .

Доказать , что АО - биссектриса.

Доказательство. Пусть ОМ 1 АМ и ОК 1 АК . Тогда по теореме о трех перпендикулярах ВМ 1 АМ и ВК 1 АК. Треугольники ВАМ и ВАК равны как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, АМ = АК .

Треугольники АМО и АКО равны как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, Z ОАМ = Z ОАК , а значит, АО - биссектриса Z ОАМ .

Рассмотрим задачи системы:

1. Все грани параллелепипеда - ромбы со стороной а и острым углом а. Найдите объем параллелепипеда.

Решение задачи начинается с анализа - что надо знать, чтобы найти объем параллелепипеда? Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Основанием данного параллелепипеда является ромб со стороной а и острым углом а, следовательно, площадь основания можно найти по формуле 5 = а2 sin а. Чтобы найти высоту, надо ее построить. Где будет лежать основание перпендикуляра, проведенного, допустим, из вершины A 1 к плоскости основания? Ответ на этот вопрос даст ключевая задача.

Далее решение задачи сводится к вычислению элементов параллелепипеда. Из треугольника АА 1 М AM = а • cos а. Из тре-

ных треугольников. Из треугольника

АА 1 М AM = а • cos а. Из треугольника АОМ

AO =

AM cos45⁰

2 с • cos а

= 72 с • cos а . По теоре

ме Пифагора из треугольника АА 1 О A 1 O = с4 1 - 2 cos² а = c4- cos 2 а V = abc4 - cos 2 а .

3. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной а. Боковое ребро призмы равно b , а углы между одним из боковых ребер и прилежащими к нему сторонами основания - а. Найдите объем призмы.

AM a • cos а

AO =     = угольника АОМ    cos а cos а . По тео-

2         2

реме Пифагора из треугольника АА 1 О

а ₂ а

-----. cos — а 2 cos

- cos а .

, а

V = 2 а sin—

а  3а sin— sin— .

2. Основанием параллелепипеда служит прямоугольник со сторонами а и b . Боковое ребро параллелепипеда равно с , а углы между одним из боковых ребер и

2 а

V = 8₀ с„ • H ,   S„

V3

А₁О 1 ( ABC ) и Z А 1 АВ = Z А 1 АС , следовательно, по ключевой задаче АО - биссектриса угла BAC . Из треугольника АА 1 М AM = b • cos а. Из треугольника АОМ

AO =

AM cos 30⁰

2 b cos а

По теореме Пифагора из треугольни-

ка АА 1 О A 1 O = b . 1

^^^^в

— cos а .

прилежащими к нему сторонами основания - а . Найдите объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда можно вычислить по формуле V = 8_осн • H . Основанием является прямоугольник со сторонами а и b , следовательно, 8_осн = а • b . Проведем высоту параллелепипеда из вершины A 1 .

По ключевой задаче проекцией ребра AA 1 на плоскость основания АВС будет АК - биссектриса угла BAD . Далее решение задачи сводится к решению прямоуголь

V = - а2b3 - 4 cos2 а .

4. В треугольной пирамиде все четыре грани - равные равнобедренные треугольники с основанием а и боковой стороной b . Найдите объем пирамиды.

Так как треугольники AFC и AFB равны по трем сторонам, то Z FAC = Z FAB . Следовательно, проекция ребра AF на плоскость ABC является биссектрисой, т.е. AO - биссектриса угла BAC .

Далее после вычисления элементов пирамиды, получаем V = — a ² V4 b^г - 2 а^г .

Итак, в каждой задаче системы использовался факт, доказанный в ключевой задаче.

Второй подход состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода . При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. В результате анализа методической литературы выделим четыре основных приема отбора ключевых задач.

Первый прием основан на умениях, которые должны быть сформированы у учеников после изучения темы. Для отбора задач учителю нужно просмотреть задачи по теме и соотнести их с умениями, которые планируется сформировать. Далее выбирается минимальное число задач, овладев умениями решать которые школьник сможет решить любую задачу из учебника по данной теме.

