Разбиениe отношений при поиске решений нестандартных задач по математике

Вопрос качественного обучения школьников поиску решения математических задач всегда привлекала внимание и известных математиков, и учёных–методистов, и учителей математики средней школы. Данной проблеме посвятили свои труды, ставшие классическими, многие ученые, в первую очередь это всемирно известный методист–математик Д. Пойа. Среди отечественных исследователей подробно изучали данную проблему такие известные авторы, как С.И. Туманов, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий, Е.Ф. Данилова, А.Б. Василевский, А.К. Артёмов и др., в разные годы опубликовавшие книги для учителей математики и учащихся средних школ.

Задачи выполняют важные функции в развитии математического мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практическом применении математики.

Как правило, на уроках рассматриваются и отрабатываются частные способы и методы обучения решению задач, и как следствие при встрече с нестандартными задачами учащиеся не знают, как приступить и искать ее решение. Если последовательно обучать общим методам решения задач, то указанный недостаток будет устранен.

По характеру мыслительной деятельности различают стандартные и нестандартные задачи.

Если им знаком алгоритм решения данной задачи, то ее можно считать стандартной или шаблонной. «Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» [2, с. 24], - считает Фридман Л.М.

Анализ затруднений учеников при решении нестандартных задач показывает, что, как и в любой мыслительной работе при решении задач ученик должен иметь умственные ориентиры.

Хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение находить родственные (вспомогательные) задачи подтверждает то, что учащиеся уже владеют определенными навыками решения нестандартных задач. Если этот опыт несущественен, то следует предложить учащимся вспомогательные аналогичные задачи. Правильно поставленные вопросы и подобранные вспомогательные задачи помогут понять идею и принцип решения.

По терминологии Р.Г. Хазанкина, для того, чтобы научиться решать нестандартные задачи, необходимо, во-первых, уметь решать «ключевые» подзадачи, во-вторых, иметь навыки получения из имеющейся новые задачи [3].

Как правило, на уроках рассматриваются и отрабатываются частные способы и методы обучения решению задач, и как следствие при встрече с нестандартными задачами учащиеся не знают, как приступить и искать ее решение. Если последовательно обучать общим методам решения задач, то указанный недостаток будет устранен.

Общая идея, лежащая в основе всех методов и способов решения задач: чтобы решить новую задачу, нужно свести ее к одной или нескольким ранее решенным задачам. При этом могут использоваться различные методы:

• 1.   Разбиение отношений;

• 2.   Введение дополнительных элементов;

• 3.   Замена по эквивалентности;

• 4.   Вывод логических следствий.

Рассмотрим подробно метод разбиения отношений.

При поиске способа решения задач можно разбить некоторые сложные отношения на несколько более простых и изучить вопросы задачи для каждого по отдельности. В результате этого данная задача заменяется несколькими более простыми задачами.

Разбиение отношения Р на два отношения Р 1 и Р 2 называется конъюнкцией (в школьном курсе алгебры говорят также «система»), если для истинности Р необходимо и достаточно, чтобы были истинными обе части Р 1 и Р 2 .

Обозначения: Р 1 ⋀Р 2 = Р, Р 1 и Р 2 , p . '                  '      2

Разбиение отношений Р на два отношения Р1 и Р2 называется дизъюнкцией (в школьном курсе алгебры также говорят «совокупность»), если для истинности Р необходимо и достаточно, чтобы истинно было хотя бы одна из частей Р1 или Р2.

Обозначения: P 1 ⋁ Р 2 =P, Р 1 или Р 2 , P .

Примером такого разбиения может служить разбиение уравнения вида №") №) = о на два уравнения

Ato = о или A (^ = о .

Пример1. Автобусный билет будем называть счастливым, если сумма первых трех цифр его шестизначного номера равна сумме последних трех цифр. Доказать, что сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13.

Решение: Покажем, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 1001=13 77. Если первые три цифры билета в точности совпадают с последними его тремя цифрами, т.е. номер билета имеет вид: abcabc, то он очевидно делится на 1001. Сумма номеров таких билетов также делится на 1001. Остальные счастливые билеты разобьем на пары: abcdef и defabc. Сумма номеров в каждой паре делится на 1001. Поэтому и сумма номеров всех счастливых билетов делится на 1001.

Таким образом, при специальной работе с достаточно большим набором задач из различных разделов математики, в которых определенные методы решения позволяют нестандартные задачи свести к знакомым (стандартным), удается сформировать у учащихся умения, необходимые для поиска решения нестандартных задач. Для наиболее эффективного обучения поиску решений задач необходимо задать учащимся умственные ориентиры, следуя которым каждый сможет быстро и рационально решить даже самую сложную задачу.