Реализация принципа практической направленности при изучении математики студентами вузов (на примере темы «Векторы»)

Общей тенденцией развития современного образовательного пространства является ориентация на построение практико-ориентированной математической подготовки обучающихся, что связано с интеграцией в учебный процесс инновационных образовательных моделей [1].

В современном мире, насыщенном данными и технологиями, умение применять математические модели для анализа ситуаций, прогнозирования и решения прикладных задач становится ключевой компетенцией. Это не только повышает мотивацию студентов, показывая ценность математики в профессиональной деятельности и повседневности, но и развивает критическое мышление и логику, необходимые для адаптации в быстро меняющемся обществе.

Проблемам реализации принципа практической направленности в обучении математике посвящены работы многих исследователей, среди которых А. Батыршина, Г. Путинцева, М. Со-лощенко, Т. Шагаева, В. Эверестова и др.

Практическая направленность в работах отечественных авторов рассматривается как связь обучения с жизнью. В преподавании такой абстрактной дисциплины, как математика, этот принцип наиболее актуален. Исследователи предлагают разные способы его реализации: например, составление практико-ориентированных заданий (М. Гаврилова [1], Т. Шагаева [2]), использование кейс-технологий (В. Эверестова [3]), проектная деятельность (М. Солощенко [4]), компетент-ностно ориентированные и ситуационные задачи (С. Кирпичева [5]).

Авторы единодушны во мнении, что для повышения эффективности изучения математики необходимо выходить за рамки учебника и связывать изучаемый теоретический материал с реальным миром. Практическая направленно сть обучения математике рассматривается учеными как средство повышения предметной мотивации [4], реализации компетентностного подхода [6], условие повышения качества образования [7].

Векторы — один из разделов аналитической геометрии, с которым студенты педагогических вузов знакомятся в процессе профессиональной подготовки в рамках дисциплин «Алгебра и теория чисел», «Геометрия», а студенты технических вузов — в рамках интегрированной дисциплины «Математика». Векторный аппарат служит универсальным языком для описания и решения задач в физике, инженерных дисциплинах и компьютерных науках. Особую значимость векторы приобретают в контексте современных технологий, являясь математической основой для машинного обучения, компьютерной графики и анализа многомерных данных, поэтому знакомство с ними не должно ограничиваться лишь теоретическим материалом.

Цель статьи — показать примеры использования векторов в рекомендательных системах и предложить конкретную модель реализации принципа практической направленности с использованием IT-контекста.

Материалы и методы исследования

Методологиче скую основу исследования составляет интеграция системно-деятельностного подхода, являющегося методологическим ядром ФГОС1, и компетентностной парадигмы в образовании.

Базой проведения исследования послужили Ровеньковский факультет Луганского го су-дарственного педагогического университета (15 чел.), Краснодонский факультет инженерии и менеджмента Луганского го сударствен-ного университета имени Владимира Даля (50 человек). Общий объем выборки составил 65 человек.

Использовались следующие методы исследования:

– теоретические: анализ психолого-педагогической и методической литературы, изучение нормативных документов, сравнительный анализ существующих подходов к изучению темы

«Векторы», математические методы вычисления косинуса угла между векторами;

– эмпирические: кейс-технология, наблюдение, анализ продуктов учебной деятельности, статистическая обработка данных.

Методика оценки эффективности базировалась на адаптированной трехкомпонентной модели вовлеченности Дженнифер Фредрикс (J. Fredricks) [8], включавшей когнитивный, поведенческий и эмоциональный компоненты.

Результаты исследования и их обсуждение

Методика знакомства с векторами традиционно обращается к физическим интерпретациям, где сила, скорость и ускорение служат наглядными примерами векторных величин. Однако подобный подход обладает недостаточным мотивационным потенциалом для формирования у обучающихся представлений о современных областях применения знаний о векторах и действиях над ними.

В современном цифровом мире активно развиваются технологии искусственного интеллекта и машинного обучения. Они являются той актуальной областью, в которой векторы и операции над ними нашли свое приложение. Знакомство с использованием векторов в работе технологий искусственного интеллекта, на наш взгляд, способно замотивировать обучающегося больше, чем традиционно рассматриваемые межпредметные связи с физикой. Более того, приводя примеры работы векторов в физике, мы обращаемся лишь к геометрической интерпретации вектора как направленного отрезка. Алгебраическое же представление векторов, преимущественно имеющее место в аналитической геометрии, остается не востребованным.

Рассказ преподавателя о новых отраслях, в которых векторы нашли свое применение, — один из способов знакомства с их практическим приложением. Однако с позиций современной дидактики эффективность усвоения материала значительно возрастает при переходе от репродуктивной модели обучения к деятельностной парадигме. В последней именно самостоятельное исследование и моделирование учащимися ключевых процессов, таких как векторное представление данных и расчет метрик сходства, позволяет сформировать не только предметные знания, но и развить критическое мышление и практические компетенции.

