Применение технологии укрупнения дидактических единиц при изучении элементов высшей алгебры

В современном образовательном пространстве немало публикаций, посвященных кризису образования и поиску путей его преодоления. В качестве причин кризиса высшего образования исследователи выделяют следующие: нарушение преемственности между уровнями образования, слабое и эпизодическое внедрение новых образовательных технологий в процесс обучения студентов, недостаточное применение ресурсов сети Интернет и др. [3]. В концепции развития математического образования в Российской Федерации выявлены проблемы мотивационного, содержательного и процессуального характера [Там же]. Низкую учебную мотивацию студентов связывают также с перегруженностью образовательных программ [Там же]. Одной из методик экономной организации обучения является технология укрупнения дидактических единиц (УДЕ), разработанная доктором педагогических наук, профессором, академиком РАО П.М. Эрдниевым. Обучающие приемы данной технологии, в частности, «совместное и одновременное изучение взаимосвязанных понятий, теорем» средствами свертывания учебной информации делает возможным системно изучать родственные понятия в рамках одной учебной темы. Такой подход позволяет «выявлять сложную природу математического знания», сокращать время усвоения знаний и повышать результативность процесса обучения.

Развитие идеи УДЕ, разработанной во второй половине прошлого века П.М. Эрдни-евым, было продолжено в дидактике и предметных методиках математики (А.А. Папы-шев, О.А. Иванов, Л.С. Капкаева), физики (А.Ю. Румянцев, В.И. Ваганова, А.А. Маши-ньян, Л.Д. Мунчинова), химии (П.Д. Васильева, Т.А. Боровских), информатики (Е.А. Ракитина, С.М. Окулов), русского языка (Г.Ж. Микерова) и др.

Аспекты применения теории УДЕ наиболее полно рассмотрены в методике преподавания математики в школе (Л.С. Капкаева, Г.И. Саранцев, П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдни-ев и др.), в том числе анализируется включение в содержание образования этнокультурного компонента (Б.П. Эрдниев, Л.Д. Дугаржапова). Однако эти исследования были выполнены в предметных методиках для средней школы (СПО). В высшей школе ав

торы технологии УДЕ применили идею фузионизма – интеграции математических дисциплин. П.М. Эрдниев и Б.П. Эрдниев раскрыли опыт построения учебного предмета «Линейная математика», являющегося примером интеграции родственных разделов таких дисциплин, как «Аналитическая геометрия» и «Линейная алгебра» [10]. В частности, авторы рассматривают совместное изучение двумерных и трехмерных векторов, доказательство взаимно обратных теорем приводят в одних и тех же граф-схемах и т.д. Укрупненные дидактические единицы для пары связанных дисциплин «Линейная алгебра» и «Когнитивные технологии сопровождения дисциплины “Линейная алгебра”» (КТСД ЛА) представлены в работе А.Н. Семакина и Г.П. Емгушевой [8]. В данном труде представлены содержательные связи между дисциплинами, приведена структура укрупненной дидактической единицы. В статье С.С. Мучкаевой одновременное изучение векторных и тензорных величин в курсе обучения студентов физико-математических направлений высшей математике приведен комплекс соответствующих задач. Вопрос применения приемов технологии УДЕ в процессе изучения алгебраических структур в курсе дисциплины «Высшая алгебра» не рассматривался.

Теория УДЕ в настоящее время в большей степени используется авторами применительно к обучению в рамках системно-деятельностной концепции, ориентированной на развитие мыслительных операций, таких как сравнение и противопоставление, анализ и синтез (решение прямых и обратных задач) и др. В работе Е.И. Скафа отмечается, что одной из первых вероятность укрупнения действий в обучении обоснована в диссертационном исследовании П.Д. Васильевой (предметная область – химия) [1]. В статье А.А. Папышева в качестве дидактической единицы, подвергаемой укрупнению, выступает действие как структурный компонент методов решения задач по геометрии [6].

Цель нашего исследования – применение технологии укрупнения дидактических единиц (УДЕ) в процесс изучения раздела высшей алгебры «Алгебраические структуры» студентами, обучающимися по профильным (физико-математическим) направлениям.

Теоретическая значимость применения приема одновременного изучения взаимосвязанных понятий состоит в том, что данный прием позволяет студентам увидеть целостную картину алгебраических структур для развития у них навыков абстрактного мышления и анализа. Практическая значимость заключается в формировании умений распознавать и анализировать различные типы алгебраических объектов, строить логические цепочки рассуждений и проводить формальные доказательства.

