Умумий ўрта таълим ўувчиларида анимас ва ани интеграллар мавзуларини тушунтиришда амалий машулотлар самарасини оширишнинг бир нечта усуллари

Ҳар бир табиий, аниқ фанлар математика фанига боғлиқ ва математика фанининг  бу фанлар ривожидаги ўрни катта бўлиб

ҳисобланади. Масалан аниқ ва аниқмас интеграллар мавзуларини оладиган бўлсак, бу мавзунинг жуда кўп фанларга алоқадорлигини ва бу фанларнинг баъзи бўлимларида ўз ўрни борлигини кўришимиз мумкин. Шулардан келиб чиққан ҳолда ўқувчиларга аниқ ва аниқмас интеграллар мавзуларини ва уларнинг тадбиқларини қандай тушунтириш мумкин? Саволига ушбу мақолада жавоб берамиз. Яъни бир қатор функцияларнинг аниқмас интегралларини ҳисоблаш ва аниқ интегралларни топиш усулларини кўрсатиб ўтамиз. Шу билан бир қаторда умумий ўрта таълим ўқувчиларининг математика дарсларида фаоллаштириш ва фанга бўлган кизикишларини оширишга хам эътибор каратамиз.

Эндиликда биз куйида анихмас интеграллар хамда аник интеграллар мавзуларини ўқувчилар ўзлаштиришларидаги бир қатор фаоллаштириш учун мисол ва масалалар хамда уларни ечиш усулларини куриб утамиз.

Мисол: /(6x 2 — 3% + 5)dx аникмас интегрални хисобланг.

Ечиш: бу мисолни ечиш учун юқоридаги қоида ва хоссалардан фойдаланамиз

I (6 x ² - 3 x + 5) dx = I 6 x²dx - I 3 xdx + I 5 dx = 6 1 x²dx - 3 1 xdx + 5 1 dx =

2 x³ — x2 + 5 x + C             ..                   „

Шу ва шунга2 ўхшаган мисоллар ёрдамида мактаб ўқувчиларига интеграллаш қоидалари ва хоссаларини ўргатиш мумкин. Бундай мисоллар ёрдамида укувчилар бир мунча мавзу туFрисида тушунчага эга булади ва зинама-зина методини куллашга асос булади дейиш мумкин. Сабаби ушбу мисол осон булиб укувчиларга осонлиликдан кийинлиликка боскичма-боскич мавзуни ургатишда асос булади.

Кейинги масалалардан бири бу аниқ интегралларда интеграллаш усулларига оид мисол ва масалалар ечишни ўргатишдир. Бугунги кунга келиб олий таълим муассасаларига кириш имтихонларида интеграллаш усулларига оид бир қатор мисоллар учраб туради. Масалан интеграллашда ўзгарувчиларни алмаштириш ва бўлаклаб интеграллаш каби усуллар

ёрдамида ечимини топиш мумкин бўлган мисоллар бор. Шунинг учун қуйида бир нечта мисолларни тахлил қиламиз.

Мисол: J sin ³ x cos xdx интегрални хисобланг.

Ушбу мисолни икки ҳил усулда ҳисоблаш мумкин. Бу иккала усул ҳам ўзгарувчиларни алмаштириш усулига таянади.

1) Биринчи усул ифоданинг бир қисмини J sin³ x cos xdx = J sin³ xd (sin x )

шундан иборатки интеграл белгиси остидаги дифференциаллаш белгиси остига киритамиз. бу ифодадан t = sin x белгилаш киритамиз.

Бундан интеграл куйидаги куринишга келади. J sin3 xd(sin x) = J t3dt бу эса оддий даражали функциянинг интеграли эканлиги кўриниб турибди.

t ⁴        sin⁴ x

Демак t ³ dt = — + C =---- + C эканлиги келиб чикади ва мисол ишланди.

