Разложение многочленов на множители

Метод вынесения общего множителя за скобки

Этот метод заключается в следующем: данный многочлен заменяют произведением наибольшего общего делителя всех его членов на частное, полученное от деления данного многочлена на этот наибольший общий делитель. Этот общий делитель называется множителем, выносимым за скобки.

Пример.

Вынести за скобки общий множитель многочлена 6а 5 — 7а³ + 8а² Решение. Переменная а входит в члены многочлены с показателями 5, 3, 2. Наименьшим из них является 2. Значит, за скобки можно вынести а².

Остающиеся в скобках члены равны частным от деления членов многочлена на а².

Таким образом, 6а5 — 7а3 + 8а2 = а2 (6а3 — 7а + 8).

Метод группировки

Если члены многочлена не имеют общего множителя, отличного от единицы, то следует попытаться разложить такой многочлен методом группировки, который заключается в следующем: члены многочлена разбивают на две или несколько групп так, чтобы после вынесения общих множителей за скобки в каждой группе в скобках остался один и тот же многочлен. Вынося его за скобки, разлагаем заданный многочлен на множители.

Пример.

Разложить на множители многочлен 2т4 + 3т2 + 1

Решение.          2т4 + 3т2 + 1 = 2т4 + 2т2 + т2 + 1 = 2т2 (т2 + 1) +

(т2 + 1) =

= (т2 + 1)(2т2 + 1).

Использование формул сокращенного умножения

В тех случаях, когда многочлен имеет форму правой части какой – либо основной формулы сокращённого умножения, его разложение на множители достигается применением этой формулы, записанной в обратном порядке.

Пример.

Разложить на множители многочлен х4 - 2%3 + 2х2 - 2х + 1

Решение.       х4 — 2х3 + 2х2 — 2х + 1 = х4 + 2х2 + 1 — 2х(х2 + 1) =

(х2 + 1)2 — 2х(х2 + 1) = (х2 + 1)(х2 — 2х + 1) = (х2 + 1)(х — 1)2.

Метод выделения полного квадрата

Иногда многочлен можно разложить на множители, если сначала выделить полный квадрат, а затем воспользоваться формулой разности квадратов. Выражение 4х2 — 12ху + 8у2 не является квадратом двучлена. Но первые два члена этого выражения совпадают с первыми двумя членами квадрата двучлена: 4х2 = (2х)2,12ху = 2 • 2х • 3у. Если добавить к этим двум членам слагаемое (3у)2, то есть 9у2, получится квадрат разности. Поэтому прибавляем к заданному выражению 9у2 = (3у)2 и одновременно вычитаем 9у2:

4х2 — 12ху + 9у2 — 9у2 + 8у2 = (2х — 3у)2 — у2.

Выполненное преобразование называется выделением полного квадрата из трёхчлена. В результате этого преобразования трёхчлен записан в виде разности квадратов, и его можно разложить на множители: 4х² — 12ху + 8у² = (2х — 3у)² — у² = (2х — 3у — у)(2х — 3у + у) = ⁽2х — 4у⁾⁽2х — 2у) = 4⁽х — 2у⁾⁽х — у).

Итак, чтобы выделить полный квадрат из трёхчлена, надо:

• а)    записать одно из слагаемых в виде квадрата некоторого выражения X;

• б)    разделить второе слагаемое на 2X (если частное равно У, то это слагаемое равно 2ХУ);

• в)    прибавить и одновременно вычесть квадрат выражения Y ;

• г)    применить формулу квадрата суммы или разности.

Пример.

Разложить на множители трехчлен 49х8 — 70х4у3 + 16у6

Решение. 49х8 = (7х4)2. Здесь X = 7х4.

Далее получаем 70х4у3: (2 • 7х4) = 5у3 и потому Y = 5у3.

Имеем 49х8 — 70х4у3 + 16у6 = (7х4 — 5у3)2 — 9у6 = (7х4 — 5у3 — 3у3)(7х4 — 5у3 + 3у3) = (7х4 — 8у3)(7х4 — 2у3).