Второй прием - прием исключения и дополнения. Для его реализации нужно обратиться к задачам из учебника, прочитать первую задачу - она кандидат на включение в список ключевых. Затем переходим к следующей задаче. Если она аналогична первой, то нужно решить, какую из них нужно оставить в списке ключевых. Если она существенно отличается от первой и не включается в нее, то эту задачу следует добавить к возможным кан дидатам. Если вторая задача отличается от первой, но включает ее, то это означает, что первую задачу следует исключить, а вторую включить в число возможных ключевых задач. Далее нужно перейти к третьей задаче и повторить процедуру. Это необходимо проделать со всеми задачами учебника.

Третий прием выделения ключевых задач основан на методах решения задач по изучаемой теме. Выбор осуществляется в такой последовательности:

• 1)    изучается набор задач в учебнике и дополнительных источниках;

• 2)    задачи соотносятся с методами решения, отобранными для работы с учащимися;

• 3)    выбирается 5 - 7 задач, при решении которых будут задействованы все отобранные учителем методы решения.

Четвертый прием выбора ключевых задач можно назвать комбинаторным. Для его реализации следует выделить объекты, которые фигурируют в задачах той или иной темы, рассмотреть возможные комбинации этих объектов, а потом для наиболее важных комбинаций подобрать задачу.

Покажем, как, согласно первому из выделенных приемов, можно выбрать ключевые задачи на тему «Показательная функция» по учебнику «Алгебра и начала анализа. 10 - 11 кл.» [1].

Для решения предложенных в пособии задач учащиеся должны уметь:

• 1)    строить график показательной функции;

• 2)    сравнивать значения степеней;

• 3)    находить значения степенных выражений;

• 4)    схематично изображать график показательной функции;

• 5)    исследовать показательную функцию на монотонность;

• 6)    находить наибольшее и наименьшее значения показательной функции на отрезке;

• 7)    находить наибольшее и наименьшее значения показательной функции;

• 8)    решать графически уравнения и неравенства;

• 9)    находить область значений функции;

• 10)    решать уравнения, используя монотонность функции.

Некоторые из перечисленных умений связаны с другими умениями или следуют из них. Так, учащиеся уже знают принцип графического решения уравнений и неравенств, и теперь, когда они познакомились с новой функцией, им достаточно научиться строить ее график, чтобы с его помощью решать уравнения и неравенства, т.е. восьмое умение следует из первого: 1) ^ 8). Анализируя таким образом каждое из десяти умений, получим следующие зависимости: 1) ^ 8), 10); 5) ^ 2), 4), 6); 10 ^ 7).

В результате получаем четыре ключевые задачи, требования которых заключаются в следующем: построить график показательной функции; найти значение выражения; исследовать показательную функцию на монотонность; найти область значения показательной функции. Вокруг этих задач могут быть сгруппированы все остальные задачи из учебника на тему «Показательная функция».

Обучение будущих учителей математики построению систем задач методом ключевой происходит в рамках процесса обучения их конструированию систем задач.

Процесс обучения конструированию систем задач понимается нами как система целенаправленных воздействий, обусловливающих формирование указанного умения.

Обеспечение формирования умения конструировать системы задач происходит через

• -    применение задачного подхода при изучении систематических курсов математических дисциплин;

• -    реализацию задачной технологии на практических занятиях по элементарной математике;

• -    содержание лекций или спецкурса по теории и методике обучения математике;

• -    организацию деятельности студентов по конструированию систем задач и их использование на семинарских занятиях по теории и методике обучения математике.

Формирование у студентов умения конструировать системы задач проходит ряд последовательных этапов.