2) Энди бу мисолни ишлашнинг иккинчи усулига тўхталадиган бўлсак иккинчи усулда худди шу қилинган ишлар бажарилади фақат дифференциаллаш белгиси остига киритилмайди яъни, t = sin x белгилаш киритилади     ва     dt = d (sin x) = cos xdx     эканлигида     бажарган белгилашларимизни         ўрнига         қўйиб         чиқамиз.

t ⁴        sin⁴ x

I sin3 x cos xdx = 11dt = — + C =----+ C эканлиги келиб чикади. Бу икки усул бир ҳил маънони англатади ва фарқ қилмайдигандай туюлади лекин аслида баъзида белгилаш киритганда иккинчи усули қўл келади. Сабаби биринчи белгилаш киритиш усулида интеграл остидаги қайси ифодани дифференциаллаш белгиси остига киритиш кераклигини ажратиб олиш қийин бўлиб қолиши мумкин.

Масалан: J 71 - x²dx аникмас интегрални хисобланг.

Ушбу интегрални хисоблашда x узгарувчини x = sin t каби белгилаш киритиш қулайроқ. Чунки ирратсионал ифоданинг остидан маълум бир ифода чикади. Яъни dx = d(sin t) = cos tdt белгилашларни уз урнига олиб бориб куйилса У холда j 71 - x2 dx = J cos t • cos tdt = J cos2 tdt ифодага келамиз ва бу интегрални триганаметрик функциялар хоссаларидан фойдаланиб яъни даража пасайтириб хисоблаймиз.   j cos2 tdt = J1 + cos 2t dt  бу ифодадан юқоридаги хоссалардан ўзгармас сонни интеграл белгиси ташқарисига чикариш мумкинлигидан, J1 + cos2 t dt = 1J (1 + cos 2t)dt = 1 (t +1 sin21 + C) эканлигини топамиз. Охирги ифодада белгилаш киритилганлиги учун узгарувчиларни уз урнига куйишдан олдин соддалаштириб оламиз. x = sint белгилаш киритилган эди бундан t = arcsinx эканлиги келиб чикади.

— ( t + — sin 2t + C ) = —t + sin t cos t + C = — arcsin x + x 71 — x ² + C      демак     жавоб

22     2        2

J 71 — x ² dx = 1 arcsin x + x 71 — x ² + C эканлиги келиб чикди.

Албатта мисолларни даражасига қараб бу усул ва бундай мисоллар мактаб ўқувчилари учун мураккаблик қилиши мумкун. Шу сабабдан албатта бу усулни келиб чиқиши ва қшлланилаишини тўлиқ тушунтириб бериш шарт.

Булаклаб интеграллаш: фараз килайлик u = f (x) ва v = g(x) лар x нинг иккита функцияси ва улар u' = f'(x) ва v' = g ’(x) узлуксиз хосилаларга эга бўлсин. У вақтда икки функция кўпайтмани ҳосиласини олиш қоидасига кура (uv)' = u'v + uv' ёки d(uv) = udv + vdu ёки udv = d(uv)—vdu булади; d(uv) ифода учун, шубҳасиз, uv бошланғич функция бўлади: шунинг учун J udv = uv — J vdu формула уринлидир.

Бу формула бўлаклаб интеграллаш қоидасини ифодалайди. Юқоридаги келтириб чиқарган формуламиз бўлаклаб интеграллаш формуласини беради ва бу формула икки функция кўпайтмасининг ҳосиласидан келиб чиққан. Энди бу формулани мисолларда тушунтирсак.

Масалан: J x cos xdx аникмас интегрални хисобланг.

Бу интегрални ҳисоблашда бўлаклаб интеграллаш формуласидан фойдаланамиз. Яъни cos x функцияни дифференциаллаш белгиси остига киритамиз ва интеграл куйидаги куринишга келади. f x cos xdx = f xd(sin x) бу ифодада u = x, v = sin x каби белгилаймиз ва юкоридаги формуладан фойдаланамиз.  fxd(sinx) = xsinx— fsinxdx = xsinx + cosx + C эканлиги келиб чиқади.

п 2

f sinxcos ² xdx аник интегрални кисобланг. 0

Шу каби мисоллар мактаб дарсликларида ёки тестларида учраса у ҳолда бу мисолни ўзгарувчи алмаштириш методи ёрдамида ишлаймиз. Бунинг учун қуйидагича амал бажарамиз.