Организовать интерактивную работу, во время которой обучающиеся в процессе самостоятельной деятельно сти, спланированной преподавателем, конструируют и тестируют алгоритм работы рекомендательной системы с помощью векторов, можно в виде проектной деятельности или с использованием кейс-техно-логии.

Рассмотрим такую деятельность с применением кейс-технологии. Как отмечает Д. Сычева, кейс-технологии позволяют сформировать позитивное отношение обучающихся к учебному процессу, способствуют активному развитию практических навыков [9]. При использовании данной технологии преподаватель становится не только транслятором информации, но и организатором активной познавательной деятельности обучающихся, модератором и проектировщиком учебной ситуации.

Предлагаемый нами кейс рассматривается после знакомства с операцией скалярного произведения векторов.

На первом этапе работы с кейсом педагог представляет практическую ситуацию и возникшую проблему, зачитывая письмо от условного представителя нового маркетплейса: «Наша текущая система рекомендаций пока не настроена. Просим вашу команду аналитиков предложить и протестировать математическую модель, которая поможет настроить нашу рекомендательную систему, чтобы точнее подбирать товары для покупателей с использованием скалярного произведения векторов».

Второй этап работы над кейсом состоит в сборе и анализе информации. Студенче ская группа делится на подгруппы, в каждой из которых есть теоретик, аналитики и социологи. Подгруппы получают для описания товар одной из категорий: спортивные товары, электроника, книги, товары для дома.

Задача теоретика — прочитать и объяснить членам своей команды, что такое рекомендательная система и как рассчитывается косинусное сходство. Для этого он заранее знакомится с нужной теоретической информацией.

Рекомендательной системой называют комплекс алгоритмов, программ и сервисов, задача которого на основе информации о профиле человека, его более ранних действиях и выборе предсказать, что может заинтересовать того или иного пользователя, чтобы предоставлять ему персонализированные предложения, основанные на его симпатиях [10, c. 211].

Метрика косинусного сходства предполагает вычисление значения косинуса угла между двумя векторами в многомерном пространстве по формуле, полученной из формулы косинуса угла между векторами на плоскости обобщением ее пространства п измерений [Там же, с. 213].

Аналитики создают базу товаров и описывают ее с помощью координат вектора, социологи делают портреты типичных пользователей, также используя для этого задания векторы пользователя координатами.

Условимся использовать пять координат (параметров). Для товаров это могут быть параметры цена и принадлежность к соответствующей группе , которые нужно оценить в баллах от 0 до 10, где 0 означает, что признак отсутствует, а 10 — максимально выражен. Шаблон вектора товара будет выглядеть так: (цена(0-10), спортивные товары(0-10), электроника(0-10), книги(0-10), товары для дома(0-10)).

Например, первой группе достались товары футбольный мяч, игровая консоль, роман «Мастер и Маргарита», электрический чайник.

Вектор мяча будет иметь примерно такие координаты: (4, 9, 0, 0, 2), что означает что он не дорогой, принадлежит к группе спортивных товаров, может быть частично отнесен к товарам для дома. Вектор игровой консоли будет иметь координаты (8, 2, 9, 0, 5), роман — (2, 0, 0, 9, 4) и т. д.

Чтобы составить векторы пользователя, «социологи» проводят опрос своих четверых одногруппников, уточняя, товары какой ценовой категории они покупают и какие именно из предложенных выше групп. Допустим, Марк любит спорт и компьютерные игры, не любит читать, не испытывает особых ограничений в деньгах. Его ответы также оцениваем по 10-балльной шкале и составляем вектор пользователя: (8, 6, 7, 0, 4). София любит читать и домашний уют, покупает на маркетплейсах товары только по низкой цене, ее пользовательский вектор может выглядеть так:       (3, 1, 2, 9, 8).

На этапе работы социологов происходит совершенствование коммуникативных компетенций обучающихся, ведь они учатся задавать правильные вопросы, чтобы получить нужную информацию, интерпретировать предпочтения одногруппников и перевести их в числовые данные. Они больше узнают об увлечениях друг друга, что способствует формированию благоприятного психологического климата в группе и развитию социального интеллекта. Этап составления векторов товаров и пользователей вызвал наибольшую активность и эмоциональную вовлеченность по сравнению с другими этапами работы над кейсом.

После того, как база векторов и типичных пользователей создана, группы переходят к третьему этапу работы над кейсом — применение математического аппарата для получения кон- кретного результата. На этом этапе необходимо вычислять косинусные расстояния. Один обучающийся вычисляет косинусное расстояние для одного пользователя, но со всеми четырьмя товарами. Для каждого товара вычисляется косинус угла между вектором и пользователем.

Например, вычисления для Марка и футбольного мяча будут иметь следующий вид.

• 1.    Вычисляем скалярное произведение векторов:

  
2. Вычисляем длины векторов:

• 3.    Вычисляем косинус угла между этими векторами:

  

Вычисляя таким же образом косинусы углов между другими товарами, получаем, что наибольшее значение косинуса будет у него для игровой консоли — оно равно примерно 0,93. У Софии наибольшее сходство (наибольшее значение косинуса) получится с книгой, среднее — с чайником.

