Проблемы обучения построению математических моделей в системе школа - колледж - вуз
Автор: Никишин М.Б., Сорокина Н.К., Шманова Г.А., Щенников В.Н., Щенникова Е.В.
Журнал: Интеграция образования @edumag-mrsu
Рубрика: Преемственность образования
Статья в выпуске: 2 (22), 2001 года.
Бесплатный доступ
Короткий адрес: https://sciup.org/147135467
IDR: 147135467
Текст статьи Проблемы обучения построению математических моделей в системе школа - колледж - вуз
Л/.5. Яшгсшшл аснхуиги/и Ktir^c'r^w (Jw/^epwipt^^ ур^щ/сщщ МГУ «m. Я Г ГЛ^^гга.
Н.К. Сорокина, Joymm кск£е<)ры с?бвде?7 j)?^w^
МГУ иль Я Я О^р^^гл,
ГЛ. Шиг/НРАИ, Л^О^СССТ^ Кй^ед/?Ы .МС/ОТИМО/ПЫЛ-И Г/ теРреТИМЧССЛОЫ .н^лгй^кк Л/ГУ ?ли. ЛЛ Огарева, д. я щ ешшюм, зав. кафедрой дифференциальных уравнений МГУ им. Я. Я. <Л?йр£вд.
Е, В. НГенциюва, до цени) кафедры информатики и вычислительной техники МГУ им. Я. П. Огарева
Одной из осееовпых целей высшей школы является подготовка твои чески мыслящих специалистов, способных решать новые задачи в науке, технике и производстве, Достижению этой цели служит овладение студентами методологией исследований в результате изучения диалектики, логики и теории познания в их единс тве и особенностях, a j а кжс в 11 ро цсссе ре ш е г гм я пра кти -ческих задач.
Опыт показывает,, что на «стыке» таких звеньев системы образования, как школа. колледж, вуз, образуется «педагогический барьер». ] крутому возникай проблема преемственности обучения в рамках указанной системы. Содержаниедействующих отечественных государстве иных стандартов и программ обучения нс в достаточной степени направлено на решение Проблемы преемственности и обеспечение преемственности как процесса. Покажем это на примере темы «Дифференциальные уравнения» в курсе математики для школы, колледжа н вуза.
Обрат имся к учебнику «Алгебра и начала анализа» для Ю — Г-х классов средней школы авторов Ш.А. Алимова и др,, в котором только один, заключи j ельный, параграф посвящен дифференциальным урав-нсшшш, Дифференциальное уравнение в нем определяется как уравнение, содержащее производную неизвестной функции. Далее говорится о том. что решение многих физ^ичес ких, иhoj i о i ичсс кiix, технических и других практических задач сводится к решению дифференциа гьного урм i ici 1 ия jc = kx, где А заданное число. (R физических и технических задачах независимой переменной, по которой производи гея дифференцированней является время. Время принято обозначать через Л искомые (неизвестные) функции через Xy^Z и т.д., а производные функций по / точками
.х= ,Л' = ——
dt (/Л
И Т-Д.)
Решениями этою уравнения являются фуТЖГПД!
х “Cl3
где С - постоянная, определяемая условиями конкретной задачи.
Затем в качестве иллюстрации рассматриваются два примера.
Пример J. Скорость ?й(/) размножения бактерий связана с массой w(0 бактерий в момент времени f уравнением m(f) = Am(Z)?
где £ -положительное Число, зависящее от вида бактерий и внешних условий, -
Решениями этого уравЕ<ения являются ' функции
m(0 = Ceh
Постоянную С можно найти из условия. что в момент f = О масса бак серий Тол известна. Тогда
т(0) = №0 = с^0 - с, И поэтому
?и^) = тое^
Л^миер 2. Задача О радиоактивном распаде.
Нели т(/) - скорость радиоактивного распада в момент времени ^, то m(t) - -£m(f), где' А - постоянная, зависящая от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции
/и(г) - Се
Если в момент времени f масса равна mfi, то С = Я%? и поэтому
т(0 = т^е
В качестве приложения к теории дифференциальных уравнений приводится дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
Х = -<У2Х? где fy — заданное пол ожите лъп ое ч пел о.
й^Х
Функцию “У называют птоеюй про-с/Г изводной функции х(/)и обозначают х(г) или х. Решениями уравнения являются функции
ДС(Г) = C1sin(fiJ# + C2), где С,,С2 — постоянные, определяемые условиями конкретной задачи.
Эго уравнение называют уравнением гарм см । ическнх колебаний.
Как видно из приведенного фрагмента, рассмотрение темы «Дифференциальные уравнения» в школе происходил на отдельных примерах с физическим содержанием.
