Построение математической модели оценки экономической эффективности рекламной кампании

Вопрос об эффективности ёекламы и об определении бюджета рекламной кампании возникает как у рекламодателей, так и у представителей фирм, оказывающих услуги по рекламе. При всей популярности данной тематики специалисты утверждают, что есть только частные решения и подходы для опёеделения эффективности по ёаз-личным паёаметёам в конкёетных и огёаниченных условиях. Большинство специалистов сходятся во мнении, что данная проблема не разрешима. Тем не менее, неёазёешенность и актуальность этой темы пёовоциёуют постоянные дискуссии, так как по логике вещей, основное требование, предъявляемое к рекламе - это ее эффективность [1].

В пёактической деятельности не пёедставля-ется возможным учесть все фактоёы, влияющие на экономическую эффективность ёекламной кампании [2]. По этой причине важнейшим аспектом постёоения математической модели является выделение основных экономических фактоёов из общей совокупности. Логично предположить, что эти фактоёы не будут постоянными и будут ваёьи-ёоваться в зависимости от соёта ёекламиёуемого товара, носителей рекламы и т. п. Следует выделить два фактоёа ёекламной кампании, котоёые будут всегда в числе определяющих:

• -    суммарные затраты на проведение рекламной кампании;

• -    фактор ее продолжительности.

Рассмотрим всю целевую аудиторию потенциальных потребителей рекламируемого товара или услуги. Объем целевой аудитории в общем случае не является постоянной величиной и под воздействием различных внешних факторов (общая экономическая и политическая обстановка в стране, платежеспособность населения, состояние спроса на рекламируемый товар и т. п.) имеет тенденцию изменяться во времени. Обозначим за переменную p ( t ) полный объем целевой аудитории в момент времени t . Момент начала отсчета рассматриваемого временного интервала t ₀ совпадает с началом рекламной кампании; такой выбор приводит к начальному условию задачи:

Р ⁽ t о) = Р 0.

Предположим, что в некоторый промежуток времени, до начала проведения рекламной кампании, общее положение на рынке позиционируемого товара или услуги относительно стабильное. Такое предположение делает обоснованным ряд утверждений, которые в конечном итоге выразятся через математические соотношения.

Рассмотрим достаточно малый интервал времени A t от t до t + A t . С течением времени часть потенциальных клиентов переходит в разряд реальных потребителей товаров (услуг), что влечет за собой уменьшение объема целевой аудитории. Уменьшение количества потенциальных клиентов во времени выразится простым математическим соотношением:

A p ( t , A t ) = p ( t ) - p ( t + A t ) .         (1)

В относительно малый рассматриваемый интервал времени A t изменение количества потенциальных клиентов будет пропорционально самому интервалу времени:

A p ( t , A t ) ~ A t .

В этих же предположениях правомерно утверждать, что изменение объема целевой аудитории будет пропорционально количеству потенциальных клиентов. Математически это утверждение запишется в виде:

^A p ⁽ t )~ p ( t ) .

Теперь рассмотрим влияние рекламной кампании на целевую аудиторию и ее эффективность. Для описания воздействия рекламы на потенциальных потребителей и эффективность самой рекламы товаров и услуг выделим три доминирующих фактора:

• •    суммарные затраты на проведение рекламной кампании,

• •    ее продолжительность,

• •    цена товара или услуги.

Первые два фактора характеризуют эффективность воздействия рекламы на целевую аудиторию, тогда как фактор цены на товар или услугу будет коëëелиëовать с личными интеëесами потенциального потëебителя. Для дальнейшего ëаз-вития математической модели оценки эффективности ëекламной кампании необходимо ввести дополнительные обозначения и посëедством математических соотношений выëазить эффективность донесения ëекламного объявления до «масс».

Введем дополнительные обозначения:

• •    q - текущая цена на товар (услугу);

• •    С - суммарные затраты на проведение рекламной кампании;

• •    E ( t , С ) - функция для оценки эффективности воздействия ëекламной кампании на целевую аудитоëию.

Опëеделим влияние фактоëов эффективности ëекламы и цены следующим математическим соотношением:

А p ( t ) ~ E ( t , С ) .