Далее следует сравнить свой профиль с профилем всех учащихся своей группы. Для этого также необходимо найти косинусные расстояния между векторами пользователей. Наиболее схожими будут профили тех пользователей, у которых вычисленное косинусное расстояние окажется наибольшим.

Следующий этап кейса — группы представляют свои результаты и выводы. Обучающимся предлагалось сделать два вывода: какой товар будет рекомендоваться каждому из них, если они будут заходить на сайт интернет-магазина со своего личного аккаунта, и какой, если вход будет осуществляться с «семейного» аккаунта, а также выяснить, для кого из них рекомендации маркетплейсов будут похожи. Команды описывают рекомендации маркетплейса для пользователей, профиль которых похож на профили их одногруппников. Так, для Марка и тех, с кем его профиль наиболее близок, целесообразно рекомендовать товары из категорий электроники и видеоигр, для Софии система может продвигать книги и товары для дома и т. д. Рекомендации для «семьи» формируются по наибольшему косинусному расстоянию среди всех членов группы.

На заключительном этапе рефлексии анализируется, какие трудности возникали при решении кейса, какую ценность могут нести такие вычисления для реального бизнеса, все ли параметры учтены, какие ограничения имеет разработанная модель и т. п. Здесь же можно обсудить вопрос о разных типах рекомендательных систем: коллаборативной фильтрации, фильтрации на основе содержания (контентной), фильтрации на основе знаний и гибридных [10, с. 211], после чего выяснить, какой тип рекомендательной системы использовался для выполнения задания.

При организации работы на паре вышеописанным образом учащиеся не только решают математические задачи на вычисление косинуса угла между векторами, а видят, как эта операция может помочь обосновать предложения для ведения реального бизнеса, тем самым практическая ценность математических знаний для них становится более наглядной. Решение кейса способствует значительному повышению учебной мотивации, формированию критического мышления и развитию функциональной математической грамотности. Совместное обсуждение и взаимодействие обучающихся друг с другом в процессе выполнения задания способствуют совершенствованию коммуникативной компетентности, вносят вклад в повышение вовлеченности в учебный процесс, что опосредованно влияет и на их итоговую успешность.

Апробация данного кейса осуществлялась в течение трех лет в рамках преподавания математики в вузе на выборке объемом 65 человек. Для сбора данных использовалось наблюдение и оценка письменных работ обучающихся.

Во всех случаях отмечалась устойчивая вовлеченность обучающихся в учебный процесс, их активное участие в коллективной работе. В отечественной психологии вовлеченность понимается как состояние, характеризующее погруженность ученика в процесс обучения; в зарубежной делается акцент на конкретное поведенческое проявление и выраженность [11, c. 82].

Для оценки вовлеченности в работу мы руководствовались адаптированной трехкомпонентной моделью, разработанной в 2004 г. [8]. Так, были использованы следующие критерии:

• –    когнитивный компонент (оценивалось время активной работы с кейсом по отношению ко всему времени занятия, правильность математических расчетов);

• –    поведенческие индикаторы (количество человек, задающих уточняющие вопросы и высказывающих содержательные реплики);

  – эмоциональные реакции, выражаемые невербально (доля человек, демонстрирующих такие реакции, по отношению ко всем обучающимся).

• – Результаты показали:

  – средний балл активной работы — 83 %, правильность расчетов — 78,4 % обучающихся;

  – 61,5 % студентов проявили устойчивый интерес на протяжении всего занятия, задавая вопросы и высказывая идеи;

  – коэффициент эмоционального реагирования (отношение обучающихся, проявляющих эмоциональные реакции, к общему количеству обучающихся) составил 0,76;

  – общее количество корректно завершивших кейс составило по всей выборке 78,4 %.

Наибольший отклик предложенная методика получила среди студентов специальности «бизнес-информатика» Краснодонского факультета, которым в качестве домашнего задания межпредметного содержания было предложено продолжить работу с кейсом и реализовать алгоритм автоматизации расчетов с использованием языков программирования или среды Excel. С основным заданием в этой группе справились 85,7 % обучающихся, с дополнительным — 75 %.

Выводы

Таким образом, смещение акцента с физических интерпретаций векторов на их применение в качестве модели данных для систем машинного обучения и искусственного интеллекта является не только методически оправданным, но и отвечает вызовам цифровой трансформации образования.

Средством реализации принципа практической направленности обучения в нашем исследовании стала кейс-технология. Выборка в 65 человек не может считаться репрезентативной для массовой практики, однако позволяет выявить общие тенденции и получить первичные данные об эффективности предложенной методики знакомства обучающихся с использованием практических приложений векторного аппарата в современных отраслях знаний.

Перспективой дальнейших исследований может стать разработка серии аналогичных кейсов, раскрывающих прикладной потенциал других математических понятий в области искусственного интеллекта и анализа данных, а также создание методических рекомендаций по интеграции элементов Data Science в школьный курс математики.