Обучение школьников эвристикам на уроках математики (пропедевтический этап)

Часто в курсе геометрии для отыскания решения задач, доказательства теорем используются эвристики. Соотнесение эвристики, привлеченной к поиску, с условием задачи определяет выбор действия, прогнозирование его результативности.

Исходным моментом в обучении школьников эвристикам является формирование потребности в их использовании при решении задач и доказательстве теорем. Потребность служит источником активности, проявлением которой выступают мотивы. Решение любой задачи предполагает мотивацию цели ее решения. Очевидно, что потребность в эвристиках должна формироваться еще при изучении пропедевтического курса геометрии, т. е. в 5—6 классах.

Мысль о важности данного этапа обучения находит свое отражение и в работах психологов. Для любого возраста характерна определенная структура психических процессов с ведущей ролью наиболее интенсивно развивающейся в данный период функции, при этом новая функция развивается и начинает занимать доминирующее положение — только через прежнюю.

Психологи отмечают, что структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13—14 годам, поэтому систематическое использование и вывод закономерностей применения эвристик до 7 класса нецелесообразны. Однако многие работы ученых свидетельствуют о том, что зарождение такого важного качества мышления, как исследование, которое обусловливает потребность открывать новое, сравнивать, оценивать, сомневаться, опровергать, наблюдается уже в более раннем возрасте. В 5 классе учащиеся стремятся показать свою оригинальность, самостоятельно находят нестандартные решения, легко обнаруживают встречающиеся в условии задач закономерности, строят цепочки рассуждений, делают выводы о том, где еще можно использовать полученные знания. Следовательно, важно еще до изучения систематического курса геометрии осуществлять формирование у школьников некоторых навыков применения эвристик и добиваться понимания ими того факта, что из одних предложений с помощью эвристик можно выводить новые утверждения. Кроме того, на данном этапе осуществляется подготовка учащихся к переходу от представлений к конкретным определениям понятий.

Практическое обучение использованию эвристик приводит к выделению действий, составляющих их основу. С учетом возрастных особенностей, закономерностей формирования и развития тех или иных компонентов мышления (логических компонентов мышления на основе активизации образных) методика обучения эвристикам учащихся 5—6 классов должна базироваться на следующих принципах:

— наглядности, который реализуется через использование большого числа рисунков и моделей, выполняемых учащимися в процессе рассуждений при решении задач;

— прикладной направленности, который отражает связь математики с окружающим миром и практической деятельностью учащихся.

Реализация данных принципов возможна через прикладные задачи, задачи геометрического содержания, связанные с измерениями геометрических величин, конструированием моделей геометрических фигур. Обучение решению задач в 5—6 классах предполагает широкое использование построения графов, идеи симметрии, раскраски чертежей, разбиения фигуры на части, логического анализа, рассуждений по схемам «необходимо и достаточно», «оценка плюс пример» и т. д.

Решая задачу формирования тех или иных умений, важно учитывать и имеющийся у учащихся опыт. Развитие ученика в процессе обучения эффективно лишь при формировании личностно значимых знаний, а это невозможно без опоры на его опыт. Задаваемое в обучении содержание (понятия, правила, приемы, эвристики) в ходе усвоения школьником обязательно переосмысливается, воспринимается через призму собственного опыта. Таким образом, новая информация должна согласовываться с имеющимися у ребенка представлениями, понятиями, правилами выполнения действий.

Курс математики для 5—6 классов изобилует определениями геометрических понятий (многоугольника, параллелепипеда, окружности, круга и т. д.), что позволяет формировать действия подведения объекта под понятие и выведения следствий. Овладение данными эвристическими приемами обусловливает формирование у учащихся следующих умений:

• —    обосновывать истинность каждого высказывания;

• —    выполнять и развертывать дедуктивные умозаключения;

• —    видеть связи между объектами и фигурами;

• —    выводить одни утверждения из других;

• —    находить фигуры, объекты, попадающие под данные определения.

Появление задач, решение которых основано на нескольких шагах, требует вести работу по приобщению школьников к разбору поиска решения, формируя тем самым умение выделять используемые в рассуждениях эвристики преобразования требований задачи в равносильные и составления промежуточных задач, которые помимо уже выделенных умений включают в себя следующие:

• —    выделять элементы задачи, комбинировать их;

• —    выявлять связи между фигурами, попадающими под данный элемент задачи;

• —    заменять понятие его определением, оперировать понятием;

• —    выделять условия и требования задачи;

• —    конкретизировать условия задачи;

• —    переструктурировать задачи.

Важное значение в формировании базовых эвристик принадлежит умению читать чертеж, которое составляют следующие действия: простое и сопоставимое вычленение фигур, распознавание фигур и их частей, переосмысление элементов чертежа с точки зрения другого понятия, сравнивание фигур, изменение взаимного расположения образов. Впоследствии эти действия составляют основу применения многих эвристических приемов (достраивания фигур, представления задачи в пространстве состояний и т. д.), общих эвристик, включающих в себя методы познания (аналогии, обобщения и т. д.) в различных ситуациях.

Анализ действующих учебников математики для 5—6 классов показал, что в них содержатся упражнения для формирования вышеизложенных умений, но таких упражнений немного и они не систематизированы [1; 2]. До сих пор не разработаны пути и формы включения эвристик в процесс обучения, поэтому имеющиеся возможности для их формирования в настоящий момент явно не реализуются.

Ниже приводится перечень видов упражнений, которым нужно уделять внимание при формировании у учащихся базовых эвристик:

• 1)    на узнавание высказывания,

• 2)    определение истинности высказывания,

• 3)    понимание структуры дедуктивных умозаключений,

• 4)    усвоение логической структуры определений,

• 5)    распознавание понятий,

• 6)    выделение и варьирование существенных признаков,

• 7)    выведение из данных условий всевозможных следствий,

• 8)    выведение следствий из факта принадлежности объекта некоторому множеству,

• 9)    нахождение ассоциаций и сопоставлений,

• 10)    составление задач по имеющимся данным,

• 11)    составление задач по готовому чертежу.

Полученные учащимися знания и умения необходимо расширять и углублять на протяжении всего курса математики, в частности геометрии. Выполнение таких упражнений в дальнейшем составляет основу умения выделять и формировать идею доказательства на базе эвристик. Усвоение содержания соответствующего уровня готовит школьников к систематическому изучению эвристик и осуществлению самостоятельного поиска доказательства (решения) с их помощью. Немаловажное значение в этом принадлежит умениям, которые были заложены на предыдущих этапах изучения предмета.

СПИСОК

ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД И ОБУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