То же самое наблюдается и в классах с углубленным изучением математики, а также в колледже. Обучение там осуществляется по учебникам М.И. Башмакова «Алгебра и начала анализа» и НЯ, Виленкина и др. «Алгебра и математический анализ».
Одна из заключительных бесед в учебнике М.И. Башмакова посвящена составлению дифференциалы еьгк уравнений. Диф-феринонильное уравнение здесь вводится как уравнение, связывающее неизвестную функцию и ее производные. Пояснение эп> io ПОНЯТИЯ происходит так же ла примерах уравнения механического движения и радиоактивного распада.
Далее, в обоих учебниках дается определение решения дифференциального уравнения: решением дифференциального уравнения называют любую функцию^ при подстановке которой в это равнение получается тождество. Затем в учебнике М.И. Башмакова приводятся примеры решения написанных выше уравнений без всякой ссылки на какие-либо изученные ранее методы решения уравнений.
-
1) ФУНКЦИЯ X = + Vg^ + Ху.
где V^3 Xq - произвольные числа, является решением уравнения X = а. Дсйстви- тг тепьно, вычисляя производные, получаем
Л" - at 4- Vq , X - Я
1 £
-
2) Функция X = И sinf 1 -йп'к
где Л и а - произвольные числа, является решением уравнения
А
X = - - х.
т
Решение уравнений показательного роста и гармонических колебаний приведено более подробно, но также без указания методов решения, в условиях отсутствия ориентировочной ОСНОВЫ ДЛЯ адекватного выбора метода решения, без должного обоснования полученных результатов и без пере пол а решении на язык реальных процессов.
В дополнение к определению решения дифференциального уравнения в учебнике Н Я. Виленкина предлагается определение общего и частного решения дифференци ального уравнения, вводится понятие особой точки. 41 о касается методов интегрирования дифференциальных уравнений, to здесь рассматривается интегрирование дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Но и в этом учебнике не затрагивается вопрос о существовании и единственности решений задачи Коши дифференциального уравнения. не осуществляется перевод полученных математических решений на язык реальных процессов.
Из приведенных фрагментов мож его сделать вывод, что ни в школе, ни в колледже тема «Дифференциальные уравнения» не рассматривается ряде по ложен но, отсутствует логическая организация учебного материала по этой теме. В итоге па каждом згалс системы школа - колледж -вуз данная тема наполняется лишь предметным содержанием, что, естественно, не .позволяет учащемуся самостоятельно познать диффере11!П1плЕ1пг.1е уравнения как модель определенного реального процесса и изучить методы их решения.
Ниже предлагается фрагмент логической организации учебного материала в системе школа - колледж - куш
-
I) дифференциальное уравнение как модель реального процесса;
-
2) теорема существования и единственности решений задачи Коши;
-
3) выбор соответствующего метода решения (реализации модели),
-
4) реши шс диффереж шалы юго уравне ния как совокупность определенных действий:.
-
5) разъяснение решений на языке мс-дсляровапнл реального процесса.
Здесь и далее предполагается, что «вуз» - это «технический вуз».
Приведем фрагмент реализации построенного модуля обучения.
ДифферснциалытЕлм уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные этой функции. Если независкмая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным. Если независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным с частными производными. В данной статье рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, причем как независимая переменная, так и искомая функция пред-пол аг аю те я в еществен ними.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение,.называется порядком дифференциального уравнения. Например:
-
I) ^JC 4- 4^ = X5 - обыкновенное дифференциальное уравнение I ч о порядка;
-
2) -X — 5Ц'4-X — ?- обыкновенное дифференциальное уравггеп ис 2-го ппрящга.
Рассмотрим дифференциальное ураы-неггие dt
Решим его. Для ^тиго перепишем данное уравнение в виде dx= f(tWY
Теперь можно цроинтегрировагь левую и правую части, те.
Jdk = J/(0^ + C
В результате получим решение дифференциального уравнеЕтия (1):
X = /ЛОЛ + С.
Следующим рассмотрим уравнение
"Г = ^)- (2)
я/
Перепишем это уравнение в виде dx
= dk <р(х)
интегрируя левую н правую части, получим , dx
I-----~ I + С.
очевидно, здесь ^>(х) ^ 0.
Как следует из примеров, решение дифференциальных уравнений сводится к интегрированию- Поэтому вместо «решить дифференциальное уравнен не» можно говорить «проинтегрировать дифференциальное уравнение».