Первый этап - эмоционально-мотивационный - предполагает развитие устойчивого интереса к процессу конструиро вания систем задач и их использованию в профессиональной деятельности. На данном этапе будет востребована информация, доказывающая необходимость включения систем задач в учебный процесс, раскрывающая перспективы их использования для достижения дидактических, воспитательных и развивающих целей обучения, убеждающая в эффективности применения систем задач в процессе обучения математике.

Второй этап - информативно-ориентационный - обусловлен недостаточностью знаний о правилах и методах конструирования систем задач, методики использования их в учебном процессе. Самостоятельное конструирование систем задач в соответствии с целями урока и проверка эффективности их использования в процессе обучения - основная цель третьего, рефлексивно-преобразующе-го этапа.

Согласно логике вышеуказанного процесса, обучение будущих учителей математики построению систем задач методом ключевой будет включать: на 1-м этапе - решение готовых систем задач; на 2-м этапе - выделение ключевой задачи в предложенной совокупности задач; на 3-м этапе - формирование умения самостоятельно конструировать систему задач по методу ключевой.

Решение готовых систем задач на первом этапе позволяет студентам осознать логику их построения; увидеть методический потенциал таких систем; убедиться в эффективности их использования на различных этапах обучения; проследить влияние ключевой задачи на поиск и осуществление решения всех задач системы.

Кроме этого, решение студентами готовых систем задач, составленных методом ключевой, влияет на их умения осуществлять поиск решения задач. Ведь каждый факт, используемый при решении любой математической задачи, может рассматриваться как ключевой относительно другой задачи. Поэтому после решения определенного числа готовых систем задач студенты постепенно начинают в каждой задаче искать ключевую.

Обратимся к примеру построенной системы задач, приведенному выше. Анализ решения каждой задачи системы приводит к поиску ответа на вопрос: где будет лежать основание высоты пирамиды или призмы? При поиске ответа на этот вопрос приходится «припоминать» нужное утверждение. Таким образом осуществляется аналитико-синтетический поиск решения задачи. Также можно заметить, что идея доказательства ключевой задачи используется при решении всех задач системы.

На втором этапе происходит непосредственная подготовка студентов к самостоятельному конструированию систем задач методом ключевой. Задания, направленные на поиск ключевой задачи среди имеющейся совокупности задач, формируют у студентов следующие профессиональные умения:

• •    анализировать любые наборы задач, встречающиеся в учебных пособиях;

• •    выявлять те знания и умения, которые необходимы учащимся для решения каждой задачи из совокупности;

• •    сравнивать и сопоставлять теоретические факты, используемые при решении различных задач.

Приведем пример задания второго этапа. Студентам предлагается решить следующие задачи:

• 1.    Сумма двух противоположенных сторон описанного четырехугольника равна 20 см. Найдите периметр этого четырехугольника.

• 2.    В трапецию вписана окружность. Боковые стороны трапеции равны 5 см и 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

• 3.    Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

• 4.    В равнобедренную трапецию вписана окружность. Основания трапеции равны 3 см и 7 см. Найдите боковую сторону трапеции.

• 5.    Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм - ромб.

• 6.    В равнобедренную трапецию с углом 30⁰ вписана окружность. Средняя линия равна 12 см. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности.

• 7.    Периметр описанного четырехугольника равен 10 см. Найдите сумму двух противоположных сторон этого четырехугольника.

Сформулировать задачу-факт, которая используются в каждой задаче данной системы. Установить связи между задачами. Составить систему задач. Доказать эффективность использования данной системы задач на этапе закрепления знаний, умений и навыков учащихся.

На третьем этапе студентам предлагаются два типа заданий:

• 1)    по данной ключевой задаче составить систему;

• 2)    самостоятельно найти какую-нибудь ключевую задачу и построить систему.

На этом этапе студенты учатся работать с учебной литературой, проводить отбор задач, в которых встречается ключевая, выявлять целесообразность включения в систему отобранных задач, составлять недостающие задачи для системы.

Обучение будущих учителей математики построению систем задач методом ключевой способствует формированию у них профессиональных умений.