пп f sinxcos2xdx =—f cos2xd cos x яъни битта узгарувчини дифференциал 00

пп

• 2                    cos3 x 2          11

белгиси остига киритилади. — I cosxd cos x =--= 0 — ( — -) = - ва натижага

0            3033

эга бўламиз.

Энди аниқмас интегралнинг бўлаклаб интеграллаш усулини аниқ интеграллар учун кўриб чиқамиз. 1

Мисол: f arcsin xdx аник интегрални кисобланг. 0

Ечиш: ушбу мисолни ечиш учун аниқ интегралда ҳам ҳудди аниқмас интегралдаги каби бўлаклаб интеграллаш амалини бажарамиз. Бунинг учун, arcsin xdx = [u = arcsin x, du = ,     dx, dv = dx, v = x]

,         2  ,      ,       каби белгилашларни амалга оширамиз ва f arcsin xdx = x arcsin x|

x

—

dx

2 x

ва интегралнинг

иккинчи қисмига белгилаш киритиш усулини қўллаймиз.

11x                         11

x arcsin x -          dx = x arcsin x -

0∫01-x202 ∫01

эканлиги келиб чиқади.

x arcsin x ¹ -        ^t = x arcsin x ¹ - 1 - t = π - 1

xarcsnx02∫0 1-t =xarcsnx0

Хулоса : Биз юқорида аниқ интеграл ҳисоблашда бўлаклаб интеграллаш ва ўзгарувчи алмаштириш усулларини кўриб чиқдик. таъкидлаб ўтиш лозимки бугунги кунга келиб олий таълим муассасаларига кириш имтихонларида Ушбу усуллар ёрдамида ечимини топиш мумкин бўлган мисол ва масалалар бериб ўтилган. Шунинг учун ҳам хозирги кунда умумий ўрта таълимда аниқмас ва аниқ интеграллар ҳисоблаш усулларини ўргатишда юқоридаги каби бир қатор мисол ва масалалардан фойдаланиш самарали натижалар берибгина қолмасдан ўқувчиларнинг фанга бўлган

қизиқишларини хам оширади.

Фойдаланилган адабиётлар

• 1.    М.А.Мирзааҳмедов, Ш.Н.Исмаилов, А.Қ.Аманов. Математика: -11-синф учун дарслик. Тошкент- 2018.

• 2.    Ш.Р.Хуррамов Олий матаматика. И жилд Чўлпон номидаги нашриёт- матбаа ижодий уйи Тошкент -2018.

• 3.    Ф.А.Ахмедова, М.М.Хабибуллина, М.Р.Ахмадеева. “Математика ва информатика” фанларидан мавзулаштирилган тестлар тўплами. Тошкент “Спеcтрум медиа гроуп” нашриёти 2017й

• 4.    M.N.Solayeva TEACHING THE CONCEPT OF LIMIT WITH THE HELP OF PEDAGOGICAL RESEARCH, INTERDEPENDENCE OF DISCIPLINES AND METHODS OF PEDAGOGICAL PRACTICE ", European Journal of Research and Reflection in Educational Sciences Vol. 8 No. 5, 2020, Part I ISSN 2056-5852

• 5.    Ф.С.Актамов, А.Ж.Сейтов. М.Н.Солаева. “Умумий ўрта таълим мактабларида Функцияларни ҳосила ёрдамида таҳлил Қилинишининг ноъананавий усуллари, FIZIKA, МАТЕМАТIКА va INFORMATIКА 2020/5 115-121 Betlar.

• 6.    Солаева М.Н., Эшқораев Қ.А., Сейтов А.Ж. Баъзи бир мисолларни ажойиб лимитлар ёрдамида Ноанъанавий услублардан фойдаланиб ечиш

  усуллари. Муаллим ҳам узлуксиз таълим 1-1 2020 йил 109-113 бетлар

  • 7.    Солаева, М. Н Умумий ўрта таълим мактабларида фанлараро боғлиқлик. The journal of Academic research in Educational sciences Issn 2181-1385 Volume 1, issue 3 November 2020, 1 (3), 315-320.

"Экономика и социум" №1(92) 2022