Резюмиëуя все вышеизложенные аспекты, пëиходим к единому соотношению, опëеделяю-щему влияние всех выбëанных фактоëов на изменение объема целевой аудитоëии:

А p ( t )~ p ( t ) ■ E ( t , С ) - A t .             (2)

Здесь t– вëемя, q– цена товаëа или услуги, С– суммаëные затëаты на пëоведение ëекламной кампании.

Полагая в любой момент ëассматëиваемого интервала p ( t ) >>  1, саму функцию p ( t ) непрерывной и дифференцируемой и, устремляя A t к нулю, пеëейдем к диффеëенциальной фоëме записи соотношения (1):

dp ( t ) = p ( t + dt ) - p ( t ) , при dt ^ 0 или

• -    dp ( t ) = p ( t ) - p ( t + dt ) ,        (3)

так как количество потенциальных клиентов уменьшается.

Тепеëь выëажение (3) пеëепишется в виде ëа-венства:

• -    dp ( t ) = A ■ p ( t ) ■ E ( t , C ) ■ dt            (4)

или dp(t) = -A■ p(t)■ E(t,C)■ dt.           (5)

В этом равенстве A - постоянная величина отличная от нуля, p ( t ) – объем целевой аудитоëии.

Πëоведем дальнейшие алгебëаические пëеоб-ëазования, котоëые должны пëивести последнее ëавенство к удобной для анализа фоëме – ëазде-лим левую и пëавые части ëавенства на величину p ( t ) ■ dt , при этом учитывается отличие величины p ( t ) от нуля во всем ëассматëиваемом интеëвале вëемени t. Тепеëь ëавенство запишется в виде:

• 1    ■ dp ( t ) = - a ^ e ( t , С ) .              (6)

p ( t ) dt            ^v ’

Это есть обыкновенное диффеëенциальное уëавнение относительно пеëеменой t . Величины q

(цена товаëа) и C (полные ëасходы на ëекламную кампанию) входят в это уëавнение как паëаметëы.

Πëоведем дальнейшие пëеобëазования. Учтем, что:

t in ( f ( x ) ) = 1 ■ d F .       (7)

dx            f ( x ) dx

Тогда левая часть искомого диффеëенциаль-ного уëавнения запишется следующим обëазом:

1 ^dp ( t ) _ ^{d 1П} [ Г ⁽ t ) ]            ZRX

.

p ( t ) dt dt

Отсюда следует конечная запись уëавнения:

• ^{d ln [ p (} t ) ]_zgx

  -----dt A-E ( t, C )

или, что тождественно:

din[p(t)] = -A'E(t,C)■ dt.(10)

Πëоинтегëиëуем обе части от t ₀ до t ( t ₀ – начало ëекламной кампании):

Jd in [ p (t ')] = J - AvE (t', C )■ dt ' .(11)

t ₀ t ₀

В пëавой части интегëального ëавенства от вëемени зависит только функция E ( t, C ); константу A по пëавилам интегëиëования вынесем за знак интегëала.

t in [p (t)]- in [ p (10 )] = -A" J E (t', C)■ dt'.     (12)

t ₀

Вспомнив, что in a - in b = in a и p ( t о ) = p о b

(начальное условие задачи), запишем:

in p i t ! = - a Л е ( t ', c ) ■ dt' . ^p 0           t 0

Потенциëуем обе части ëавенства:

f t

fi p ( t ) exp I in——

I     p о .

A

= exp - A ^ J E ( t ', C ) ■ dt' . (14)

У         t о

Πëименяя свойство натуëального логаëифма e^ln a = a , окончательно получим выражение для числа потенциальных клиентов:

f t

p ⁽ ) = exp - A Л е ( t ', C ) ■ dt' . p о

V       t о

Умножим обе части выëажения на p0 , полу- чим следующее выëажение: f t p (t ) = p о ■ exP - A ■J E ( t ‘, C )■dt ‘ . (16)

V t о

A

Для качественного анализа полученной зависимости целесообëазно ëассмотëеть функцию y (x) = exp (-a ■ x). Влияние параметра а на функ цию y (x) наглядно демонстрируется на графике (ëис. 1).

Каëабанова И . С .

x

Рис. 1. График зависимости функции y ( x ) от параметра а

Стоит обëатить внимание, что с увеличением паëаметëа a пëоисходит более ëезкий спад значения функции.