Студентам математического профиля необходимо уметь ориентироваться в абстрактных структурах современной алгебры, поскольку это является одним из ключевых элементов их математического образования. Ориентирование в абстрактных структурах современной алгебры предполагает умение распознавать и анализировать различные типы алгебраических объектов, такие как группы, кольца, поля, векторные пространства и т.д. Подготовка к рассмотрению алгебраических структур начинается в рамках школьной математики, применяется в обучении профильной математике при изучении числовых множеств с алгебраическими операциями, а также различных классов функций и действий над ними [9]. Изучение студентами математических направлений подготовки алгебраических структур на первых курсах обучения формирует у них умения абстрагирования, обобщения [7]. Применение алгебраических структур можно найти не только в дисциплинах, изучаемых студентами математических направлений подготовки (дискретной математики, теории чисел и др.), но и в дисциплинах естественнонаучного цикла (так, теория групп, имея тесную связь с понятием симметрии, находит применение в квантовой химии, биосимметрике).

В рамках дисциплины «Высшая алгебра» важны умения анализа и обобщения, которые выделены и в теории УДЕ. Сам автор системы УДЕ П.М. Эрдниев считал, что «укрупненная дидактическая единица – это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих информационной общностью» [10]. В нашей работе мы будем придерживаться определения, данного в работе Я.П. Кривко: «укрупненные дидактические единицы – это, прежде всего, укрупненные «информационные порции» (блоки), которые соответствуют программным требованиям и связаны единой учебной целью (что надо усвоить)» [4]. Обобщающее занятие «Алгебраические структуры», на котором одновременно вводятся понятия группы, кольца, поля и векторного пространства над полем, направлено на создание целостной картины и обобщенного понимания основных структур алгебры (таб. 1). Преподаватель объясняет основные определения, свойства каждой структуры, обращая внимание на их общие черты и различия, демонстрирует связи между этими структурами, показывая, как они строятся, какие операции и свойства они имеют в общем случае. Например, как группы могут быть использованы для определения кольца и поля, а кольца, в свою очередь, могут быть использованы для определения векторных пространств.

Таблица 1

Одновременное введение понятий алгебраических структур

Каждое из данных понятий представляет собой пример обобщения, определяется свойствами внутренних операций, заданных на некотором множестве (группа, кольцо, поле), а также несколькими свойствами внешних операций для элементов из данного и дополнительного множества (векторное пространство над полем). Усвоения поня- тий невозможно добиться без их конкретизации по какому-либо из критериев: количества и характера операции, связи между структурами. Так, в качестве упражнения можно предложить заполнить таблицу 2, подобрав примеры структур, соответствующих критериям (таб. 2).

Таблица 2

Конкретизация понятий алгебраических структур

Одновременное изучение понятий по теме «Алгебраические структуры» имеет ряд преимуществ в отличие от последовательного их рассмотрения:

• 1.    Укрепление связей внутри дисциплинарных связей: объединение тем (группа, кольцо, поле и векторное пространство на поле) в одном занятии позволяет студентам увидеть связи между различными алгебраическими структурами. Это позволяет им лучше понять абстрактные структуры и увидеть их общие черты.

• 2.    Формирование абстрактного мышления: алгебраические структуры требуют абстрактного мышления, и объединение их в одном занятии помогает студентам развивать умения обобщения и абстрагирования.

• 3. Подготовка к изучению сложных тем, связанных с алгебраическими структурами: понимание взаимосвязи между группами, кольцами, полями и векторными пространствами является фундаментом для освоения дисциплин, таких как линейная алгебра, алгебраическая геометрия, теория чисел, математическая физика и др.

Таким образом, применение технологии УДЕ в процессе изучения студентами математических направлений подготовки (Математика, Математика и компьютерные науки) высшей алгебры осуществлялось на лекционных и практических занятиях по теме «Алгебраические структуры». Оценка качества успеваемости проводилась на основе подведения итогов текущего контроля (коллоквиум, контрольная работа). В эксперименте приняли участие 50 студентов указанных направлений, показав качество усвоения материала по теме в контрольной группе выше на 13%.

Применение технологии УДЕ в процессе обучения студентов математических направлений подготовки высшей алгебре способствует формированию у них умений обобщения и абстрагирования. Обучающиеся, рассматривая раздел «Алгебраические структуры», вынуждены мыслить абстрактно, выявляя общие черты и принципы, лежащие в основе различных математических объектов. Этот навык является важным не только в математике, но и во многих других областях знаний, где требуется анализировать сложные системы и выявлять их закономерности. Конкретизация же алгебраических структур примерами позволяет иллюстрировать вводимые понятия и устанавливать связи между ними.