Дифференциальное уравнение, полученное е результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют динамической моделью этого явления или процесса. Динамические модели-частный случай множества математических моделей, которые могут быть построены при изучении окружающего нас мира. В процессе построения обыкновенных дифференциальных моделей важное значение имеет знание законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи . 1 ак, например, в механике это могут быть законы Ньютона, в теории электрических цепей-законы Киргхофа и Ома, в теории скоростей химических реакций - закон действия масс., и тд.
Наша цель в конем ном счете состоит в ■том, чтобы на примерах (содержательных, а не иллюстративных) из различных областей знания показать возможности исполь-зова! 1 ия обыкновенных дифференциальных уравнений в процессе познания окружаю щей нас действительности. Параллельно с этим требуется дать определение решения, показать игл и чител ьные особен!юсти дифференциальных уравнений, рассмотреть некоторые методы решений, указать, каким образом можно осуществить преемственность в указанной системе. Приведенные ниже примеры взяты из следующих источников: Эрроусмит Ц., 11лейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнении. Качественная теория с приложениями. М., 1 986; Гутер Р.С, Ян польский А.Р Дифференциальные уравнения: Учеб, пособие дня втузов. 2-е изд , перераб. и доп. M.d 1976.
ilpititep J. Предположим, что масса поддерживается вертикально расположенной пружиной. Допустим, что масса может смещаться только вдоль оси пружины и, кроме того, она связана с поршнем, который движется в цилиндре, заполненном жидкостью и помещенном внутри пружины. Такое устройство являйся идеализированней моделью амортизатора.
Обозначим через Л’ смещение массы т вниз от положения равновесия.
Пусть:
-
а) на массу действует сила К (закон Гука), А > 0, направленная в сторону положения равновесия;
-
6) сила, с которой поршень действует на массу и которая препятствует ее движению, пропорциональна кинетическому моменту /^ с коэффициентом 2АД > 0.
С- учетом того что р. ~ MX и скорость изменения кинетического момента данной массы равна приложенной к ней силе (второй закон Ньютона), уравнение (1) можно записать следующим образом:
p = -Ky*x)-2]p + mg, (3) где / ■ длина пружины в положении рав-новесия. Но в положении равновесия р = р = % = 0. Следовательно,
Ki = mg.
Тогда дифференциальное уравнение (3) примет вид р =± ^х = -Кх - 2Яжг.
Окончательно имеем х + 2^ + <ы0 х = 0.(4)
2£ где ^.-
Решение дифференциальною уравнения (4) X = A? ^ sin(^.n/ + 5) определяет зако । юмертюсть кол ебател гл гых л в и жений амортизатора. Здесь Лё - амплитуда колебаний, гЯд — часто j а колс 5 аний, 2) -начальная фала.
Как видно из решения, ио мерс роста времени Г амплитуда уменьшается, АрдмсТ? 4. Теплопередача через трубу. ПустЕ» имеется толстая цилиндрическая труба, внутренний радиус которой ра-еен г. а внешний А7 Нужно определить теплопередачу через трубу изнутри наружу Предполагается при этом, что установился стационарный тепловой режим, т.с, количество тепла, проходящего через какую-либо дае гнуто площадь, постоянно.
В теории теплонроводности считается, что количество тепла, проходящею через бесконечно малую площадку перпендикулярную к некоторой оси, в направлении ЭТОЙ оси за промежуток времени dt, пропорции* иапьно шюшади ^^ площадки, длительности промежутка и скорое] и падения температуры в этом направлении., т е.
dq - -ZdF — dt. dn
Здесь О есть температура трубы, знак «минус» указывает, что поток тепла движется в стороЕгу падения температуры, постоянный коэффициент 2 зависит от вещества рассматриваемого тела и налы лается коэфф и циентом теплопроводности.
Выделим внутри трубы цилиндрическую поверхность радиуса p-l'* < /^ < R. Тогда для элемента ^F этой поверхности ^70
А/ - - AY/* dr. f^
dp
Количество тепла нс зависит ни от элемента dR". пи от промежутка време ни <7/ Просуммировав выражсЕгия типе (5), получим полное количество тепла для всей поверхности цилиндра за единицу времени

Если длина Трубы равна /, то / = 2^й/, так что
, ч ™ , dQ
Q = -2,^p — . (6)
dp
Поскольку процесс передачи тепла является установившимся, т.с. тепло нс может накапливагься ни в какой части трубы, то величина О не Зависит от

Г 1родиффсрепцировав равенство (6) но ^Э, получим дифференциальное уравнепис второго порядка вила dp" dp
ИНГС] рируя это уравнение, можно получить решение, которое описывает изменение температуры точек трубы в зависимости от их расстояния от оси.
(()кончт1ие следует)