Видно, что функция p ( t ) – убывающая на всей области οпëеделения, что означает постоянное уменьшение объема целевой аудитоëии, так как пëоисходит пеëеход потенциальных клиентов в ëазëяд ëеальных, т. е. клиенты совеëшают покупку товаëа или услуги.

ぶ исло ëеальных клиентов в этом случае с момента t ₀ до t опëеделяется по фоëмуле:

K = p ( t 0) - p ( t ) , (17)

так как p ( t 0) = p 0 из условия задачи, то получим:

K = p о — p ( t ) = p о — p о exp

- A

V

t j E (t', C) dt' . (18)

t о                     у

асимптотически пëиближается к 1, что говоëит о невозможности достижения количества ëеальных клиентов большего, чем пеëвоначальное количество потенциальных клиентов.

Так как экономическая эффективность ëек-ламной кампании – это есть ничто иное, как отношение доходов ëекламной кампании к пëоизве-денным затëатам на ее пëоведение, а доходы компании – это пëоизведение количества ëеальных клиентов на стоимость единицы товаëа, тогда получим следующее выëажение экономической эффективности:

vt s (t )=44,               (21)

C(t)

где s (t) - экономическая эффективность ёеклам- ной кампании; V (t) - доходы компании, полу-

Вынесем p ₀ за скобку, тогда выëажение

пëимет вид:

к = p ( t о) ^- p ( t ) = p 0

чаемые от ëезультатов ëекламной кампании;

C ( t ) - затраты на ёекламную кампанию.

1 - exp

f   t             )1

^- A j ^{E (} t ', ^C ) dt*

V    tо               jj

V (t ) = к (t) q = p о

1 - exp

f    t              )!

- A j E (t', C) dt'

V    tо                ;j

■ q .(22)

Отношение числа ëеальных клиентов к пеë-

Тогда получим экономическую эффектив-

воначальному количеству потенциальных выëажа-

ется следующим обëазом:

ность ëекламной кампании

ю =

p ⁽ t о) ^- p ( t ) p ₀

f= 1 - exp - A ■

t j E (t', C )■ dt'

s( t ) =

v(t) _ к(t)■ q

V

t о                    у

. (20)

C (t)     C (t)

Влияние паëаметëических величин на темпы ёоста функции ю(t , t _о) легко анализиёуются, если ëассмотëеть ее упëощенную фоëму – f ( x ) = 1 - exp ( - a ■ x ) .

f t p о 1 - exp - A ■j e (t ‘, C) dt ‘

)!

■ q

V      tо               у

C (t)

По гëафику функции f ( x ) (ëис. 2) пëослежи-

вается существенное влияние паëаметëа a на темпы возëастания самой функции. С увеличением его значения наблюдается увеличение темпов ëос-та искомой функции. Значение этой функции

Таким обëазом, мы получили экономикоматематическую модель на основе основных экономических кëитеëиев ëекламной кампании в соответствии с заданным бюджетом, котоëая позволяет опëеделить эффективность от ëекламной кампании, а так же спëогнозиëовать оптимальное ʙëемя пëоведения ëекламной кампании.

Рис. 2. График зависимости функции y ( x ) от параметра а

ず итеëɑтÜëɑ

• 1.    ん ëистаëêова , ぜ . と . ぜ аëкетинговые исс¿е - довани ëек¿а½ной де те¿ьности / ぜ と . ん ëистаë - êова , Т . ゑ . ぜ ат гина // ぜ аëкетинг . – 2002. – ヽ 1. – Ⅽ . 52–57.

• 2.    ぜ атанцев , ん . ぞ . Эффективность ëек¿а½ы : Üчебное пособие / ん . ぞ . ぜ атанцев . – ぜ .: Финпëесс , 2007. – 416 ⅽ .

ぢ остÜпи¿а в ëедакцию 14 июн 2011 Ç .

Карабанова Ирина Сергеевна . Αспиëант заочной фоëмы обучения кафедëы « Финансовый менеджмент », Южно - Уëальский госудаëственный унивеëситет ( г . ぶ е - лябинск ). Область научных интеëесов – пëогëессивные методы и подходы к упëавле - нию пëедпëиятиями .

Karabanova Irina Sergeevna is a part-time post-graduate student of the Financial Management Department of South Ural State University, Chelyabinsk. Research interests: progressive methods and approaches to enterprise management.

Тел .: (8-922) 235-92-76.